Set 2 — medium

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות של שני צעדים ויותר: «לפחות» ו«לכל היותר», pp לא ידוע, בייס עם פרמטר, בינומית מותנית, שליפה בלי החזרה ו«ההטלה האחרונה הצלחה».

«לפחות» ו«לכל היותר» נפתרים לעתים קרובות מהר יותר במשלים. כתבו קודם אילו ערכים של XX נכנסים.

Exercises

Exercise 1

בכל יום, ההסתברות שירד גשם היא 0.30.3, בלי תלות בין הימים. מה ההסתברות שבשבוע של 55 ימי עבודה ירד גשם ב-22 ימים לפחות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.47178

Worked solution:

P(X=0)=0.75≈0.168P(X=0)=0.7^5\approx 0.168

אף יום

P(X=1)=5⋅0.3⋅0.74≈0.360P(X=1)=5\cdot 0.3\cdot 0.7^4\approx 0.360

יום אחד

1−0.168−0.360≈0.471-0.168-0.360\approx 0.47

המשלים

המשלים של «לפחות 22» הוא «00 או 11». מי שמחסר רק את P(X=1)P(X=1) או רק את P(X=0)P(X=0) שוכח מקרה.

Check the answer on elev

Exercise 2

תלמיד מנחש בשאלון אמריקאי: בכל שאלה 44 תשובות, ורק אחת נכונה. בשאלון 44 שאלות. מה ההסתברות שיצדק בשאלה אחת לכל היותר? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.73828125

Worked solution:

P(X=0)=0.754≈0.316P(X=0)=0.75^4\approx 0.316

אף שאלה

P(X=1)=4⋅0.25⋅0.753≈0.422P(X=1)=4\cdot 0.25\cdot 0.75^3\approx 0.422

בדיוק אחת

0.316+0.422≈0.740.316+0.422\approx 0.74

מחברים

«לכל היותר 11» כולל את 00. מי שעונה 0.420.42 חישב רק «בדיוק 11».

Check the answer on elev

Exercise 3

בניסוי בינומי, ההסתברות לשתי הצלחות בשני ניסיונות היא 0.490.49. מהי ההסתברות להצלחה בניסיון אחד?

Show the answer and the solution

Answer: 0.7

Worked solution:

p2=0.49p^2=0.49

שתי הצלחות: מסלול אחד

p=0.7p=0.7

p>0p>0

לא (21)\binom{2}{1}: «שתיים מתוך שתיים» הוא מסלול אחד בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 4

מפעל קונה ברגים משני ספקים. חלק pp מהברגים מספק א, ש-4%4\% מהברגים שלו פגומים; השאר מספק ב, ש-1%1\% מהברגים שלו פגומים. ידוע שבורג פגום מגיע מספק א בהסתברות 0.50.5. מהו pp?

Show the answer and the solution

Answer: 0.2

Worked solution:

P(A∣D)=0.04p0.04p+0.01(1−p)=0.5\begin{aligned}P(A\mid D) &= \frac{0.04p}{0.04p+0.01(1-p)} \\ &= 0.5\end{aligned}

בייס

0.04p=0.01(1−p) ⇒ 0.05p=0.01\begin{aligned}0.04p &= 0.01(1-p) \ \Rightarrow \ 0.05p \\ &= 0.01\end{aligned}

המונה שווה לחצי המכנה

p=0.2p=0.2

פותרים

חצי מהפגומים מכל ספק, אבל רק 20%20\% מהברגים מספק א: הוא פגום פי 44, ולכן הוא מספק חצי מהפגומים.

Check the answer on elev

Exercise 5

מטילים מטבע הוגן 44 פעמים. ידוע שיצא «עץ» לפחות פעם אחת. מה ההסתברות שיצא «עץ» בדיוק פעם אחת? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.26666666666666666

Worked solution:

P(X=1)=416P(X=1)=\frac{4}{16}

בדיוק פעם אחת

P(X≥1)=1−116=1516\begin{aligned}P(X \geq 1) &= 1-\frac{1}{16} \\ &= \frac{15}{16}\end{aligned}

התנאי

4/1615/16=415≈0.27\frac{4/16}{15/16}=\frac{4}{15}\approx 0.27

מותנית

בלי התנאי התשובה 0.250.25. המידע «לפחות פעם» מוחק מסלול אחד, ולכן ההסתברות עולה קצת.

Check the answer on elev

Exercise 6

בכד I שלושה כדורים לבנים ושניים שחורים; בכד II כדור לבן אחד וארבעה שחורים. בוחרים כד בהטלת מטבע, ושולפים ממנו שני כדורים בלי החזרה. מה ההסתברות ששני הכדורים לבנים?

Show the answer and the solution

Answer: 0.15

Worked solution:

I: 35⋅24=0.3I: \ \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=0.3

בכד I, בלי החזרה

II: 0II: \ 0

בכד II יש רק לבן אחד

0.5⋅0.3+0.5⋅0=0.150.5\cdot 0.3+0.5\cdot 0=0.15

הסתברות שלמה

בלי החזרה השליפה השנייה היא 24\frac{2}{4}, לא 35\frac{3}{5}. ומהכד השני אי אפשר לשלוף שני לבנים.

Check the answer on elev

Exercise 7

הוכיחו או הפריכו: P(A)=0.6P(A)=0.6, P(B)=0.5P(B)=0.5 ו-P(A∪B)=0.8P(A\cup B)=0.8. המאורעות AA ו-BB בלתי תלויים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

P(A∩B)=0.6+0.5−0.8=0.3\begin{aligned}P(A\cap B) &= 0.6+0.5-0.8 \\ &= 0.3\end{aligned}

מנוסחת האיחוד

P(A)⋅P(B)=0.3P(A)\cdot P(B)=0.3

מכפלה

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

שוויון

הטענה נכונה. קודם מוצאים את החיתוך מהאיחוד, ורק אז משווים למכפלה.

Check the answer on elev

Exercise 8

מטילים מטבע הוגן 55 פעמים. מה ההסתברות שיצא «עץ» בדיוק 22 פעמים, וההטלה החמישית היא אחת מהן? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.125

Worked solution:

(41)⋅0.5⋅0.53\binom{4}{1}\cdot 0.5\cdot 0.5^3

«עץ» אחד בארבע ההטלות הראשונות

⋅0.5\cdot 0.5

ההטלה החמישית «עץ»

4⋅132=0.1254\cdot\frac{1}{32}=0.125

התוצאה

(52)⋅132≈0.31\binom{5}{2}\cdot\frac{1}{32}\approx 0.31 לא דורש שההטלה החמישית תהיה «עץ».

Check the answer on elev

Exercise 9

מחשבים את ההסתברות ל-22 הצלחות בדיוק ב-44 ניסיונות, כש-p=0.3p=0.3. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

p=0.3 q=0.7 n=4 k=2\begin{aligned}p &= 0.3 \\ \ q &= 0.7 \\ \ n &= 4 \\ \ k &= 2\end{aligned}
P(X=2)=0.32⋅0.72=0.0441\begin{aligned}P(X=2) &= 0.3^2\cdot 0.7^2 \\ &= 0.0441\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: P(X=2)=0.32⋅0.72=0.0441P(X=2)=0.3^2\cdot 0.7^2=0.0441 → P(X=2)=(42)⋅0.32⋅0.72=0.2646P(X=2)=\binom{4}{2}\cdot 0.3^2\cdot 0.7^2=0.2646

Worked solution:

(42)=6\binom{4}{2}=6

מספר המסלולים

6⋅0.0441=0.26466\cdot 0.0441=0.2646

התוצאה

שכחו את (42)\binom{4}{2}. 0.04410.0441 היא ההסתברות של מסלול אחד, למשל «הצלחה, הצלחה, כישלון, כישלון».

Check the answer on elev

Exercise 10

חנות מקבלת טלפונים משלושה מחסנים: 50%50\% ממחסן א (2%2\% מהם פגומים), 30%30\% ממחסן ב (3%3\% פגומים) ו-20%20\% ממחסן ג (5%5\% פגומים). כמה אחוזים מהטלפונים בחנות פגומים?

Show the answer and the solution

Answer: 2.9

Worked solution:

0.5⋅0.02+0.3⋅0.03+0.2⋅0.050.5\cdot 0.02+0.3\cdot 0.03+0.2\cdot 0.05

שלושה מסלולים

=0.01+0.009+0.01=0.029=0.01+0.009+0.01=0.029

מחברים

2.9%2.9\%

באחוזים

ממוצע פשוט של 2%2\%, 3%3\% ו-5%5\% נותן 3.33%3.33\%, בלי המשקלים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade