Set 3 — towards the bagrut

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח שאלת השורש של הבגרות, מחולקות לסעיפים. כל תרגיל הוא סעיף אחד, עם אותה פתיחה. פרמטר מנקודה ומספר פתרונות; פרמטר מקיצון והזזה f+cf+c; וגרף של f′f' עם g=−fg=-f.

בבגרות כל סעיף נשען על הקודם. אחרי שמצאתם את הפרמטר, הציבו אותו ובדקו אותו בנתון לפני שממשיכים.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+af(x)=(x-3)\sqrt{2x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−3, 0)(-3,\,0). א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

(−3−3)−6+a=0(-3-3)\sqrt{-6+a}=0

מציבים את הנקודה

−6≠0 ⇒ −6+a=0 ⇒ a=6\begin{aligned}-6 \neq 0 \ \Rightarrow \ -6+a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

השורש מתאפס

a=6a=6. הגורם x−3x-3 שווה −6-6 ב-x=−3x=-3, ולכן רק השורש יכול להתאפס.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+af(x)=(x-3)\sqrt{2x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−3, 0)(-3,\,0). ב. הציבו a=6a=6. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודת החיתוך הנוספת של הגרף עם ציר ה-xx.

תחום: x≥x \geq ____ ; חיתוך נוסף: x=x= ____

Show the answer and the solution

Answer: תחום: x≥x \geq -3 ; חיתוך נוסף: x=x= 3

Worked solution:

2x+6≥0 ⇒ x≥−32x+6 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -3

תחום

x−3=0 ⇒ x=3\begin{aligned}x-3 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

האפס השני

התחום x≥−3x \geq -3, והאפסים −3-3 (הקצה) ו-33.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+af(x)=(x-3)\sqrt{2x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−3, 0)(-3,\,0). ג. הציבו a=6a=6. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של ff.

x=x= ____ , y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x= -1 , y=y= -8

Worked solution:

f′(x)=2x+6+x−32x+6=3x+32x+6\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{2x+6}+\frac{x-3}{\sqrt{2x+6}} \\ &= \frac{3x+3}{\sqrt{2x+6}}\end{aligned}

מכפלה; הנגזרת הפנימית 22 מצטמצמת

x=−1 ;f′(−2)<0 f′(0)>0\begin{aligned}x &= -1 \ ;\quad f'(-2)<0 \\ \ f'(0)>0\end{aligned}

מינימום

f(−1)=−4⋅2=−8\begin{aligned}f(-1) &= -4 \cdot 2 \\ &= -8\end{aligned}

הגובה

מינימום (−1, −8)(-1,\,-8). מי שכותב 122x+6\frac{1}{2\sqrt{2x+6}} שכח את הנגזרת הפנימית, ומקבל x=−95x=-\frac{9}{5}.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+af(x)=(x-3)\sqrt{2x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−3, 0)(-3,\,0). ד. הציבו a=6a=6. מה סוג הנקודה (−3, 0)(-3,\,0)?

  1. מקסימום מקומי בקצה התחום
  2. אינה נקודת קיצון
  3. מקסימום מוחלט
  4. מינימום מקומי בקצה התחום
Show the answer and the solution

Answer: A מקסימום מקומי בקצה התחום

Worked solution:

−3<x<−1: f′<0-3<x<-1: \ f'<0

יוצאת מהקצה בירידה

f(5)=2⋅4=8>0\begin{aligned}f(5) &= 2 \cdot 4 \\ &= 8>0\end{aligned}

יש ערכים גבוהים יותר

הנכונה: מקסימום מקומי בקצה. לא מוחלט: אחרי x=3x=3 הפונקציה חיובית ועולה.

Check the answer on elev

Exercise 5

y = f(x)
(−3,0)(−1,−8)(3,0)-4-3-2-1012345-10-8-6-4-2246xy

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+af(x)=(x-3)\sqrt{2x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−3, 0)(-3,\,0). ה. הציבו a=6a=6, והיעזרו בסקיצה שבשרטוט. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x)=k בדיוק שני פתרונות?

  1. −8<k≤0-8<k \leq 0
  2. k≤0k \leq 0
  3. −8<k<0-8<k<0
  4. k>−8k>-8
Show the answer and the solution

Answer: A −8<k≤0-8<k \leq 0

Worked solution:

−3≤x≤−1: 0↘−8-3 \leq x \leq -1: \ 0 \searrow -8

ענף ראשון

x≥−1: −8↗x \geq -1: \ -8 \nearrow

ענף שני, בלי גבול

k=0: x=−3 x=3\begin{aligned}k &= 0: \ x \\ &= -3 \\ \ x &= 3\end{aligned}

שני פתרונות גם ב-k=0k=0

הנכונה: −8<k≤0-8<k \leq 0. k=0k=0 נכלל: הקצה (−3,0)(-3,0) הוא נקודה של הגרף. k=−8k=-8 נותן פתרון אחד, ו-k>0k>0 פתרון אחד.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה f(x)=x2a−2xf(x)=x^2\sqrt{a-2x}, ו-aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=2x=2. א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

f′(x)=2xa−2x+−2x22a−2x=x(4a−10x)2a−2x\begin{aligned}f'(x) &= 2x\sqrt{a-2x}+\frac{-2x^2}{2\sqrt{a-2x}} \\ &= \frac{x(4a-10x)}{2\sqrt{a-2x}}\end{aligned}

מכפלה ושרשרת

4a−20=0 ⇒ a=5\begin{aligned}4a-20 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 5\end{aligned}

מציבים x=2x=2

a=5a=5. הנגזרת הפנימית של a−2xa-2x היא −2-2: בלעדיה מתקבל aa אחר.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה f(x)=x2a−2xf(x)=x^2\sqrt{a-2x}, ו-aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=2x=2. ב. הציבו a=5a=5. מצאו את נקודת המקסימום של ff.

x=x= ____ , y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x= 2 , y=y= 4

Worked solution:

f′(x)=5x(2−x)5−2x x<2.5\begin{aligned}f'(x) &= \frac{5x(2-x)}{\sqrt{5-2x}} \ \\ \quad x<2.5\end{aligned}

הנגזרת

f′(1)>0f′(2.2)<0f'(1)>0 \qquad f'(2.2)<0

מ-++ ל-−-

f(2)=4⋅1=4\begin{aligned}f(2) &= 4 \cdot 1 \\ &= 4\end{aligned}

הגובה

מקסימום (2, 4)(2,\,4). בודקים סימן ב-2.22.2, לא ב-33: התחום נגמר ב-2.52.5.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה f(x)=x2a−2xf(x)=x^2\sqrt{a-2x}, ו-aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=2x=2. ג. הציבו a=5a=5. נתונה g(x)=f(x)+cg(x)=f(x)+c. מצאו את שני הערכים של cc שעבורם הישר y=10y=10 משיק לגרף של gg.

הקטן: c=c= ____ ; הגדול: c=c= ____

Show the answer and the solution

Answer: הקטן: c=c= 6 ; הגדול: c=c= 10

Worked solution:

g′(x)=f′(x)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}g'(x) &= f'(x) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

משיק אופקי

g(0)=0+c=10 ⇒ c=10\begin{aligned}g(0) &= 0+c \\ &= 10 \ \Rightarrow \ c \\ &= 10\end{aligned}

במינימום

g(2)=4+c=10 ⇒ c=6\begin{aligned}g(2) &= 4+c \\ &= 10 \ \Rightarrow \ c \\ &= 6\end{aligned}

במקסימום

c=6c=6 או c=10c=10. משיק אופקי יש בכל נקודה שבה f′=0f'=0. מי שמוצא רק ערך אחד בדק רק את המקסימום.

Check the answer on elev

Exercise 9

הגרף של f′
(8,0)02468101214161820-6-5-4-3-2-11f′(x)x

בשרטוט הגרף של f′f', הנגזרת של הפונקציה f(x)=x−6x+1f(x)=x-6\sqrt{x+1}. הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx רק ב-x=8x=8. א. מה נכון לגבי נקודות הקיצון של ff?

  1. מינימום ב-x=8x=8 ומקסימום בקצה x=−1x=-1
  2. מינימום ב-x=8x=8 בלבד
  3. מקסימום ב-x=8x=8 ומינימום בקצה x=−1x=-1
  4. מקסימום ב-x=0x=0, כי שם f′f' משנה כיוון
Show the answer and the solution

Answer: A מינימום ב-x=8x=8 ומקסימום בקצה x=−1x=-1

Worked solution:

−1<x<8: f′<0x>8: f′>0-1<x<8: \ f'<0 \qquad x>8: \ f'>0

קוראים סימנים

x=8: −→+ ⇒ min⁡x=8: \ - \to + \ \Rightarrow \ \min

קיצון פנימי

x=−1: קצהx=-1: \ \text{קצה}

יוצאת ממנו בירידה: מקסימום

הנכונה: מינימום ב-x=8x=8 ומקסימום בקצה x=−1x=-1. «מינימום בלבד» שכח את הקצה, שם f′f' צוללת ואינה קיימת.

Check the answer on elev

Exercise 10

בשרטוט הגרף של f′f', הנגזרת של הפונקציה f(x)=x−6x+1f(x)=x-6\sqrt{x+1}. הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx רק ב-x=8x=8. ב. נתונה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x). מצאו את הערך המינימלי של ff ואת שיעור ה-yy של נקודת המקסימום של gg.

מינימום של ff: ____ ; מקסימום של gg: y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: מינימום של ff: -10 ; מקסימום של gg: y=y= 10

Worked solution:

f(8)=8−6⋅3=−10\begin{aligned}f(8) &= 8-6 \cdot 3 \\ &= -10\end{aligned}

המינימום של ff

g(8)=−f(8)=10\begin{aligned}g(8) &= -f(8) \\ &= 10\end{aligned}

שיקוף בציר xx

−10-10 ו-1010. השיקוף הופך מינימום למקסימום ומחליף את סימן הגובה. ה-xx נשאר 88.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade