Sequences

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סדרה היא רשימת מספרים בסדר קבוע. שני סוגים מכסים כמעט הכול בבגרות, וההבדל ביניהם הוא מה נשמר בין איבר לאיבר.

dd

סדרה חשבונית — כל איבר גדול מקודמו בהפרש קבוע: 3, 7, 11, 15.

qq

סדרה הנדסית — כל איבר הוא קודמו כפול מנה קבועה: 3, 6, 12, 24.

האיבר הכללי

an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1) d

למה n−1n - 1? כי מהאיבר הראשון עד ה-nn עשינו צעד אחד פחות ממספר האיברים. מ-a1a_1 ל-a5a_5 יש ארבעה צעדים, לא חמישה.

an=a1⋅q n−1a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}

ובהנדסית — אותו היגיון בדיוק, רק שבמקום להוסיף dd כופלים ב-qq.

סכום סדרה חשבונית

Sn=(a1+an)⋅n2S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

ההוכחה היפה של גאוס: כותבים את הסדרה פעמיים — פעם אחת רגיל ופעם אחת הפוך — ומחברים. כל זוג נותן אותו סכום, ויש nn זוגות. מחלקים ב-2 כי ספרנו פעמיים.

סדרה שלמה

בסדרה חשבונית a1=5a_1 = 5 ו-d=3d = 3. מצאו את a10a_{10} ואת סכום עשרת הראשונים.

a10=5+9⋅3a_{10} = 5 + 9 \cdot 3

תשעה צעדים, לא עשרה

=32= 32

האיבר העשירי

S10=(5+32)⋅102S_{10} = \frac{(5 + 32) \cdot 10}{2}

נוסחת הסכום

=185= 185

הסכום

הטעות של הסדרות.

an=a1+n⋅da_n = a_1 + n \cdot d
a1+(n−1)da_1 + (n - 1) d

צעד אחד פחות ממספר האיברים. זו הטעות שחוזרת יותר מכל אחרת בפרק.

בסדרה חשבונית a1=3a_1 = 3 ו-d=4d = 4. מהו a10a_{10}?

Show the answer and the solution

39: an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d, כלומר 3+9⋅43 + 9 \cdot 4. שימו לב ל-(n−1)(n-1) — תשע קפיצות, לא עשר.

Exercises

Exercise 1

בסדרה חשבונית a1=5a_1 = 5 ו-d=3d = 3. מהו a10a_{10}?

Show the answer and the solution

Answer: 32

Worked solution:

a10=5+9⋅3a_{10} = 5 + 9 \cdot 3

תשעה צעדים

=32= 32

התוצאה

n−1n - 1 ולא nn — צעד אחד פחות ממספר האיברים.

Check the answer on elev

Exercise 2

באותה סדרה — מהו סכום עשרת האיברים הראשונים?

Show the answer and the solution

Answer: 185

Worked solution:

S=(5+32)⋅102S = \frac{(5 + 32) \cdot 10}{2}

נוסחת הסכום

=185= 185

מחשבים

ממוצע הקצוות כפול מספר האיברים.

Check the answer on elev

Exercise 3

בסדרה הנדסית a1=3a_1 = 3 ו-q=2q = 2. מהו a5a_5?

Show the answer and the solution

Answer: 48

Worked solution:

3⋅243 \cdot 2^4

ארבעה צעדים

=48= 48

התוצאה

3, 6, 12, 24, 48 — בדיקה בספירה.

Check the answer on elev

Exercise 4

הסדרה 4, 12, 36, 108 — איזה סוג?

  1. חשבונית, d=8d = 8
  2. הנדסית, q=3q = 3
  3. הנדסית, q=8q = 8
  4. לא חשבונית ולא הנדסית
Show the answer and the solution

Answer: B הנדסית, q=3q = 3

Worked solution:

12:4=312 : 4 = 3

המנה

36:12=336 : 12 = 3

זהה

מנה קבועה — הנדסית. ההפרשים כאן אינם קבועים.

Check the answer on elev

Exercise 5

בסדרה חשבונית a1=2a_1 = 2 ו-a5=18a_5 = 18. מהו dd?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

18=2+4d18 = 2 + 4d

ארבעה צעדים מ-a1a_1 ל-a5a_5

4d=16⇒d=4\begin{aligned}4d &= 16 \Rightarrow d \\ &= 4\end{aligned}

פותרים

ארבעה צעדים, לא חמישה.

Check the answer on elev

Exercise 6

בסדרה חשבונית a1=8a_1 = 8 ו-d=5d = 5. מהו a12a_{12}?

Show the answer and the solution

Answer: 63

Worked solution:

8+11⋅58 + 11 \cdot 5

אחת-עשרה קפיצות

=63= 63

(n−1)(n-1) קפיצות, לא nn.

Check the answer on elev

Exercise 7

בסדרה הנדסית a1=4a_1 = 4 ו-q=3q = 3. מהו a4a_4?

Show the answer and the solution

Answer: 108

Worked solution:

4⋅334 \cdot 3^3

שלוש קפיצות

=108= 108

בהנדסית ה-(n−1)(n-1) יושב בחזקה.

Check the answer on elev

Exercise 8

בסדרה חשבונית a1=2a_1 = 2 ו-d=4d = 4. מהו הסכום S8S_8?

Show the answer and the solution

Answer: 128

Worked solution:

a8=2+7⋅4=30\begin{aligned}a_8 &= 2 + 7 \cdot 4 \\ &= 30\end{aligned}

קודם האחרון

8(2+30)2=128\frac{8(2+30)}{2} = 128

הסכום נשען על האיבר האחרון — מחשבים אותו קודם.

Check the answer on elev

Exercise 9

סדרה שבה כל איבר הוא פי 3 מקודמו. איזו סדרה זו?

  1. הנדסית עם q=3q = 3
  2. לא סדרה מוכרת
  3. תלוי באיבר הראשון
  4. חשבונית עם d=3d = 3
Show the answer and the solution

Answer: A הנדסית עם q=3q = 3

Worked solution:

an+1=3ana_{n+1} = 3a_n

כפל קבוע

כפל ⇐ הנדסית. חיבור ⇐ חשבונית. זו כל ההבחנה.

Check the answer on elev

Exercise 10

האיברים 66, bb, 1414 עוקבים בסדרה חשבונית. מהו bb?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

2b=6+142b = 6 + 14

האמצעי הוא הממוצע

b=10b = 10

ההפרש יוצא 44: 6,10,146, 10, 14.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade