The law of sines

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

משולש ישר זווית שהיתר שלו 1010, וזוויותיו 30∘30^\circ, 60∘60^\circ ו-90∘90^\circ. הצלעות: 55, 535\sqrt{3} ו-1010. מחלקים כל צלע בסינוס של הזווית שמולה: 5sin⁡30∘=10\frac{5}{\sin 30^\circ} = 10, 53sin⁡60∘=10\frac{5\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 10, 10sin⁡90∘=10\frac{10}{\sin 90^\circ} = 10. שלוש פעמים אותו מספר, והוא אורך היתר: הקוטר של המעגל שעובר דרך שלושת הקדקודים.

αα2ROABCD
BDBD קוטר. ∠BDC\angle BDC ו-∠BAC\angle BAC הן זוויות היקפיות על אותה קשת BCBC, ולכן שתיהן α\alpha. ∠BCD=90∘\angle BCD = 90^\circ, כי היא נשענת על קוטר.

למה במשולש ישר זווית היתר הוא קוטר של המעגל החוסם?

Show the answer and the solution

זווית היקפית של 90∘90^\circ נשענת על קשת של 180∘180^\circ, כלומר על קוטר. לכן היתר הוא קוטר, 2R2R. בשרטוט זה המשולש BCDBCD: הזווית הישרה ב-CC והיתר BDBD.

משפט הסינוסים

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\begin{aligned}\frac{a}{\sin\alpha} &= \frac{b}{\sin\beta} \\ &= \frac{c}{\sin\gamma} \\ &= 2R\end{aligned}

בכל משולש, לא רק במשולש ישר זווית. RR הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

למה? בשרטוט: sin⁡α=BCBD=a2R\sin\alpha = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R} במשולש ישר הזווית BCDBCD. ומכאן asin⁡α=2R\frac{a}{\sin\alpha} = 2R. אותו דבר עם bb ועם cc. ואם α\alpha קהה? הזווית ב-DD היא 180∘−α180^\circ - \alpha, ו-sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha: המשפט לא משתנה.

a, αa,\ \alpha

הזוג: צלע והזווית שמולה. בלי זוג ידוע המשפט לא מתחיל.

β ⇒ b\beta \ \Rightarrow \ b

עם הזוג ועוד זווית: מוצאים את הצלע שמולה.

β, γ ⇒ α\beta,\ \gamma \ \Rightarrow \ \alpha

שתי זוויות נותנות את השלישית: α=180∘−β−γ\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma.

2R=asin⁡α2R = \frac{a}{\sin\alpha}

הזוג לבדו כבר נותן את רדיוס המעגל החוסם.

צלע חסרה

במשולש ABCABC נתון BC=8BC = 8, ∠A=45∘\angle A = 45^\circ ו-∠C=60∘\angle C = 60^\circ. מצאו את ABAB ואת רדיוס המעגל החוסם.

BC, ∠ABC,\ \angle A

הזוג: BCBC מול ∠A\angle A

ABsin⁡60∘=8sin⁡45∘\frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin 45^\circ}

ABAB מול ∠C\angle C

AB=8⋅3222=46≈9.80\begin{aligned}AB &= \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ &= 4\sqrt{6} \approx 9.80\end{aligned}
2R=8sin⁡45∘=82 ⇒ R=42≈5.66\begin{aligned}2R &= \frac{8}{\sin 45^\circ} \\ &= 8\sqrt{2} \ \Rightarrow \ R \\ &= 4\sqrt{2} \approx 5.66\end{aligned}

חצי מהיחס

במשולש זווית של 30∘30^\circ וזווית של 45∘45^\circ. הצלע שמול 30∘30^\circ היא 66. מה אורך הצלע שמול 45∘45^\circ?

Show the answer and the solution

xsin⁡45∘=6sin⁡30∘=12\frac{x}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sin 30^\circ} = 12, ולכן x=12⋅22=62≈8.49x = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \approx 8.49. בדיקה: 45∘>30∘45^\circ > 30^\circ, ולכן הצלע ארוכה מ-66.

בדיקה מהירה בכל תשובה: מול הזווית הגדולה הצלע הגדולה. אם יצא לכם b<ab < a כש-β>α\beta > \alpha, הפכתם את היחס. ולפני כל חישוב: המחשבון במצב מעלות (DEG).

שלוש טעויות במשפט הסינוסים.

asin⁡α=R\frac{a}{\sin\alpha} = R
asin⁡α=2R\frac{a}{\sin\alpha} = 2R

היחס הוא הקוטר. במשולש ישר זווית: היתר חלקי sin⁡90∘\sin 90^\circ הוא היתר, והיתר הוא קוטר.

ABsin⁡A=BCsin⁡C\frac{AB}{\sin A} = \frac{BC}{\sin C}
ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}

הצלע ABAB יוצאת מ-AA, ולכן היא לא מול AA. מול AA נמצאת BCBC.

∠C=180∘−45∘\angle C = 180^\circ - 45^\circ
∠C=180∘−∠A−∠B\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B

הזווית השלישית היא 180∘180^\circ פחות שתי הזוויות האחרות.

Exercises

Exercise 1

ABC

במשולש ABCABC נתון BC=12BC = 12, ∠A=40∘\angle A = 40^\circ ו-∠B=75∘\angle B = 75^\circ. מצאו את ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 18.03

Worked solution:

ACsin⁡75∘=12sin⁡40∘\frac{AC}{\sin 75^\circ} = \frac{12}{\sin 40^\circ}

משפט הסינוסים: BCBC מול AA, ACAC מול BB

AC=12sin⁡75∘sin⁡40∘≈18.03AC = \frac{12 \sin 75^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 18.03

AC≈18.03AC \approx 18.03. המלכודת: 12sin⁡40∘sin⁡75∘≈7.99\frac{12 \sin 40^\circ}{\sin 75^\circ} \approx 7.99, היחס ההפוך. בדיקה: 75∘>40∘75^\circ > 40^\circ, ולכן AC>BCAC > BC.

Check the answer on elev

Exercise 2

ABC
המעגל החוסם לא מצויר.

במשולש ABCABC נתון BC=9BC = 9 ו-∠A=30∘\angle A = 30^\circ. מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

9sin⁡30∘=2R\frac{9}{\sin 30^\circ} = 2R

הזוג: BCBC והזווית שמולה

18=2R ⇒ R=9\begin{aligned}18 &= 2R \ \Rightarrow \ R \\ &= 9\end{aligned}

R=9R = 9. המלכודת: לעצור ב-1818, שזה הקוטר ולא הרדיוס.

Check the answer on elev

Exercise 3

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו 66. נתון ∠C=45∘\angle C = 45^\circ. מהו אורך ABAB?

  1. 12212\sqrt{2}
  2. 66
  3. 626\sqrt{2}
  4. 323\sqrt{2}
Show the answer and the solution

Answer: C 626\sqrt{2}

Worked solution:

ABsin⁡C=2R\frac{AB}{\sin C} = 2R

ABAB מול ∠C\angle C

AB=2⋅6⋅sin⁡45∘=12⋅22=62\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 6 \cdot \sin 45^\circ \\ &= 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 6\sqrt{2}\end{aligned}

הנכונה: 626\sqrt{2}. המלכודת: 323\sqrt{2} מתקבל מ-Rsin⁡CR\sin C, בלי ה-22.

Check the answer on elev

Exercise 4

ABC

במשולש ABCABC נתון BC=10BC = 10, ∠B=50∘\angle B = 50^\circ ו-∠C=60∘\angle C = 60^\circ. מצאו את ABAB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 9.22

Worked solution:

∠A=180∘−50∘−60∘=70∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

הזווית שמול BCBC

ABsin⁡60∘=10sin⁡70∘\frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin 70^\circ}

ABAB מול ∠C\angle C

AB=10sin⁡60∘sin⁡70∘≈9.22AB = \frac{10 \sin 60^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 9.22

AB≈9.22AB \approx 9.22. המלכודת: לכתוב 10sin⁡50∘\frac{10}{\sin 50^\circ}. ∠B\angle B לא נמצאת מול BCBC, ולכן קודם מוצאים את ∠A\angle A.

Check the answer on elev

Exercise 5

ABC

איזה שוויון נכון בכל משולש ABCABC?

  1. AB⋅sin⁡C=BC⋅sin⁡AAB \cdot \sin C = BC \cdot \sin A
  2. ABsin⁡B=ACsin⁡C\frac{AB}{\sin B} = \frac{AC}{\sin C}
  3. ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}
  4. ABsin⁡A=BCsin⁡C\frac{AB}{\sin A} = \frac{BC}{\sin C}
Show the answer and the solution

Answer: C ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}

Worked solution:

AB↔∠C,BC↔∠AAB \leftrightarrow \angle C ,\quad BC \leftrightarrow \angle A

כל צלע עם הזווית שמולה

ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}

משפט הסינוסים

הנכונה: ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}. המלכודת: לחבר צלע לזווית שבקצה שלה. הצלע שמול קדקוד היא הצלע שאין בה את האות שלו.

Check the answer on elev

Exercise 6

ABCO
OO מרכז המעגל החוסם.

מצאו את רדיוס המעגל החוסם משולש שווה צלעות שצלעו 99 (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 5.2

Worked solution:

9sin⁡60∘=2R\frac{9}{\sin 60^\circ} = 2R

כל זווית היא 60∘60^\circ

R=92⋅32=93=33≈5.20\begin{aligned}R &= \frac{9}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \frac{9}{\sqrt{3}} \\ &= 3\sqrt{3} \approx 5.20\end{aligned}

רדיוס 33≈5.203\sqrt{3} \approx 5.20. המלכודת: R=4.5R = 4.5, חצי צלע. צלע היא קוטר רק כשהזווית שמולה ישרה.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABC

במשולש ABCABC נתון ∠A>∠B\angle A > \angle B (שתיהן חדות). לכן BC>ACBC > AC.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

BC=2Rsin⁡AAC=2Rsin⁡B\begin{aligned}BC &= 2R\sin A \\ \quad AC &= 2R\sin B\end{aligned}

משפט הסינוסים

∠A>∠B ⇒ sin⁡A>sin⁡B\angle A > \angle B \ \Rightarrow \ \sin A > \sin B

בין 0∘0^\circ ל-90∘90^\circ הסינוס עולה

נכון: מול הזווית הגדולה הצלע הגדולה. המלכודת: להשוות את ABAB ואת ACAC, הצלעות שיוצאות מ-AA, במקום את הצלעות שמול הזוויות.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו 55. נתון ∠A=70∘\angle A = 70^\circ. מצאו את BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 9.4

Worked solution:

BCsin⁡70∘=2⋅5\frac{BC}{\sin 70^\circ} = 2 \cdot 5

BCBC מול ∠A\angle A

BC=10sin⁡70∘≈9.4BC = 10 \sin 70^\circ \approx 9.4

BC≈9.4BC \approx 9.4. המלכודת: 5sin⁡70∘≈4.75 \sin 70^\circ \approx 4.7, רדיוס במקום קוטר.

Check the answer on elev

Exercise 9

CAB

שני מגדלי תצפית AA ו-BB בנמל אשדוד נמצאים במרחק 800800 מטר זה מזה. אונייה CC נראית מ-AA בזווית ∠CAB=55∘\angle CAB = 55^\circ ומ-BB בזווית ∠CBA=65∘\angle CBA = 65^\circ. מצאו את המרחק ACAC במטרים (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 837.21

Worked solution:

∠C=180∘−55∘−65∘=60∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 55^\circ - 65^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית שמול ABAB

ACsin⁡65∘=800sin⁡60∘\frac{AC}{\sin 65^\circ} = \frac{800}{\sin 60^\circ}

ACAC מול ∠B\angle B

AC=800sin⁡65∘sin⁡60∘≈837.21AC = \frac{800 \sin 65^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 837.21

AC≈837.21AC \approx 837.21 מטר. המלכודת: לחבר את ACAC לזווית 55∘55^\circ שב-AA. זו זווית שיוצאת מ-AA, והיא מול BCBC.

Check the answer on elev

Exercise 10

ABC

מיינו: באילו נתונים אפשר להתחיל מיד במשפט הסינוסים במשולש ABCABC?

  • יש זוג צלע וזווית שמולה
  • אין זוג
  • a, α, βa ,\ \alpha ,\ \beta
  • a, b, γa ,\ b ,\ \gamma
  • a, b, ca ,\ b ,\ c
  • b, α, γb ,\ \alpha ,\ \gamma
  • c, γ, Rc ,\ \gamma ,\ R
Show the answer and the solution

Answer: a, α, βa ,\ \alpha ,\ \beta — יש זוג צלע וזווית שמולה · b, α, γb ,\ \alpha ,\ \gamma — יש זוג צלע וזווית שמולה · c, γ, Rc ,\ \gamma ,\ R — יש זוג צלע וזווית שמולה · a, b, γa ,\ b ,\ \gamma — אין זוג · a, b, ca ,\ b ,\ c — אין זוג

Worked solution:

a, αa,\ \alpha

זוג ידוע מיד

α γ ⇒ β=180∘−α−γ\begin{aligned}\alpha \\ \ \gamma \ \Rightarrow \ \beta &= 180^\circ - \alpha - \gamma\end{aligned}

שתי זוויות נותנות את השלישית, והנה הזוג b, βb ,\ \beta

a, b, γa,\ b,\ \gamma

הזווית בין שתי הצלעות: אין זוג

שואלים: יש צלע והזווית שמולה, או שתי זוויות? המלכודת: a, b, γa ,\ b ,\ \gamma נראה כמו שלושה נתונים מספיקים, אבל γ\gamma לא נמצאת מול אף אחת מהצלעות הנתונות.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade