Set 3 — towards the bagrut · Tables and trees · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח שאלת ההסתברות של הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. שאלה ראשונה: פרמטר $p$ , בייס וברנולי (סעיפים א-ד). שאלה שנייה: קופסה שנבחרת בהגרלה ועד ההצלחה הראשונה (א-ג). שאלה שלישית: שלושה ענפים, התחום של $p$ והשוואה בדיעבד (א-ג).

בבגרות כל סעיף נשען על הקודם. כתבו את התוצאה של כל סעיף במדויק (שבר או כל הספרות), ועגלו רק בתשובה הסופית.

Exercises

Exercise 1

בבית ספר למוזיקה, $p$ מהתלמידים לומדים פסנתר והשאר לומדים גיטרה. מבין לומדי הפסנתר, 70% מופיעים בקונצרט של סוף השנה. מבין לומדי הגיטרה, 40% מופיעים. ידוע ש-49% מכלל התלמידים מופיעים בקונצרט. א. מצאו את $p$ . (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.3

Worked solution:

\begin{aligned}P(K) &= 0.7p+0.4(1-p) \\ &= 0.4+0.3p\end{aligned}

הסתברות שלמה

\begin{aligned}0.4+0.3p &= 0.49 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.3\end{aligned}

הענף $0.4$ יוצא מ«גיטרה», שהסתברותה $1-p$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

בבית ספר למוזיקה, $p$ מהתלמידים לומדים פסנתר והשאר לומדים גיטרה. מבין לומדי הפסנתר, 70% מופיעים בקונצרט של סוף השנה. מבין לומדי הגיטרה, 40% מופיעים. ידוע ש-49% מכלל התלמידים מופיעים בקונצרט. ב. בוחרים באקראי תלמיד שמופיע בקונצרט. מה ההסתברות שהוא לומד גיטרה? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.57

Worked solution:

\begin{aligned}P(G \cap K) &= 0.7 \cdot 0.4 \\ &= 0.28\end{aligned}

המסלול של הגיטרה

\frac{0.28}{0.49}=\frac{4}{7} \approx 0.57

בייס

המכנה הוא $0.49$ , כל המופיעים. $0.4$ הוא $P(K \mid G)$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

בבית ספר למוזיקה, $p$ מהתלמידים לומדים פסנתר והשאר לומדים גיטרה. מבין לומדי הפסנתר, 70% מופיעים בקונצרט של סוף השנה. מבין לומדי הגיטרה, 40% מופיעים. ידוע ש-49% מכלל התלמידים מופיעים בקונצרט. ג. בוחרים באקראי 5 תלמידים מבית הספר. מה ההסתברות שבדיוק 2 מהם מופיעים בקונצרט? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.32

Worked solution:

P_5(2)=\binom{5}{2} \cdot 0.49^2 \cdot 0.51^3

ברנולי, עם $P(K)=0.49$

\approx 0.32

ההסתברות בברנולי היא $0.49$ מהנתונים, לא $0.7$ ולא $0.4$ : התלמידים נבחרים מכל בית הספר.

Check the answer on elev

Exercise 4

בבית ספר למוזיקה, $p$ מהתלמידים לומדים פסנתר והשאר לומדים גיטרה. מבין לומדי הפסנתר, 70% מופיעים בקונצרט של סוף השנה. מבין לומדי הגיטרה, 40% מופיעים. ידוע ש-49% מכלל התלמידים מופיעים בקונצרט. ד. ידוע שמבין 5 התלמידים שנבחרו, לפחות 4 מופיעים בקונצרט. מה ההסתברות שכל החמישה מופיעים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.16

Worked solution:

P_5(5)=0.49^5 \approx 0.0282

המונה

P_5(4)=5 \cdot 0.49^4 \cdot 0.51 \approx 0.1470

בדיוק 4

\frac{0.0282}{0.0282+0.1470} \approx 0.16

חלקי «לפחות 4»

עגלו רק בסוף. «כל החמישה» הוא חלק מ«לפחות 4», ולכן החיתוך הוא פשוט $P_5(5)$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

בקופסה א' 4 כדורים כחולים וכדור צהוב אחד. בקופסה ב' 2 כדורים כחולים ו-3 צהובים. מטילים מטבע הוגן: אם יוצא «עץ» בוחרים בקופסה א', ואם יוצא «פלי» בוחרים בקופסה ב'. מהקופסה שנבחרה שולפים כדור אחד. א. מה ההסתברות שהכדור צהוב? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.4

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} &= \frac{4}{10} \\ &= 0.4\end{aligned}

הסתברות שלמה

מי שחיבר $\frac{1}{5}+\frac{3}{5}$ שכח את $\frac{1}{2}$ של המטבע.

Check the answer on elev

Exercise 6

בקופסה א' 4 כדורים כחולים וכדור צהוב אחד. בקופסה ב' 2 כדורים כחולים ו-3 צהובים. מטילים מטבע הוגן: אם יוצא «עץ» בוחרים בקופסה א', ואם יוצא «פלי» בוחרים בקופסה ב'. מהקופסה שנבחרה שולפים כדור אחד. ב. הכדור שנשלף צהוב. מה ההסתברות שנבחרה קופסה ב'? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

\frac{0.3}{0.4}=0.75

המסלול של קופסה ב' חלקי כל הצהובים

שלושה מתוך ארבעת הכדורים הצהובים נמצאים בקופסה ב', והמטבע נותן לשתי הקופסאות סיכוי שווה. לכן $\frac{3}{4}$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

בקופסה א' 4 כדורים כחולים וכדור צהוב אחד. בקופסה ב' 2 כדורים כחולים ו-3 צהובים. מטילים מטבע הוגן: אם יוצא «עץ» בוחרים בקופסה א', ואם יוצא «פלי» בוחרים בקופסה ב'. מהקופסה שנבחרה שולפים כדור אחד. ג. מחזירים את הכדור לקופסה שלו, וחוזרים על כל הניסוי (הטלת מטבע ושליפה) עד שנשלף כדור צהוב. מה ההסתברות שיידרשו בדיוק 3 ניסויים? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.144

Worked solution:

P(Y)=0.4

מסעיף א, זהה בכל ניסוי

0.6^2 \cdot 0.4=0.144

שני ניסויים בלי צהוב, ואז צהוב

כל «ניסיון» כאן הוא הניסוי השלם של שני שלבים. ההסתברות להצלחה בו היא $0.4$ מסעיף א.

Check the answer on elev

Exercise 8

במרכז ספורט שלושה חוגים. 50% מהמנויים בחוג שחייה, 30% בחוג טניס והשאר בחוג כדורסל, וכל מנוי בחוג אחד בלבד. מבין מנויי השחייה, $p$ מגיעים גם בסופי שבוע. מבין מנויי הטניס, $2p$ מגיעים בסופי שבוע, ומבין מנויי הכדורסל, מחצית. א. מהו הערך הגדול ביותר האפשרי של $p$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

0 \leq p \leq 1

ענף $p$

0 \leq 2p \leq 1 \ \Rightarrow \ p \leq 0.5

ענף $2p$

0 \leq p \leq 0.5

חיתוך

התחום נקבע לפי הענף המחמיר: $2p$ . מי שענה $1$ בדק רק את הענף $p$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

במרכז ספורט שלושה חוגים. 50% מהמנויים בחוג שחייה, 30% בחוג טניס והשאר בחוג כדורסל, וכל מנוי בחוג אחד בלבד. מבין מנויי השחייה, $p$ מגיעים גם בסופי שבוע. מבין מנויי הטניס, $2p$ מגיעים בסופי שבוע, ומבין מנויי הכדורסל, מחצית. ב. ידוע ש-32% מהמנויים מגיעים בסופי שבוע. מצאו את $p$ . (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.2

Worked solution:

0.5p+0.3 \cdot 2p+0.2 \cdot 0.5=1.1p+0.1

שלושה מסלולים

\begin{aligned}1.1p+0.1 &= 0.32 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.2\end{aligned}

0.2 \leq 0.5

בתחום מסעיף א ✓

שלושה חוגים, ולכן שלושה מסלולים. בודקים שהפתרון בתחום שנמצא בסעיף א.

Check the answer on elev

Exercise 10

במרכז ספורט שלושה חוגים. 50% מהמנויים בחוג שחייה, 30% בחוג טניס והשאר בחוג כדורסל, וכל מנוי בחוג אחד בלבד. מבין מנויי השחייה, $p$ מגיעים גם בסופי שבוע. מבין מנויי הטניס, $2p$ מגיעים בסופי שבוע, ומבין מנויי הכדורסל, מחצית. ג. ידוע ש-32% מהמנויים מגיעים בסופי שבוע. הוכיחו או הפריכו: מנוי אקראי שמגיע בסוף שבוע הוא, בהסתברות הגבוהה ביותר, מנוי טניס.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

0.5 \cdot 0.2=0.10

שחייה

0.3 \cdot 0.4=0.12

טניס

0.2 \cdot 0.5=0.10

כדורסל

\begin{aligned}\frac{0.12}{0.32} &= 0.375 > \frac{0.10}{0.32} \\ &= 0.3125\end{aligned}

המכנה משותף, ולכן משווים מונים

הטענה נכונה, אף שחוג הטניס קטן מחוג השחייה. בהסתברות בדיעבד המכנה משותף לכל החוגים, ולכן מספיק להשוות את המסלולים.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev