Asymptotes and rational functions · Advanced differential calculus · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

פונקציה רציונלית היא מנה של שני פולינומים. שני דברים קובעים את צורתה, ושניהם באים מהמכנה: מה אסור (איפה המכנה מתאפס), ומה קורה רחוק (לאן הגרף הולך כש- $x$ גדל בלי גבול).

אסימפטוטה אנכית — שם המכנה מתאפס

אם המכנה מתאפס ב- $x = a$ והמונה אינו מתאפס שם, אז $x = a$ היא אסימפטוטה אנכית. הגרף בורח שם למעלה או למטה, ונקרע לשני ענפים נפרדים.

\begin{aligned}f(x) &= \frac{2x+3}{x-1} \ \Longrightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

המכנה מתאפס ב- $x=1$ , המונה נותן שם $5 \ne 0$ — אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית — מה קורה באינסוף

כאשר $x$ גדל מאוד, המחוברים בעלי החזקה הגבוהה ביותר משתלטים. ב- $\frac{2x+3}{x-1}$ המנה מתקרבת ל- $\frac{2x}{x} = 2$ , ולכן $y = 2$ היא אסימפטוטה אופקית.

כלל מהיר להשוואת דרגות: אם דרגת המונה קטנה מדרגת המכנה — האסימפטוטה היא $y=0$ . אם הן שוות — היחס בין המקדמים המובילים. אם דרגת המונה גדולה ב-1 — אין אסימפטוטה אופקית אלא משופעת.

מהן האסימפטוטות של $f(x) = \frac{x+4}{x-2}$ ?

Show the answer and the solution

אנכית $x = 2$ (שם המכנה מתאפס, והמונה נותן $6 \ne 0$ ), ואופקית $y = 1$ (הדרגות שוות, יחס המקדמים $\frac{1}{1}$ ).

ולמה אסור לחבר בקו אחד את שני ענפי הגרף?

Show the answer and the solution

מפני שב- $x=2$ הפונקציה אינה מוגדרת — אין שם נקודה. קו שעובר דרך האסימפטוטה טוען שהפונקציה מקבלת שם ערך, וזו טעות שנחשבת חמורה בבדיקה.

שתי טעויות של הפרק הזה.

x = 3 \text{ אסימפטוטה של } \frac{x^2-9}{x-3}

\text{נקודת אי-רציפות}

כאן גם המונה מתאפס: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$ . אין אסימפטוטה — יש חור בגרף.

f(x) \text{ חותכת את } y=2

f(x) \to 2

אסימפטוטה אופקית יכולה להיחתך באמצע הגרף; מה שאסור הוא להגיע אליה באינסוף.

Exercises

Exercise 1

מהי האסימפטוטה האנכית של $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ ? (כתבו את ערך ה- $x$ )

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

x - 1 = 0

משווים את המכנה לאפס

x = 1

Check the answer on elev

Exercise 2

מהי האסימפטוטה האופקית של $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ ? (כתבו את ערך ה- $y$ )

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\frac{2x}{x} = 2

הדרגות שוות — יחס המקדמים המובילים

Check the answer on elev

Exercise 3

מהי האסימפטוטה האנכית של $f(x) = \frac{x+4}{x-2}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x - 2 = 0

x = 2

האסימפטוטה האנכית יושבת במקום שבו המכנה מתאפס — שם הפונקציה אינה מוגדרת, והגרף בורח לאינסוף.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהי האסימפטוטה האופקית של $f(x) = \frac{3x-6}{x+3}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\frac{3x}{x} = 3

באינסוף מכריעות רק החזקות הגבוהות: היחס בין המקדמים שלהן קובע את הגובה שאליו הגרף מתיישר.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהי האסימפטוטה האופקית של $f(x) = \frac{5x}{x^2-9}$ ?

$y = 5$
$y = 0$
$y = \frac{5}{9}$
אין אסימפטוטה אופקית

Show the answer and the solution

Answer: B $y = 0$

Worked solution:

\frac{5x}{x^2} = \frac{5}{x} \to 0

כש- $x$ גדל

דרגת המונה (1) קטנה מדרגת המכנה (2), ולכן המנה שואפת לאפס.

Check the answer on elev

Exercise 6

כמה אסימפטוטות אנכיות יש ל- $f(x) = \frac{5x}{x^2-9}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x^2 - 9 = 0

\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}

המכנה מתאפס בשתי נקודות, והמונה אינו מתאפס באף אחת מהן.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהי נקודת החיתוך של $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ עם ציר ה- $y$ ? (כתבו את ערך ה- $y$ )

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

\begin{aligned}f(0) &= \frac{3}{-1} \\ &= -3\end{aligned}

מציבים $x=0$

Check the answer on elev

Exercise 8

מהי נקודת החיתוך של $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ עם ציר ה- $x$ ? (כתבו את ערך ה- $x$ )

Show the answer and the solution

Answer: -1.5

Worked solution:

2x + 3 = 0

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס

x = -1.5

שבר שווה לאפס רק כשהמונה מתאפס — והמכנה שם חייב להיות שונה מאפס.

Check the answer on elev

Exercise 9

לפונקציה $f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}$ יש אסימפטוטה אנכית ב- $x=3$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3

מצמצמים

גם המונה מתאפס ב- $x=3$ . אחרי צמצום נשאר ישר — בגרף יש חור ב- $x=3$ , לא אסימפטוטה.

Check the answer on elev

Exercise 10

גרף של פונקציה לעולם אינו חוצה את האסימפטוטה האופקית שלו.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(x) = \frac{x}{x^2+1}

חוצה את $y=0$ בראשית

האסימפטוטה מתארת מה קורה באינסוף. באמצע הדרך הגרף רשאי לחצות אותה — ורבים עושים זאת.

Check the answer on elev

Exercise 11

התאימו כל פונקציה לאסימפטוטה האופקית שלה

$\frac{3x+1}{x-2}$
$\frac{x+5}{2x-1}$
$\frac{7}{x-4}$
$\frac{4x-1}{x+6}$

$y = 0.5$
$y = 0$
$y = 3$
$y = 4$

Show the answer and the solution

Answer: $\frac{3x+1}{x-2}$ — $y = 3$ · $\frac{x+5}{2x-1}$ — $y = 0.5$ · $\frac{7}{x-4}$ — $y = 0$ · $\frac{4x-1}{x+6}$ — $y = 4$

Worked solution:

בכל המקרים משווים את הדרגות ואז את המקדמים המובילים.

Check the answer on elev

Exercise 12

סדרו את שלבי החקירה של פונקציה רציונלית

אסימפטוטות אנכיות ואופקיות
נגזרת, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה
נקודות חיתוך עם הצירים
סקיצה של הגרף
תחום הגדרה — מאפסים את המכנה

Show the answer and the solution

Answer: תחום הגדרה — מאפסים את המכנה · אסימפטוטות אנכיות ואופקיות · נקודות חיתוך עם הצירים · נגזרת, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה · סקיצה של הגרף

Worked solution:

הסקיצה תמיד אחרונה — היא מסכמת את כל מה שנמצא.

Check the answer on elev

אסימפטוטה אנכית — שם המכנה מתאפס

אסימפטוטה אופקית — מה קורה באינסוף

Exercises

Keep practising on elev