Set 2 — medium · Functions with a root · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות בינוניות: נקודת קיצון פנימית ובקצה, משיק וחיתוכו, תחומי עלייה וירידה, פרמטר אחד, מספר פתרונות, ושני הסוגים של נקודה חשודה.

כל שאלה כאן היא שניים או שלושה צעדים. כתבו את הנגזרת כשבר אחד לפני כל דבר אחר: ממנה יוצאים האפסים, הסימנים והקצה.

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x)=(x-10)\sqrt{x+2}$ . מצאו את נקודת המינימום של הפונקציה.

$x=$ ____ , $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x=$ 2 , $y=$ -16

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+2)+(x-10)}{2\sqrt{x+2}} \\ &= \frac{3x-6}{2\sqrt{x+2}}\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}x &= 2 \ ;\quad f'(0)<0 \\ \ f'(7)>0\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$

\begin{aligned}f(2) &= -8 \cdot 2 \\ &= -16\end{aligned}

הגובה

מינימום $(2,\,-16)$ . הקצה $(-2,0)$ הוא מקסימום מקומי, ולא נשאל כאן.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x)=(x+3)\sqrt{1-x}$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ חותך את ציר ה- $x$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

f(0)=3

הנקודה $(0,\,3)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-3x-1}{2\sqrt{1-x}} \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y &= -\tfrac{1}{2}x+3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

המשיק וחיתוכו

$x=6$ , מחוץ לתחום של $f$ ( $x \leq 1$ ). אין בזה בעיה: המשיק הוא ישר שלם, והוא לא מוגבל לתחום של הפונקציה.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=(x+2)\sqrt{7-x}$ . באיזה תחום הפונקציה יורדת?

$4<x<7$
$x<4$
$-2<x<4$
$x>4$

Show the answer and the solution

Answer: A $4<x<7$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(7-x)-(x+2)}{2\sqrt{7-x}} \\ &= \frac{12-3x}{2\sqrt{7-x}}\end{aligned}

הנגזרת

x<4: \ f'>0 \qquad 4<x<7: \ f'<0

סימן המונה

הנכונה: $4<x<7$ . $x>4$ כולל ערכים מחוץ לתחום. התחום נגמר ב- $x=7$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

הוכיחו או הפריכו: הנקודה $(0,0)$ היא נקודת מינימום של $f(x)=x^2\sqrt{3-x}$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4x(3-x)-x^2}{2\sqrt{3-x}} \\ &= \frac{x(12-5x)}{2\sqrt{3-x}}\end{aligned}

הנגזרת

f'(-1)<0 \qquad f'(1)>0

מ- $-$ ל- $+$

הטענה נכונה. ויותר מזה: $f \geq 0$ בכל התחום, ולכן זה מינימום מוחלט.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x)=(x+a)\sqrt{x+6}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב- $x=-2$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: -6

Worked solution:

f'(x)=\frac{3x+12+a}{2\sqrt{x+6}}

גוזרים עם $a$

\begin{aligned}-6+12+a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -6\end{aligned}

מציבים $x=-2$ במונה

$a=-6$ . בדיקה: $f(x)=(x-6)\sqrt{x+6}$ ו- $f(-2)=-8 \cdot 2=-16$ , מינימום.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה $f(x)=(x-7)\sqrt{x+5}$ . לפונקציה מקסימום מקומי בקצה $(-5,0)$ ומינימום ב- $(-1,-16)$ . כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=-10$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

-5<x<-1: \ 0 \searrow -16

פתרון אחד בירידה

x>-1: \ -16 \nearrow

פתרון אחד בעלייה

שני פתרונות. בין הקצה למינימום הגרף עובר את $-10$ פעם אחת, ואחרי המינימום עוד פעם.

Check the answer on elev

Exercise 7

מחפשים את האפסים של הנגזרת של $f(x)=x^2\sqrt{x+5}$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f'(x)=2x\sqrt{x+5}+\frac{x^2}{2\sqrt{x+5}}

=\frac{4x(x+5)+x^2}{2\sqrt{x+5}}

=\frac{5x^2+20x}{2\sqrt{x+5}}

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $f'(x)=0 \ \Rightarrow \ x=0 ,\ x=4$ → $f'(x)=0 \ \Rightarrow \ x=0 ,\ x=-4$

Worked solution:

5x^2+20x=5x(x+4)

מפרקים

\begin{aligned}x+4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -4\end{aligned}

הסימן

השורה האחרונה. $5x(x+4)=0$ נותן $x=-4$ , לא $4$ . ו- $x=4$ גם לא היה מאפס: $5 \cdot 16+80 \neq 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה $f(x)=(x+3)\sqrt{x+3}$ . מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=1$ ?

$y=\frac{1}{4}x+\frac{31}{4}$
$y=3x+5$
$y=8$
$y=3x+8$

Show the answer and the solution

Answer: B $y=3x+5$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x+3}+\frac{x+3}{2\sqrt{x+3}} \\ &= \frac{3}{2}\sqrt{x+3}\end{aligned}

$\frac{x+3}{\sqrt{x+3}}=\sqrt{x+3}$

\begin{aligned}f(1) &= 8 \\ \quad f'(1) &= 3\end{aligned}

נקודה ושיפוע

\begin{aligned}y-8 &= 3(x-1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x+5\end{aligned}

המשיק

הנכונה: $y=3x+5$ . $\frac{1}{4}$ הוא שיפוע של $\sqrt{x+3}$ לבדו, בלי כלל המכפלה. $y=3x+8$ שכח להציב את הנקודה.

Check the answer on elev

Exercise 9

מיינו את הנקודות: באיזו הנגזרת מתאפסת, ובאיזו היא לא קיימת?

$f'$ מתאפסת
$f'$ לא קיימת

$x=-\frac{4}{3}$ עבור $(x-2)\sqrt{2x+6}$
$x=-3$ עבור $(x-2)\sqrt{2x+6}$
$x=-5$ עבור $x^2\sqrt{x+5}$
$x=0$ עבור $x^2\sqrt{x+5}$
$x=3$ עבור $(x-1)\sqrt{4-x}$
$x=4$ עבור $(x-1)\sqrt{4-x}$

Show the answer and the solution

Answer: $x=-\frac{4}{3}$ עבור $(x-2)\sqrt{2x+6}$ — $f'$ מתאפסת · $x=-3$ עבור $(x-2)\sqrt{2x+6}$ — $f'$ לא קיימת · $x=0$ עבור $x^2\sqrt{x+5}$ — $f'$ מתאפסת · $x=-5$ עבור $x^2\sqrt{x+5}$ — $f'$ לא קיימת · $x=3$ עבור $(x-1)\sqrt{4-x}$ — $f'$ מתאפסת · $x=4$ עבור $(x-1)\sqrt{4-x}$ — $f'$ לא קיימת

Worked solution:

\left((x-2)\sqrt{2x+6}\right)'=\frac{3x+4}{\sqrt{2x+6}}

אפס ב- $-\frac{4}{3}$ , קצה ב- $-3$

\left((x-1)\sqrt{4-x}\right)'=\frac{9-3x}{2\sqrt{4-x}}

אפס ב- $3$ , קצה ב- $4$

בכל פונקציה אחת מכל סוג: אפס המונה, וקצה התחום שבו המכנה מתאפס. שני הסוגים הם נקודות חשודות.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה $f(x)=8\sqrt{x+2}-2x$ . מצאו את נקודת המקסימום ואת הערך של הפונקציה בקצה התחום.

מקסימום: $x=$ ____ , $y=$ ____ ; בקצה: $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: $x=$ 2 , $y=$ 12 ; בקצה: $y=$ 4

Worked solution:

f'(x)=\frac{4}{\sqrt{x+2}}-2

הנגזרת

\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \quad f(2) &= 16-4 \\ &= 12\end{aligned}

המקסימום

\begin{aligned}f(-2) &= 0+4 \\ &= 4\end{aligned}

הקצה: מינימום מקומי

מקסימום $(2,\,12)$ ומינימום מקומי בקצה $(-2,\,4)$ . $f(-2)=4$ : $-2x$ עם $x=-2$ נותן $+4$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev