Inflection points and the second derivative

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הנגזרת הראשונה אומרת אם הגרף עולה או יורד. הנגזרת השנייה אומרת משהו אחר לגמרי: אם הוא קמור או קעור — כלומר לאיזה צד הוא מתעקל.

f′′(x)>0f''(x) > 0

הגרף קמור — מתעקל כלפי מעלה, כמו קערה.

f′′(x)<0f''(x) < 0

הגרף קעור — מתעקל כלפי מטה, כמו כיפה.

f′′(x)=0f''(x) = 0

ייתכן שכאן מתחלף הכיוון — נקודת פיתול. חייבים לבדוק שהסימן באמת התחלף.

הנגזרת השנייה נותנת גם דרך מהירה לסווג נקודות קיצון: אם f′(a)=0f'(a) = 0 ו-f′′(a)>0f''(a) > 0 — זה מינימום; ואם f′′(a)<0f''(a) < 0 — מקסימום. אין צורך בטבלת סימנים.

הדגמה מלאה

מצאו את נקודת הפיתול של f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2.

f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x

נגזרת ראשונה

f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6

נגזרת שנייה

6x−6=0 ⇒ x=1\begin{aligned}6x - 6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

מועמדת לפיתול

f′′(0)=−6<0 f′′(2)=6>0\begin{aligned}f''(0) &= -6 < 0 \\ \ f''(2) &= 6 > 0\end{aligned}

הסימן התחלף ⇐ זו באמת נקודת פיתול

f(1)=1−3=−2\begin{aligned}f(1) &= 1 - 3 \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה: (1, −2)(1,\,-2)

שימו לב להבדל: בנקודת קיצון הגרף מפסיק לעלות ומתחיל לרדת. בנקודת פיתול הוא ממשיך באותו כיוון — רק מתעקל הפוך. ב-f(x)=x3f(x)=x^3 יש פיתול ב-x=0x=0 בלי שום קיצון.

מהי נקודת הפיתול של f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x?

Show the answer and the solution

f′′(x)=6x−12=0⇒x=2f''(x) = 6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2, ו-f(2)=8−24+18=2f(2) = 8 - 24 + 18 = 2. הנקודה היא (2, 2)(2,\,2).

ל-f(x)=x4f(x) = x^4 מתקיים f′′(0)=0f''(0) = 0. האם יש שם נקודת פיתול?

Show the answer and the solution

לא. f′′(x)=12x2f''(x) = 12x^2 חיובי משני צדי האפס — הסימן לא התחלף, והגרף נשאר קמור. זו הסיבה שחייבים לבדוק את הסימן ולא להסתפק בהשוואה לאפס.

הטעות המרכזית של הפרק.

f′′(a)=0⇒פיתולf''(a) = 0 \Rightarrow \text{פיתול}
בדיקת סימן משני הצדדים\text{בדיקת סימן משני הצדדים}

בדיוק כמו ש-f′=0f'=0 אינו מבטיח קיצון, f′′=0f''=0 אינו מבטיח פיתול. x4x^4 הוא הדוגמה הנגדית.

Exercises

Exercise 1

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הפיתול של f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′′(x)=6x−6=0\begin{aligned}f''(x) &= 6x - 6 \\ &= 0\end{aligned}
x=1x = 1

נקודת פיתול היא המקום שבו הנגזרת השנייה מתאפסת ומחליפה סימן — שם הקימור מתהפך.

Check the answer on elev

Exercise 2

ומהו שיעור ה-yy של אותה נקודת פיתול?

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

f(1)=1−3=−2\begin{aligned}f(1) &= 1 - 3 \\ &= -2\end{aligned}

את שיעור ה-yy מקבלים מהפונקציה המקורית, לא מהנגזרת. זו הטעות הנפוצה כאן.

Check the answer on elev

Exercise 3

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הפיתול של f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′′(x)=6x−12=0\begin{aligned}f''(x) &= 6x - 12 \\ &= 0\end{aligned}
x=2x = 2

אותו מסלול: גוזרים פעמיים, משווים לאפס, ופותרים.

Check the answer on elev

Exercise 4

כמה נקודות פיתול יש ל-f(x)=x4−6x2f(x) = x^4 - 6x^2?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′′(x)=12x2−12=0\begin{aligned}f''(x) &= 12x^2 - 12 \\ &= 0\end{aligned}
x=1 או x=−1\begin{aligned}x &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= -1\end{aligned}

ובשתיהן הסימן מתחלף

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון f(x)=x3f(x) = x^3. כמה נקודות קיצון יש לפונקציה?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

f′(x)=3x2=0⇒x=0\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}
f′(x)≥0 תמידf'(x) \ge 0 \ \text{תמיד}

הפונקציה רק עולה

ב-x=0x=0 יש פיתול — הנגזרת מתאפסת אך אינה מחליפה סימן.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון f′(2)=0f'(2) = 0 ו-f′′(2)=5f''(2) = 5. מה יש בנקודה x=2x=2?

  1. מקסימום
  2. נקודת פיתול
  3. שום דבר מיוחד
  4. מינימום
Show the answer and the solution

Answer: D מינימום

Worked solution:

f′′(2)>0f''(2) > 0

קמור ⇐ מינימום

f′′>0f''>0 פירושו שהגרף קמור — הקיצון הוא תחתית הקערה.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון f′(−1)=0f'(-1) = 0 ו-f′′(−1)=−3f''(-1) = -3. מה יש בנקודה x=−1x=-1?

  1. מינימום
  2. אסימפטוטה
  3. מקסימום
  4. נקודת פיתול
Show the answer and the solution

Answer: C מקסימום

Worked solution:

f′′(−1)<0f''(-1) < 0

קעור ⇐ מקסימום

Check the answer on elev

Exercise 8

אם f′′(a)=0f''(a) = 0 אז ב-x=ax=a יש בהכרח נקודת פיתול.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(x)=x4f(x) = x^4
f′′(x)=12x2≥0f''(x) = 12x^2 \ge 0

הסימן אינו מתחלף

צריך שהסימן יתחלף משני צדי הנקודה. ב-x4x^4 הוא נשאר חיובי, ואין פיתול.

Check the answer on elev

Exercise 9

בנקודת פיתול הגרף יכול להמשיך לעלות.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f(x)=x3f(x) = x^3
f′(x)=3x2>0f'(x) = 3x^2 > 0

עולה משני הצדדים

פיתול נוגע לעיקול, לא לעלייה. x3x^3 עולה לפני ואחרי הפיתול שלו.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=2x3−12x2+5f(x) = 2x^3 - 12x^2 + 5. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הפיתול.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′′(x)=12x−24=0\begin{aligned}f''(x) &= 12x - 24 \\ &= 0\end{aligned}
x=2x = 2

הנגזרת השנייה של פולינום ממעלה שלישית היא תמיד קווית — ולכן יש בדיוק נקודת פיתול אחת.

Check the answer on elev

Exercise 11

מיינו כל טענה לפי מה שהיא מספרת

  • על עלייה וירידה
  • על קמירות
  • f′′(x)<0f''(x) < 0
  • f′′(x)>0f''(x) > 0
  • f′(x)<0f'(x) < 0
  • f′(x)=0f'(x) = 0
  • f′(x)>0f'(x) > 0
Show the answer and the solution

Answer: f′(x)>0f'(x) > 0 — על עלייה וירידה · f′′(x)>0f''(x) > 0 — על קמירות · f′(x)=0f'(x) = 0 — על עלייה וירידה · f′′(x)<0f''(x) < 0 — על קמירות · f′(x)<0f'(x) < 0 — על עלייה וירידה

Worked solution:

הנגזרת הראשונה — כיוון. הנגזרת השנייה — עיקול.

Check the answer on elev

Exercise 12

השלימו עבור f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2

הנגזרת השנייה מתאפסת ב-x=x = ____ , ושם f(x)=f(x) = ____

Show the answer and the solution

Answer: הנגזרת השנייה מתאפסת ב-x=x = 1 , ושם f(x)=f(x) = -2

Worked solution:

f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x-6
f(1)=−2f(1) = -2

שתי שורות בלבד: הנגזרת השנייה נותנת את ה-xx, והפונקציה המקורית את ה-yy.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade