Full study of a root function · Functions with a root · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

זה הגרף של $f(x)=x^2\sqrt{5-x}$ . יש בו שלוש נקודות שבהן הפונקציה מחליפה כיוון או נעצרת. בסוף היחידה תדעו למצוא את שלושתן בלי הגרף.

y = x²√(5 − x)

שלוש נקודות קיצון: מינימום ב-

(0,0)

, מקסימום ב-

(4,16)

, ומינימום בקצה

(5,0)

. משמאל הגרף עולה בלי גבול.

לפי הגרף: למה הגרף אף פעם לא יורד מתחת לציר ה- $x$ ?

Show the answer and the solution

$x^2 \geq 0$ והשורש $\geq 0$ , ולכן המכפלה אי-שלילית בכל התחום. מכאן ששתי הנקודות שבהן $f=0$ , כלומר $(0,0)$ ו- $(5,0)$ , הן מינימום מוחלט.

חקירה מלאה: הסדר של תשובת בגרות

Interactive activity

חקירה מלאה של $f(x)=x^2\sqrt{5-x}$

f(x)=x^2\sqrt{5-x}

לחצו «להתחיל». כל שלב הוא שורה בתשובה.

תחום

5-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 5

הקצה הימני הוא $x=5$ .

צירים

\begin{aligned}x^2\sqrt{5-x} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 5\end{aligned}

הנקודות $(0,0)$ ו- $(5,0)$ . ציר ה- $y$ : $f(0)=0$ .

נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{5x(4-x)}{2\sqrt{5-x}} \ \\ \quad x<5\end{aligned}

מכפלה, שרשרת ומכנה משותף, כמו ביחידה הראשונה.

חשודות

\begin{aligned}f' &= 0: \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4 \qquad \text{קצה}: \ x \\ &= 5\end{aligned}

שני אפסים של המונה, וקצה אחד.

סימנים

f'(-1)<0 \qquad f'(1)>0 \qquad f'(4.5)<0

הסימן של $f'$ הוא הסימן של $5x(4-x)$ .

תחומים

x<0: \searrow \qquad 0<x<4: \nearrow \qquad 4<x<5: \searrow

יורדת, עולה, יורדת.

קיצון

\min(0,\,0) \qquad \max(4,\,16) \qquad \min(5,\,0)

$f(4)=16 \cdot 1=16$ . הקצה $(5,0)$ : הפונקציה מגיעה אליו בירידה, ולכן זה מינימום.

שלושה סוגים של נקודה חשודה בשאלה אחת: $f'=0$ עם החלפת סימן, וקצה שבו $f'$ לא קיימת.

Do the activity on elev

היעזרו בגרף ובטבלה. כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=10$ ? ולמשוואה $f(x)=20$ ?

Show the answer and the solution

$f(x)=10$ : שלושה פתרונות: אחד ב- $x<0$ (הגרף יורד מאינסוף ל- $0$ ), אחד ב- $0<x<4$ ואחד ב- $4<x<5$ . $f(x)=20$ : פתרון אחד בלבד, ב- $x<0$ , כי $20>16$ .

קיצון בקצה, קיצון מוחלט

\text{קצה}

הפונקציה מגיעה לקצה בירידה: מינימום. בעלייה: מקסימום

\text{מקומי}

גבוה או נמוך יותר מהשכנים הקרובים בלבד

\text{מוחלט}

גבוה או נמוך יותר מכל ערך של הפונקציה בתחום

סכום של פולינום ושורש

נתונה $f(x)=4\sqrt{x+3}-x$ . מצאו את נקודות הקיצון, וקבעו אם הן מוחלטות.

x \geq -3

תחום

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2}{\sqrt{x+3}}-1 \ \\ \quad x>-3\end{aligned}

גוזרים כל מחובר

\begin{aligned}\sqrt{x+3} &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \quad f(1) &= 8-1 \\ &= 7\end{aligned}

נקודה חשודה פנימית

\begin{aligned}f'(0) &= \tfrac{2}{\sqrt{3}}-1>0 \qquad f'(6) \\ &= \tfrac{2}{3}-1<0\end{aligned}

עולה ואז יורדת: מקסימום $(1,\,7)$

\begin{aligned}f(-3) &= 0+3 \\ &= 3\end{aligned}

הקצה: הפונקציה יוצאת ממנו בעלייה, ולכן מינימום $(-3,\,3)$

\begin{aligned}f(13) &= 16-13 \\ &= 3 \\ \quad f(22) &= 20-22<0\end{aligned}

המקסימום מוחלט; המינימום בקצה מקומי בלבד

בחקירה, רשמו את הקצה כנקודה חשודה כבר בשלב הנגזרת. תלמיד שמחפש רק $f'=0$ מפספס אותו בכל פעם.

שלוש טעויות בחקירה של פונקציה עם שורש.

\begin{aligned}\text{חשודות}: \ x &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 4 \\ \ x &= 5\end{aligned}

שכחו את הקצה $x=5$ . בו $f'$ לא קיימת, ובכל זאת יש שם קיצון.

f'(6)<0

f'(4.5)<0

בודקים סימן רק בתוך התחום. $x=6$ נותן $\sqrt{-1}$ .

\min(-3,\,3) \ \text{מוחלט}

\min(-3,\,3) \ \text{מקומי}

ב- $4\sqrt{x+3}-x$ הפונקציה יורדת בלי גבול, $f(22)<0$ . קיצון בקצה אינו מוחלט אוטומטית.

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x)=(x-7)\sqrt{x+5}$ . מצאו את נקודת המינימום הפנימית של הפונקציה.

$x=$ ____ , $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x=$ -1 , $y=$ -16

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+5)+(x-7)}{2\sqrt{x+5}} \\ &= \frac{3x+3}{2\sqrt{x+5}}\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}x &= -1 \ ;\quad f'(-2)<0 \\ \ f'(0)>0\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$

\begin{aligned}f(-1) &= -8 \cdot 2 \\ &= -16\end{aligned}

הגובה

מינימום $(-1,\,-16)$ . הגובה מחושב ב- $f$ , לא ב- $f'$ : $f'(-1)=0$ תמיד בנקודה כזו.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x)=(x-7)\sqrt{x+5}$ . מה סוג הנקודה $(-5,\,0)$ ?

מינימום מקומי בקצה התחום
מקסימום מקומי בקצה התחום
מקסימום מוחלט
אינה נקודת קיצון, כי $f'(-5)$ לא קיימת

Show the answer and the solution

Answer: B מקסימום מקומי בקצה התחום

Worked solution:

-5<x<-1: \ f'<0

הפונקציה יוצאת מהקצה בירידה

\begin{aligned}f(11) &= 4 \cdot 4 \\ &= 16>0\end{aligned}

יש ערכים גדולים מ- $0$

הנכונה: מקסימום מקומי בקצה. הגרף יורד מ- $(-5,0)$ אל $(-1,-16)$ . זה לא מוחלט: ב- $x>7$ הפונקציה חיובית ועולה בלי גבול.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=x^2\sqrt{x+5}$ . באיזה תחום הפונקציה יורדת?

$x>0$
$-5<x<-4$
$-4<x<0$
$x<-4$

Show the answer and the solution

Answer: C $-4<x<0$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{5x(x+4)}{2\sqrt{x+5}} \ \\ \quad x>-5\end{aligned}

הנגזרת

f'(-4.5)>0 \quad f'(-1)<0 \quad f'(1)>0

סימן המונה $5x(x+4)$

הנכונה: $-4<x<0$ . $x<-4$ כולל ערכים מחוץ לתחום, כמו $x=-6$ . ב- $-5<x<-4$ הפונקציה עולה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה $f(x)=x^2\sqrt{x+5}$ . מהו הערך של הפונקציה בנקודת המקסימום המקומי שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

f'(x)=\frac{5x(x+4)}{2\sqrt{x+5}}

הנגזרת

x=-4: \ + \to -

מקסימום מקומי

\begin{aligned}f(-4) &= 16 \cdot 1 \\ &= 16\end{aligned}

הערך

הערך הוא $16$ . הוא לא הערך הגדול ביותר של הפונקציה: ב- $x>0$ היא עולה בלי גבול, למשל $f(4)=16 \cdot 3=48$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה $f(x)=x^2\sqrt{x+5}$ יש מינימום מוחלט בנקודה $(0,0)$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x^2 \geq 0 ,\quad \sqrt{x+5} \geq 0

שני הגורמים אי-שליליים

f(x) \geq 0=f(0)

אין ערך קטן מ- $0$

הטענה נכונה. גם $(-5,0)$ היא מינימום מוחלט. לפונקציה יכולות להיות שתי נקודות שבהן מתקבל אותו ערך מינימלי.

Check the answer on elev

Exercise 6

y = x²√(x + 5)

בשרטוט הגרף של $f(x)=x^2\sqrt{x+5}$ והישר $y=8$ . כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=8$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

-5<x<-4: \ 0 \nearrow 16

פתרון אחד בעלייה

-4<x<0: \ 16 \searrow 0

פתרון אחד בירידה

x>0: \ 0 \nearrow

פתרון אחד

שלושה פתרונות. מי שעונה $1$ ראה רק את הענף הימני. הענף הקצר $-5<x<0$ מגיע עד $16$ , והקו $y=8$ חוצה אותו פעמיים.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה $f(x)=(x+4)\sqrt{2-x}$ , ו- $f'(x)=\frac{-3x}{2\sqrt{2-x}}$ . מיינו את הקטעים.

הפונקציה עולה בכל הקטע
הפונקציה יורדת בכל הקטע

$-4<x<0$
$-5<x<-1$
$0<x<1$
$1<x<2$

Show the answer and the solution

Answer: $-5<x<-1$ — הפונקציה עולה בכל הקטע · $-4<x<0$ — הפונקציה עולה בכל הקטע · $0<x<1$ — הפונקציה יורדת בכל הקטע · $1<x<2$ — הפונקציה יורדת בכל הקטע

Worked solution:

x<0: \ -3x>0 \ \Rightarrow \ f'>0

עולה

0<x<2: \ -3x<0 \ \Rightarrow \ f'<0

יורדת

המכנה חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $-3x$ . הקטע $-5<x<-1$ עובר דרך $x=-4$ , שבו $f$ מתאפסת, ובכל זאת כולו עלייה: אפס של $f$ אינו החלפת כיוון.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה $f(x)=(x-7)\sqrt{x+5}$ . איזה תיאור מתאים לסקיצה של הגרף?

יורד עד $(-1,-16)$ , עולה עד $(7,0)$ ונעצר שם
עולה עד $(-1,16)$ , יורד וחוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=7$
מתחיל ב- $(-5,0)$ ועולה בכל התחום
מתחיל ב- $(-5,0)$ , יורד עד $(-1,-16)$ , עולה, חוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=7$ וממשיך לעלות

Show the answer and the solution

Answer: D מתחיל ב- $(-5,0)$ , יורד עד $(-1,-16)$ , עולה, חוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=7$ וממשיך לעלות

Worked solution:

\begin{aligned}x \geq -5 \\ \quad f(-5) &= 0\end{aligned}

התחלה בקצה

\min(-1,\,-16)

מסעיף קודם

\begin{aligned}f(7) &= 0 \\ \quad x>7: \ f>0\end{aligned}

חוצה ועולה

הנכונה: יורד עד $(-1,-16)$ ואז עולה בלי סוף. $x=7$ הוא אפס של $f$ , לא קצה: התחום $x \geq -5$ לא נגמר שם.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה $f(x)=x\sqrt{a-x}$ , ו- $a$ פרמטר חיובי. לפונקציה נקודת קיצון ב- $x=4$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(a-x)-x}{2\sqrt{a-x}} \\ &= \frac{2a-3x}{2\sqrt{a-x}}\end{aligned}

גוזרים עם $a$

\begin{aligned}2a-12 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

מציבים $x=4$ במונה

4<6 \ \checkmark

הנקודה בתחום $x \leq 6$

$a=6$ . בודקים גם ש- $x=4$ בתחום: אם היה יוצא $a<4$ , הנקודה לא הייתה על הגרף.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה $f(x)=6\sqrt{x+1}-x$ . מצאו את נקודת המקסימום ואת הערך של הפונקציה בקצה התחום.

מקסימום: $x=$ ____ , $y=$ ____ ; בקצה: $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: $x=$ 8 , $y=$ 10 ; בקצה: $y=$ 1

Worked solution:

f'(x)=\frac{3}{\sqrt{x+1}}-1

הנגזרת

\begin{aligned}\sqrt{x+1} &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8 \\ \quad f(8) &= 18-8 \\ &= 10\end{aligned}

המקסימום

\begin{aligned}f(-1) &= 0+1 \\ &= 1\end{aligned}

הקצה $x=-1$ : מינימום מקומי

מקסימום $(8,\,10)$ ומינימום מקומי בקצה $(-1,\,1)$ . $f(-1)=1$ ולא $0$ : המחובר $-x$ נותן $+1$ .

Check the answer on elev

חקירה מלאה: הסדר של תשובת בגרות

קיצון בקצה, קיצון מוחלט

Exercises

Keep practising on elev