Derivatives of trigonometric functions

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כל הפרק נשען על שתי נוסחאות. את השאר מקבלים מכללי הגזירה שכבר מוכרים לכם — מכפלה, מנה ושרשרת.

(sin⁡x)′=cos⁡x(cos⁡x)′=−sin⁡x\begin{aligned}(\sin x)' &= \cos x \qquad (\cos x)' \\ &= -\sin x\end{aligned}

שימו לב למינוס בנגזרת של הקוסינוס. הוא מקור רוב הטעויות בפרק.

עם כלל השרשרת

(sin⁡(kx))′=kcos⁡(kx)(cos⁡(kx))′=−ksin⁡(kx)\begin{aligned}(\sin(kx))' &= k\cos(kx) \qquad (\cos(kx))' \\ &= -k\sin(kx)\end{aligned}

הפנימי יוצא החוצה כמקדם — בדיוק כמו בכל שרשרת.

שלוש דוגמאות

שימו לב איזה כלל מפעילים בכל שורה.

(sin⁡3x)′=3cos⁡3x(\sin 3x)' = 3\cos 3x

שרשרת

(xsin⁡x)′=sin⁡x+xcos⁡x(x \sin x)' = \sin x + x\cos x

מכפלה

(sin⁡2x)′=2sin⁡xcos⁡x(\sin^2 x)' = 2\sin x \cos x

שרשרת על החזקה

בחקירה של פונקציה טריגונומטרית התחום נתון תמיד — למשל 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. בלעדיו היו אינסוף נקודות קיצון, כי הפונקציה מחזורית. תמיד לבדוק אילו פתרונות נופלים בתחום.

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi.

Show the answer and the solution

f′(x)=cos⁡x−sin⁡x=0⇒tan⁡x=1⇒x=π4f'(x) = \cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} או x=5π4x = \frac{5\pi}{4}. הראשונה נותנת מקסימום 2\sqrt{2}, השנייה מינימום −2-\sqrt{2}.

ומה הערך של f′(x)=cos⁡xf'(x) = \cos x בנקודה x=π3x = \frac{\pi}{3}?

Show the answer and the solution

cos⁡π3=0.5\cos\frac{\pi}{3} = 0.5. זהו שיפוע המשיק לגרף sin⁡x\sin x שם.

שתי טעויות שחוזרות בכל מבחן.

(cos⁡x)′=sin⁡x(\cos x)' = \sin x
(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x

המינוס אינו קישוט. בלעדיו כל החקירה מתהפכת.

(sin⁡2x)′=cos⁡2x(\sin 2x)' = \cos 2x
(sin⁡2x)′=2cos⁡2x(\sin 2x)' = 2\cos 2x

כלל השרשרת: הנגזרת הפנימית (22) חייבת לצאת החוצה.

Exercises

Exercise 1

מהי הנגזרת של f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x?

  1. cos⁡x\cos x
  2. sin⁡x\sin x
  3. −cos⁡x-\cos x
  4. −sin⁡x-\sin x
Show the answer and the solution

Answer: A cos⁡x\cos x

Worked solution:

נגזרת הסינוס היא הקוסינוס — בלי מינוס. המינוס שייך לנגזרת הקוסינוס.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהי הנגזרת של f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x?

  1. −sin⁡x-\sin x
  2. sin⁡x\sin x
  3. −cos⁡x-\cos x
  4. cos⁡x\cos x
Show the answer and the solution

Answer: A −sin⁡x-\sin x

Worked solution:

המינוס הוא ההבדל היחיד — וגם החשוב ביותר.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהי הנגזרת של f(x)=sin⁡3xf(x) = \sin 3x?

  1. 3sin⁡3x3\sin 3x
  2. 3cos⁡3x3\cos 3x
  3. cos⁡3x\cos 3x
  4. −3cos⁡3x-3\cos 3x
Show the answer and the solution

Answer: B 3cos⁡3x3\cos 3x

Worked solution:

כלל השרשרת: הנגזרת הפנימית היא 33.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהי הנגזרת של f(x)=xsin⁡xf(x) = x\sin x?

  1. cos⁡x\cos x
  2. xcos⁡xx\cos x
  3. sin⁡x−xcos⁡x\sin x - x\cos x
  4. sin⁡x+xcos⁡x\sin x + x\cos x
Show the answer and the solution

Answer: D sin⁡x+xcos⁡x\sin x + x\cos x

Worked solution:

כלל המכפלה: u′v+uv′u'v + uv'.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. חשבו את f′(π3)f'\left(\frac{\pi}{3}\right).

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

f′(x)=cos⁡xf'(x) = \cos x
cos⁡π3=0.5\cos\frac{\pi}{3} = 0.5

גוזרים קודם, מציבים אחר כך. הסדר ההפוך נותן את ערך הפונקציה, לא את השיפוע.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x. חשבו את f′(π6)f'\left(\frac{\pi}{6}\right).

Show the answer and the solution

Answer: -0.5

Worked solution:

f′(x)=−sin⁡xf'(x) = -\sin x
−sin⁡π6=−0.5-\sin\frac{\pi}{6} = -0.5

נגזרת הקוסינוס היא מינוס סינוס — המינוס נשמר עד התשובה הסופית.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו הערך המקסימלי של f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi? (עגלו ל-3 ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 1.414

Worked solution:

f′(x)=cos⁡x−sin⁡x=0\begin{aligned}f'(x) &= \cos x - \sin x \\ &= 0\end{aligned}
x=π4x = \frac{\pi}{4}
f=2≈1.414f = \sqrt{2} \approx 1.414

משווים את הנגזרת לאפס כדי למצוא את נקודת הקיצון, ורק אז מציבים בפונקציה המקורית לקבל את הערך.

Check the answer on elev

Exercise 8

כמה נקודות קיצון יש ל-f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′(x)=cos⁡x=0\begin{aligned}f'(x) &= \cos x \\ &= 0\end{aligned}
x=π2 x=3π2\begin{aligned}x &= \frac{\pi}{2} \\ \ x &= \frac{3\pi}{2}\end{aligned}

התחום הוא שקובע: בלעדיו היו אינסוף פתרונות.

Check the answer on elev

Exercise 9

מהו הערך המקסימלי של f(x)=2sin⁡xf(x) = 2\sin x?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

−1≤sin⁡x≤1-1 \le \sin x \le 1
−2≤2sin⁡x≤2-2 \le 2\sin x \le 2

הסינוס כלוא בין 1- ל-1 תמיד. הכפל ב-2 מותח את התחום, ולכן המקסימום הוא 2 — בלי לגזור בכלל.

Check the answer on elev

Exercise 10

הנגזרת של cos⁡2x\cos 2x היא −2sin⁡2x-2\sin 2x.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

(cos⁡2x)′=−2sin⁡2x(\cos 2x)' = -2\sin 2x

שרשרת, עם המינוס של הקוסינוס

Check the answer on elev

Exercise 11

הנגזרת של sin⁡x\sin x מתאפסת בדיוק בנקודות הקיצון של sin⁡x\sin x.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f′(x)=cos⁡x=0\begin{aligned}f'(x) &= \cos x \\ &= 0\end{aligned}
x=π2+πkx = \frac{\pi}{2} + \pi k

שם ל-sin⁡\sin יש שיא או שפל

זו אותה טענה כללית: קיצון של ff נמצא שם ש-f′f' מתאפסת.

Check the answer on elev

Exercise 12

התאימו כל פונקציה לנגזרת שלה

  • sin⁡x\sin x
  • cos⁡x\cos x
  • sin⁡2x\sin 2x
  • cos⁡3x\cos 3x
  • −sin⁡x-\sin x
  • −3sin⁡3x-3\sin 3x
  • cos⁡x\cos x
  • 2cos⁡2x2\cos 2x
Show the answer and the solution

Answer: sin⁡x\sin x — cos⁡x\cos x · cos⁡x\cos x — −sin⁡x-\sin x · sin⁡2x\sin 2x — 2cos⁡2x2\cos 2x · cos⁡3x\cos 3x — −3sin⁡3x-3\sin 3x

Worked solution:

שתי נוסחאות ושרשרת — זה כל הפרק.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade