Set 2 — medium

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים, מכל חלקי הפרק: בייס עם שלושה ענפים, עץ תלוי של שלושה שלבים, משוואה ריבועית ב-pp, «לכל היותר nn ניסיונות», ברנולי עם תנאי, שטח דרך המשלים והעברת כדור בין קופסאות.

בכל שאלה זהו קודם את סוג השאלה: טבלה, עץ תלוי, פרמטר, עד ההצלחה הראשונה או ברנולי. הסוג קובע את הכלי.

Exercises

Exercise 1

בספרייה עירונית שלושה סניפים. 50% מההשאלות נעשות בסניף הצפון, 30% בסניף המרכז ו-20% בסניף הדרום. ספר חוזר באיחור בהסתברות 0.10.1 בצפון, 0.20.2 במרכז ו-0.30.3 בדרום. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

הסתברות שספר אקראי חוזר באיחור: ____ , ספר חזר באיחור; ההסתברות שהושאל בצפון: ____

Show the answer and the solution

Answer: הסתברות שספר אקראי חוזר באיחור: 0.17 , ספר חזר באיחור; ההסתברות שהושאל בצפון: 0.29

Worked solution:

0.5⋅0.1+0.3⋅0.2+0.2⋅0.3=0.05+0.06+0.06=0.17\begin{aligned}0.5 \cdot 0.1+0.3 \cdot 0.2+0.2 \cdot 0.3 &= 0.05+0.06+0.06 \\ &= 0.17\end{aligned}

שלושה מסלולים

0.050.17≈0.29\frac{0.05}{0.17} \approx 0.29

בייס

לצפון יש מחצית מההשאלות, אבל רק כשליש מהאיחורים. מי שענה 0.50.5 לא השתמש במידע «חזר באיחור».

Check the answer on elev

Exercise 2

בחידון שלוש שאלות. על הראשונה תלמיד עונה נכון בהסתברות 0.80.8. אחרי תשובה נכונה, ההסתברות לענות נכון על הבאה היא 0.80.8. אחרי טעות, 0.50.5. מה ההסתברות שיענה נכון על בדיוק שתי שאלות? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.288

Worked solution:

0.8⋅0.8⋅0.2=0.1280.8 \cdot 0.8 \cdot 0.2=0.128

הטעות בסוף

0.8⋅0.2⋅0.5=0.080.8 \cdot 0.2 \cdot 0.5=0.08

הטעות באמצע

0.2⋅0.5⋅0.8=0.080.2 \cdot 0.5 \cdot 0.8=0.08

הטעות בהתחלה

0.128+0.08+0.08=0.2880.128+0.08+0.08=0.288

שלושה מסלולים

השאלות תלויות, ולכן אין כאן ברנולי: 3⋅0.82⋅0.2=0.3843 \cdot 0.8^2 \cdot 0.2=0.384 היא טעות. כל מסלול מחושב לפי הענפים שלו.

Check the answer on elev

Exercise 3

בכל אחד משני משחקים בלתי תלויים, קבוצה מנצחת בהסתברות pp, ו-p>0.5p>0.5. ההסתברות שתנצח בדיוק באחד מהם היא 0.420.42. מצאו את pp. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.7

Worked solution:

2p(1−p)=0.422p(1-p)=0.42

שני מסלולים

p2−p+0.21=0p^2-p+0.21=0

מסדרים ומחלקים ב-−2-2

p=0.3 או p=0.7\begin{aligned}p &= 0.3 \ \text{או} \ p \\ &= 0.7\end{aligned}
p=0.7p=0.7

התנאי p>0.5p>0.5

בלי התנאי p>0.5p>0.5 היו לשאלה שתי תשובות. הביטוי 2p(1−p)2p(1-p) לא משתנה כשמחליפים pp ב-1−p1-p.

Check the answer on elev

Exercise 4

בכל ניסיון ההסתברות להצליח היא 0.250.25, והניסיונות בלתי תלויים. מהו מספר הניסיונות הקטן ביותר nn שבשבילו ההסתברות להצליח לפחות פעם אחת היא לפחות 0.750.75?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

1−0.75n≥0.75 ⇔ 0.75n≤0.251-0.75^n \geq 0.75 \ \Leftrightarrow \ 0.75^n \leq 0.25

המשלים

0.754≈0.3160.755≈0.2370.75^4 \approx 0.316 \qquad 0.75^5 \approx 0.237

מנסים ערכים

n=5n=5

אינטואיציה של «ארבעה ניסיונות של רבע» נותנת 44, וזו טעות: 1−0.754≈0.681-0.75^4 \approx 0.68. הסתברויות של ניסיונות חוזרים לא מתחברות.

Check the answer on elev

Exercise 5

בכל יום בשבוע בקיץ, ההסתברות ליום שמשי היא 0.90.9, בלי תלות בימים אחרים. מה ההסתברות שבשבוע של 7 ימים יהיו לפחות 6 ימים שמשיים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.85

Worked solution:

P7(7)=0.97≈0.478P_7(7)=0.9^7 \approx 0.478

כל השבוע

P7(6)=7⋅0.96⋅0.1≈0.372P_7(6)=7 \cdot 0.9^6 \cdot 0.1 \approx 0.372

בדיוק 6

0.478+0.372≈0.850.478+0.372 \approx 0.85

«לפחות 6» הם שני מקרים: 6 או 7. מי שחישב רק P7(6)P_7(6) קיבל פחות ממחצית התשובה.

Check the answer on elev

Exercise 6

מטילים מטבע הוגן 3 פעמים. ידוע שיצא «עץ» לפחות פעם אחת. מה ההסתברות שיצא «עץ» בכל שלוש ההטלות?

  1. 78\frac{7}{8}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 17\frac{1}{7}
  4. 18\frac{1}{8}
Show the answer and the solution

Answer: C 17\frac{1}{7}

Worked solution:

P(≥1)=1−18=78\begin{aligned}P(\geq 1) &= 1-\frac{1}{8} \\ &= \frac{7}{8}\end{aligned}

התנאי

1/87/8=17\frac{1/8}{7/8}=\frac{1}{7}

שלוש «עץ» נמצא בתוך התנאי

הנכונה: 17\frac{1}{7}. 18\frac{1}{8} מתעלם מהתנאי. התנאי משאיר 7 סדרות שוות הסתברות, ורק אחת מהן היא «עץ-עץ-עץ».

Check the answer on elev

Exercise 7

ABCDEF

ABCDABCD ריבוע. EE אמצע הצלע ABAB, ו-FF אמצע הצלע BCBC. בוחרים נקודה אקראית בתוך הריבוע. מה ההסתברות שהיא בתוך המשולש DEFDEF? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.375

Worked solution:

SAED=12⋅a2⋅a=a24\begin{aligned}S_{AED} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a \\ &= \frac{a^2}{4}\end{aligned}

משולש ישר זווית בקודקוד AA

SEBF=a28SFCD=a24\begin{aligned}S_{EBF} &= \frac{a^2}{8} \\ \quad S_{FCD} &= \frac{a^2}{4}\end{aligned}

שני המשולשים האחרים

SDEF=a2−a24−a28−a24=3a28\begin{aligned}S_{DEF} &= a^2-\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{8}-\frac{a^2}{4} \\ &= \frac{3a^2}{8}\end{aligned}

הריבוע פחות שלושת המשולשים

P=38=0.375\begin{aligned}P &= \frac{3}{8} \\ &= 0.375\end{aligned}

יחס שטחים

את שטח DEFDEF קשה לחשב ישירות, וקל לחשב דרך המשלים: מה שנשאר מחוץ לו הוא שלושה משולשים ישרי זווית.

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו או הפריכו: אם AA ו-BB בלתי תלויים, אז גם Aˉ\bar{A} ו-Bˉ\bar{B} בלתי תלויים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

P(Aˉ∩Bˉ)=1−P(A)−P(B)+P(A∩B)P(\bar{A} \cap \bar{B})=1-P(A)-P(B)+P(A \cap B)

המשלים של A∪BA \cup B

=1−P(A)−P(B)+P(A)P(B)=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)

אי-תלות

=(1−P(A))(1−P(B))=P(Aˉ)P(Bˉ)=(1-P(A))(1-P(B))=P(\bar{A})P(\bar{B})

פירוק לגורמים

הטענה נכונה. אם הידיעה ש-AA קרה לא משנה את הסיכוי של BB, גם הידיעה ש-AA לא קרה לא משנה אותו.

Check the answer on elev

Exercise 9

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 אדומים ו-2 לבנים. מעבירים כדור אקראי מקופסה I לקופסה II, ואחר כך שולפים כדור אקראי מקופסה II. מה ההסתברות שהכדור שנשלף מקופסה II אדום? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.52

Worked solution:

35⋅35=925\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{25}

הועבר אדום: בקופסה II יש 3 אדומים מתוך 5

25⋅25=425\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{25}

הועבר לבן: 2 אדומים מתוך 5

1325=0.52\frac{13}{25}=0.52

הסתברות שלמה

אחרי ההעברה יש בקופסה II 5 כדורים, לא 4. זה המכנה של הענף השני.

Check the answer on elev

Exercise 10

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 אדומים ו-2 לבנים. מעבירים כדור אקראי מקופסה I לקופסה II, ואחר כך שולפים כדור אקראי מקופסה II. הכדור שנשלף מקופסה II אדום. מה ההסתברות שהכדור שהועבר היה אדום? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.69

Worked solution:

9/2513/25=913≈0.69\frac{9/25}{13/25}=\frac{9}{13} \approx 0.69

בייס

המכנה הוא ההסתברות מהשאלה הקודמת. 35\frac{3}{5} הוא ההסתברות להעביר אדום לפני שיודעים מה נשלף.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade