Tangents, and points where the derivative does not exist · Functions with a root · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הגרף של $f(x)=x\sqrt{x+3}$ מתחיל בנקודה $(-3,0)$ . מה השיפוע שלו שם? לפני שמחשבים, הסתכלו איך הגרף עוזב את הנקודה.

y = x√(x + 3) ליד הקצה

הגדלנו את הגרף ליד הקצה

x=-3

. הגרף צולל מהנקודה

(-3,0)

כמעט אנכית, ורק ליד

x=-2

הוא מתיישר.

$f'(x)=\frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}$ . חשבו את $f'(-2.99)$ . מה המספר אומר על הגרף?

Show the answer and the solution

$f'(-2.99)=\frac{-2.97}{2 \cdot 0.1}=-14.85$ . שיפוע שלילי וגדול מאוד: הגרף יורד כמעט אנכית. ככל ש- $x$ מתקרב ל- $-3$ המכנה מתקרב ל- $0$ , והשיפוע גדל בערכו המוחלט בלי גבול.

הנקודות שבהן הנגזרת לא קיימת

אחרי מכנה משותף, $f'(x)=\frac{N(x)}{2\sqrt{ax+b}}$ . הנגזרת מוגדרת רק כש- $ax+b>0$ . בקצה התחום, שם $ax+b=0$ , הפונקציה מוגדרת והנגזרת לא.

\sqrt{x+3}

$f'$ לא מוגדרת ב- $x=-3$

x\sqrt{x+3}

$f'$ לא מוגדרת ב- $x=-3$

(x-1)\sqrt{4-x}

$f'$ לא מוגדרת ב- $x=4$

x+\sqrt{2x-6}

$f'$ לא מוגדרת ב- $x=3$

נקודות חשודות לקיצון הן שני סוגים: נקודות שבהן $f'(x)=0$ , ונקודות בתחום שבהן $f'$ לא מוגדרת. בפונקציות של הפרק, הסוג השני הוא הקצה של התחום.

משוואת המשיק

y-f(x_0)=f'(x_0)\,(x-x_0)

משיק ל- $x\sqrt{x+3}$

מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f(x)=x\sqrt{x+3}$ בנקודה שבה $x=1$ .

\begin{aligned}f(1) &= 1 \cdot \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה: $(1,\,2)$

\begin{aligned}f'(1) &= \frac{3+6}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{9}{4}\end{aligned}

השיפוע מהנגזרת

\begin{aligned}y-2 &= \tfrac{9}{4}(x-1) \ \Rightarrow \ y \\ &= \tfrac{9}{4}x-\tfrac{1}{4}\end{aligned}

המשיק

Interactive activity

נתונה $f(x)=(x-1)\sqrt{4-x}$ . א. מצאו את הנקודה שבה המשיק לגרף מקביל לציר ה- $x$ . ב. מצאו את הנקודה שבה הנגזרת לא קיימת.

f(x)=(x-1)\sqrt{4-x}

לחצו «להתחיל». משיק מקביל לציר ה- $x$ פירושו שיפוע $0$ .

תחום

4-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

הקצה הוא $x=4$ .

נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{4-x}-\frac{x-1}{2\sqrt{4-x}} \\ &= \frac{2(4-x)-(x-1)}{2\sqrt{4-x}}\end{aligned}

מכפלה, שרשרת, מכנה משותף.

מכנסים

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{9-3x}{2\sqrt{4-x}} \ \\ \quad x<4\end{aligned}

המונה ממעלה ראשונה.

א.

\begin{aligned}9-3x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \ \\ \quad f(3) &= 2 \cdot 1 \\ &= 2\end{aligned}

המשיק $y=2$ בנקודה $(3,\,2)$ .

ב.

\begin{aligned}x &= 4 \ \\ \quad f(4) &= 3 \cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

בנקודה $(4,\,0)$ המכנה מתאפס והמונה $-3 \neq 0$ : הנגזרת לא קיימת.

שני סוגי הנקודות החשודות באותה פונקציה: $x=3$ , שבה $f'=0$ , ו- $x=4$ , שבה $f'$ לא קיימת.

Do the activity on elev

באותה פונקציה, מהי משוואת המשיק בנקודה שבה $x=0$ ?

Show the answer and the solution

$f(0)=-1 \cdot 2=-2$ ו- $f'(0)=\frac{9}{2 \cdot 2}=\frac{9}{4}$ . המשיק: $y=\frac{9}{4}x-2$ .

לא כל קצה נראה אותו דבר

שני גרפים שמתחילים ב-(2,0)

שתי הפונקציות מוגדרות ב-

x \geq 2

ומתחילות באותה נקודה. הראשונה יוצאת תלולה. השנייה יוצאת שטוחה: הגורם

x-2

מתאפס בקצה ו«משטיח» אותה.

ב- $(x-2)\sqrt{x-2}$ הגורם $x-2$ מתאפס בדיוק בקצה. אחרי צמצום, $f'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x-2}$ , והיא מתקרבת ל- $0$ . לכן הגרף יוצא מהקצה שטוח. ב- $\sqrt{x-2}$ ובכל $g\sqrt{x-2}$ שבה $g(2) \neq 0$ , הגרף יוצא תלול.

שלוש טעויות על קצה התחום ועל המשיק.

\begin{aligned}f(-3) &= 0 \ \Rightarrow \ f'(-3) \\ &= 0\end{aligned}

2\sqrt{-3+3}=0

הערך של $f$ והשיפוע הם שני דברים שונים. ב- $x\sqrt{x+3}$ הגרף עובר ב- $(-3,0)$ , אבל השיפוע שם אינו $0$ .

y-f'(1)=f(1)(x-1)

y-f(1)=f'(1)(x-1)

הנקודה מ- $f$ , השיפוע מ- $f'$ . החלפה ביניהם נותנת ישר אחר.

\begin{aligned}\frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2 \\ \ x &= -3\end{aligned}

x=-2

מכנה שמתאפס אינו פתרון של $f'=0$ . $x=-3$ הוא נקודה חשודה מסוג אחר.

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x)=(x+2)\sqrt{x+6}$ . מצאו את שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=-2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+6)+(x+2)}{2\sqrt{x+6}} \\ &= \frac{3x+14}{2\sqrt{x+6}}\end{aligned}

מכפלה ומכנה משותף

\begin{aligned}f'(-2) &= \frac{8}{2 \cdot 2} \\ &= 2\end{aligned}

מציבים

השיפוע $2$ . בנקודה הזו $f(-2)=0$ , והגרף חוצה את הציר בשיפוע $2$ . ערך $0$ לא אומר שיפוע $0$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x)=(x+5)\sqrt{7-x}$ . באיזו נקודה בתחום ההגדרה הנגזרת $f'$ לא קיימת?

$x=-5$
$x=7$
$x=7$ וגם $x=-5$
אין נקודה כזו

Show the answer and the solution

Answer: B $x=7$

Worked solution:

7-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 7

תחום

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(7-x)-(x+5)}{2\sqrt{7-x}} \\ &= \frac{9-3x}{2\sqrt{7-x}}\end{aligned}

המכנה מתאפס רק ב- $x=7$

הנכונה: $x=7$ , קצה התחום. ב- $x=-5$ הפונקציה מתאפסת, אבל הנגזרת קיימת שם: $f'(-5)=\frac{24}{2\sqrt{12}}$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=(x-3)\sqrt{x+1}$ . מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=3$ , בצורה $y=mx+n$ .

$m=$ ____ , $n=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $m=$ 2 , $n=$ -6

Worked solution:

\begin{aligned}f(3) &= 0 \cdot 2 \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה $(3,\,0)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3x-1}{2\sqrt{x+1}} \ \Rightarrow \ f'(3) \\ &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y-0 &= 2(x-3) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x-6\end{aligned}

המשיק

$y=2x-6$ . מי שמציב $x=3$ רק במחובר $\sqrt{x+1}$ של הנגזרת מקבל $m=2$ במקרה, כי $x-3=0$ . אבל זה מזל, לא שיטה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה $f(x)=x\sqrt{x+8}$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=-4$ חותך את ציר ה- $y$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך.

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

\begin{aligned}f(-4) &= -4 \cdot 2 \\ &= -8\end{aligned}

הנקודה $(-4,\,-8)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3x+16}{2\sqrt{x+8}} \ \Rightarrow \ f'(-4) \\ &= \frac{4}{4} \\ &= 1\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y+8 &= 1 \cdot (x+4) \ \Rightarrow \ y \\ &= x-4\end{aligned}

המשיק

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= -4\end{aligned}

חיתוך עם ציר $y$

שיעור ה- $y$ הוא $-4$ . זה לא $f(0)=0$ : המשיק והגרף הם שני קווים שונים, שנפגשים רק ב- $x=-4$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x)=(x+4)\sqrt{2-x}$ . באיזה $x$ המשיק לגרף מקביל לציר ה- $x$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(2-x)-(x+4)}{2\sqrt{2-x}} \\ &= \frac{-3x}{2\sqrt{2-x}}\end{aligned}

מכפלה, שרשרת, מכנה משותף

\begin{aligned}-3x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

שיפוע $0$

f(0)=4\sqrt{2}

המשיק $y=4\sqrt{2}$

$x=0$ . הקצה $x=2$ אינו תשובה: שם הנגזרת לא קיימת, והמשיק שם אינו מקביל לציר ה- $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

הוכיחו או הפריכו: המשיק לגרף של $f(x)=(x-4)\sqrt{x}$ בנקודה $(0,0)$ הוא ציר ה- $x$ , כי $f(0)=0$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x+(x-4)}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{3x-4}{2\sqrt{x}}\end{aligned}

הנגזרת

x \to 0: \ 3x-4 \to -4 ,\ 2\sqrt{x} \to 0

המכנה מתאפס והמונה לא

\begin{aligned}f'(0.01) &= \frac{-3.97}{0.2} \\ &= -19.85\end{aligned}

שיפוע תלול מאוד

הטענה לא נכונה. $f(0)=0$ אומר שהגרף עובר בראשית, לא שהוא שטוח שם. בקצה $x=0$ הנגזרת לא קיימת, והגרף יורד ממנו תלול.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה $f(x)=x^2\sqrt{x+4}$ . מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ ?

$x=0$
אין משיק, כי $f(0)=0$
$y=2x$
$y=0$

Show the answer and the solution

Answer: D $y=0$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4x(x+4)+x^2}{2\sqrt{x+4}} \\ &= \frac{x(5x+16)}{2\sqrt{x+4}}\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}f(0) &= 0 \ \\ \quad f'(0) &= 0\end{aligned}

הנקודה $(0,0)$ , שיפוע $0$

y=0

המשיק הוא ציר ה- $x$

הנכונה: $y=0$ . כאן $x=0$ היא נקודה פנימית ( $0>-4$ ), והנגזרת מתאפסת בה. $x=0$ הוא ציר ה- $y$ , ישר אנכי.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה $f(x)=(x-3)\sqrt{x+2}$ , ו- $f'(x)=\frac{3x+1}{2\sqrt{x+2}}$ . מיינו: אילו ערכי $x$ הם נקודות חשודות לקיצון?

חשודה
לא חשודה

$x=-\frac{1}{3}$
$x=-2$
$x=-3$
$x=0$
$x=3$

Show the answer and the solution

Answer: $x=-2$ — חשודה · $x=-\frac{1}{3}$ — חשודה · $x=3$ — לא חשודה · $x=0$ — לא חשודה · $x=-3$ — לא חשודה

Worked solution:

\begin{aligned}3x+1 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -\tfrac{1}{3}\end{aligned}

$f'=0$

x=-2

קצה התחום: $f$ מוגדרת, $f'$ לא

x=-3 \notin \text{תחום}

מחוץ לתחום: לא נקודה של הגרף

$x=3$ הוא אפס של $f$ , לא של $f'$ . $x=-3$ מחוץ לתחום. רק $-2$ (קצה) ו- $-\frac{1}{3}$ (אפס הנגזרת) חשודות.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה $f(x)=(x+a)\sqrt{x+1}$ , ו- $a$ פרמטר. המשיק לגרף בנקודה שבה $x=3$ מקביל לישר $y=3x$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+1)+(x+a)}{2\sqrt{x+1}} \\ &= \frac{3x+2+a}{2\sqrt{x+1}}\end{aligned}

גוזרים עם $a$

\begin{aligned}f'(3) &= \frac{11+a}{4} \\ &= 3 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

ישרים מקבילים: אותו שיפוע

$a=1$ . «מקביל ל- $y=3x$ » פירושו $f'(3)=3$ , לא $f(3)=9$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

לשלוש מהפונקציות יש גרף שעוזב את הנקודה $(2,0)$ תלול. לאיזו פונקציה יש גרף שעוזב את $(2,0)$ שטוח?

$(x-2)\sqrt{x-2}$
$x\sqrt{x-2}$
$\sqrt{x-2}$
$5\sqrt{x-2}$

Show the answer and the solution

Answer: A $(x-2)\sqrt{x-2}$

Worked solution:

\left((x-2)\sqrt{x-2}\right)'=\frac{3}{2}\sqrt{x-2} \to 0

השיפוע מתקרב ל- $0$

\left(x\sqrt{x-2}\right)'=\frac{3x-4}{2\sqrt{x-2}}

המונה $2 \neq 0$ בקצה: תלול

הנכונה: $(x-2)\sqrt{x-2}$ . ב- $x\sqrt{x-2}$ הגורם $x$ שווה $2$ בקצה, לא $0$ , ולכן הוא לא משטיח.

Check the answer on elev

הנקודות שבהן הנגזרת לא קיימת

משוואת המשיק

לא כל קצה נראה אותו דבר

Exercises

Keep practising on elev