Subsequences and combined sequences · Recurrence relations · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בבגרות כמעט אף פעם לא נשארים עם סדרה אחת. לוקחים רק את המקומות הזוגיים, מחברים שני איברים עוקבים, הופכים כל איבר, ושואלים: האם הסדרה החדשה הנדסית? ומה המנה שלה? הסתכלו על הסדרה בציור.

סדרה הנדסית עם מנה

2

. אם לוקחים רק את המקומות הזוגיים,

6, 24, 96

, כל קפיצה עוברת שני צעדים:

\times 2 \times 2

. המנה של תת-הסדרה היא

2^2=4

מהי המנה של תת-הסדרה של המקומות האי-זוגיים, $3, 12, 48, \ldots$ ? ומהו האיבר הראשון שלה?

Show the answer and the solution

שוב $4$ : גם כאן כל קפיצה עוברת שני צעדים. האיבר הראשון הוא $a_1=3$ . תת-הסדרה של המקומות הזוגיים מתחילה ב- $a_2=6$ , עם אותה מנה.

תת-סדרה: כל איבר שני, כל איבר שלישי

a_1, a_3, a_5, \ldots

איבר ראשון $a_1$ , מנה $q^2$

a_2, a_4, a_6, \ldots

איבר ראשון $a_2=a_1q$ , מנה $q^2$

a_1, a_4, a_7, \ldots

כל איבר שלישי: מנה $q^3$

\begin{aligned}b_k &= a_{2k} \\ &= a_1 q^{2k-1} \\ &= (a_1q) \cdot (q^2)^{k-1}\end{aligned}

סדרות שבונים מסדרה הנדסית

אם $a_n$ הנדסית עם מנה $q$ , בודקים כל סדרה חדשה באותה דרך: מחשבים $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ באופן כללי. אם יוצא מספר קבוע, הסדרה הנדסית.

b_n=k \cdot a_n

מנה $q$

b_n=\frac{1}{a_n}

מנה $\frac{1}{q}$

b_n=a_n^2

מנה $q^2$

b_n=a_n \cdot a_{n+1}

מנה $q^2$

b_n=a_n+a_{n+1}

מנה $q$ , כאשר $q \neq -1$

הוכחה: $b_n=a_n+a_{n+1}$ הנדסית

$a_n$ הנדסית עם מנה $q \neq -1$ . הוכיחו ש- $b_n=a_n+a_{n+1}$ הנדסית.

\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_{n+1}+a_{n+2}}{a_n+a_{n+1}}

המנה של שני איברים עוקבים

=\frac{q a_n+q a_{n+1}}{a_n+a_{n+1}}

כל איבר הוא $q$ כפול קודמו

=\frac{q(a_n+a_{n+1})}{a_n+a_{n+1}}=q

מוציאים $q$ ומצמצמים

\begin{aligned}b_1 &= a_1+a_2 \\ &= a_1(1+q)\end{aligned}

האיבר הראשון של הסדרה החדשה

למה בהוכחה צריך את התנאי $q \neq -1$ ?

Show the answer and the solution

כש- $q=-1$ כל שני איברים עוקבים מבטלים זה את זה: $a_n+a_{n+1}=0$ . אי אפשר לצמצם ב- $0$ , ו- $0, 0, 0, \ldots$ אינה נחשבת סדרה הנדסית.

שתי סדרות יחד

מכפלה של שתי סדרות הנדסיות היא הנדסית, והמנה שלה היא מכפלת המנות. סכום של שתי סדרות הנדסיות עם מנות שונות אינו הנדסי: $2^n+3^n$ נותן $5, 13, 35$ , ו- $\frac{13}{5} \neq \frac{35}{13}$ . לסכום של הסדרה המצורפת מחברים את שני הסכומים.

$a_n$ הנדסית עם מנה $2$ , ו- $b_n$ הנדסית עם מנה $-3$ . מהי המנה של $c_n=a_n \cdot b_n$ ?

Show the answer and the solution

$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{a_{n+1}}{a_n} \cdot \frac{b_{n+1}}{b_n}=2 \cdot (-3)=-6$ . הסדרה $c_n$ הנדסית ומתחלפת.

סכום של תת-סדרה

חמשת האיברים הראשונים במקומות הזוגיים

$a_n=3 \cdot 2^{n-1}$ . חשבו את $a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}$ .

\begin{aligned}b_1 &= a_2 \\ &= 6 \\ \quad q_b &= 2^2 \\ &= 4\end{aligned}

תת-הסדרה של המקומות הזוגיים

S_5=\frac{6(4^5-1)}{4-1}

סכום חלקי עם המנה החדשה

=2 \cdot 1023=2046

בדיקה: $6+24+96+384+1536=2046$ ✓

שלוש הטעויות של תת-סדרות וצירופים.

\begin{aligned}a_2 \\ a_4 \\ a_6: \ q_b &= q\end{aligned}

q_b=q^2

בין $a_2$ ל- $a_4$ יש שני צעדים, ולכן כופלים ב- $q$ פעמיים.

\begin{aligned}a_2 \\ a_4 \\ a_6: \ b_1 &= a_1\end{aligned}

\begin{aligned}b_1 &= a_2 \\ &= a_1q\end{aligned}

תת-הסדרה מתחילה באיבר הראשון שלה, $a_2$ .

a_n+b_n \ \text{הנדסית}

a_n \cdot b_n \ \text{הנדסית}

סכום של שתי סדרות הנדסיות עם מנות שונות אינו הנדסי. מכפלה — כן.

בכל סדרה חדשה שואלים שלוש שאלות, באותו סדר: מהו האיבר הראשון שלה? מה המנה שלה? כמה איברים יש בה? רק אחר כך מציבים בנוסחת הסכום.

Exercises

Exercise 1

$a_n$ סדרה הנדסית עם $a_1=5$ ו- $q=3$ . מהי המנה של תת-הסדרה $a_2, a_4, a_6, \ldots$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

a_4=a_2 \cdot q^2

שני צעדים בין איבר לאיבר

q^2=9

המנה היא $q^2=9$ . מי שעונה $6$ חשב $2q$ : מכפילים פעמיים, לא מחברים.

Check the answer on elev

Exercise 2

$a_n$ סדרה הנדסית עם $a_1=5$ ו- $q=3$ . מהו האיבר הראשון של תת-הסדרה $a_2, a_4, a_6, \ldots$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

\begin{aligned}b_1 &= a_2 \\ &= a_1 q\end{aligned}

תת-הסדרה מתחילה ב- $a_2$

=5 \cdot 3=15

מי שעונה $5$ התחיל את תת-הסדרה ב- $a_1$ . אבל $a_1$ נמצא במקום אי-זוגי.

Check the answer on elev

Exercise 3

$a_n$ סדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים, עם מנה $q=\frac{1}{2}$ . מהי המנה של $b_n=\frac{1}{a_n}$ ?

$\frac{1}{2}$
$2$
$\frac{1}{4}$
$-2$

Show the answer and the solution

Answer: B $2$

Worked solution:

\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_n}{a_{n+1}}

השבר מתהפך

=\frac{1}{q}=2

הנכונה: $2$ . $a_n$ יורדת, ולכן ההופכיים עולים. $-2$ מבלבל בין הופכי לנגדי.

Check the answer on elev

Exercise 4

הוכיחו או הפריכו: אם $a_n$ סדרה הנדסית עם מנה $q$ , אז $b_n=a_n^2$ סדרה הנדסית עם מנה $q^2$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_{n+1}^2}{a_n^2} \\ &= \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)^2\end{aligned}

חזקה של מנה

=q^2

מספר קבוע

הטענה נכונה. שימו לב: גם כש- $q$ שלילי, $q^2$ חיובי, ולכן $a_n^2$ אינה מתחלפת.

Check the answer on elev

Exercise 5

$a_n=2^{n-1}$ ו- $b_n=2n-1$ . נגדיר $c_n=a_n+b_n$ . חשבו את $c_1+c_2+\ldots+c_{10}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1123

Worked solution:

\sum c_n=\sum a_n+\sum b_n

מפרקים לשני סכומים

\begin{aligned}a_1+\ldots+a_{10} &= \frac{2^{10}-1}{2-1} \\ &= 1023\end{aligned}

הנדסית: $a_1=1$ , $q=2$

\begin{aligned}b_1+\ldots+b_{10} &= 1+3+\ldots+19 \\ &= 100\end{aligned}

עשרת המספרים האי-זוגיים הראשונים

1023+100=1123

$c_n$ עצמה אינה הנדסית ואינה חשבונית, ולכן אין לה נוסחת סכום. אבל סכום של סכום מתפרק לשני חלקים שלכל אחד מהם יש נוסחה.

Check the answer on elev

Exercise 6

$a_n$ הנדסית עם מנה $2$ , ו- $b_n$ הנדסית עם מנה $5$ . איזו מהסדרות הבאות הנדסית בוודאות?

$a_n+b_n$
$a_n+2$
$a_n \cdot b_n$
$a_n-b_n$

Show the answer and the solution

Answer: C $a_n \cdot b_n$

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{a_{n+1}b_{n+1}}{a_n b_n} &= 2 \cdot 5 \\ &= 10\end{aligned}

מנה קבועה

\begin{aligned}a_n &= 2^{n-1} \\ \ b_n &= 5^{n-1}: \ a_n+b_n \\ &= 2 \\ 7 \\ 29\end{aligned}

$\frac{7}{2} \neq \frac{29}{7}$

הנכונה: $a_n \cdot b_n$ , עם מנה $10$ . בסכום ובהפרש המנות לא מתפרקות. $a_n+2$ «מקלקלת» את המנה הקבועה, כמו בכלל $2a_n+2$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

$a_n$ סדרה הנדסית עם $a_1=2$ ו- $q=3$ . נגדיר $b_n=a_n+a_{n+1}$ . חשבו את $b_4$ .

Show the answer and the solution

Answer: 216

Worked solution:

\begin{aligned}b_1 &= a_1+a_2 \\ &= 2+6 \\ &= 8\end{aligned}

האיבר הראשון

\begin{aligned}q_b &= q \\ &= 3\end{aligned}

לפי ההוכחה בשיעור

\begin{aligned}b_4 &= 8 \cdot 3^3 \\ &= 216\end{aligned}

\begin{aligned}a_4+a_5 &= 54+162 \\ &= 216\end{aligned}

בדיקה ישירה ✓

שתי דרכים, אותה תשובה. $b_4=a_4+a_5$ : המקום $4$ והמקום שאחריו. מי שמחבר $a_3+a_4$ מקבל $72$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

$a_n=2^{n-1}$ . חשבו את סכום ששת האיברים הראשונים במקומות האי-זוגיים: $a_1+a_3+\ldots+a_{11}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1365

Worked solution:

\begin{aligned}b_1 &= a_1 \\ &= 1 \\ \quad q_b &= 4\end{aligned}

המקומות האי-זוגיים

\begin{aligned}S_6 &= \frac{4^6-1}{4-1} \\ &= \frac{4095}{3}\end{aligned}

שישה איברים

=1365

מ- $a_1$ עד $a_{11}$ יש שישה מקומות אי-זוגיים, לא אחד-עשר. ומי שמציב $q=2$ בנוסחה סוכם את כל האיברים, גם את הזוגיים.

Check the answer on elev

Exercise 9

$a_n$ סדרה הנדסית עם מנה $3$ ואיברים חיוביים. מיינו את הסדרות שנבנות ממנה.

הנדסית
לא הנדסית

$\frac{1}{a_n}$
$5a_n$
$a_{3n}$
$a_n^3$
$a_n+1$
$a_n+n$

Show the answer and the solution

Answer: $5a_n$ — הנדסית · $a_n^3$ — הנדסית · $a_{3n}$ — הנדסית · $\frac{1}{a_n}$ — הנדסית · $a_n+1$ — לא הנדסית · $a_n+n$ — לא הנדסית

Worked solution:

a_{3n}: \ q^3=27

כל איבר שלישי

\begin{aligned}a_n &= 3^{n-1}: \ a_n+1 \\ &= 2 \\ 4 \\ 10\end{aligned}

$\frac{4}{2} \neq \frac{10}{4}$

\begin{aligned}a_n+n &= 2 \\ 5 \\ 12\end{aligned}

$\frac{5}{2} \neq \frac{12}{5}$

כפל, חזקה, הופכי ותת-סדרה שומרים על מנה קבועה. הוספה של מספר, קבוע או משתנה, הורסת אותה.

Check the answer on elev

Exercise 10

$a_n$ סדרה הנדסית עם $a_1=3$ ו- $q=2$ . נגדיר $c_n=a_n \cdot a_{n+1}$ . השלימו.

$c_1=$ ____ , המנה של $c_n$ : ____ , $c_3=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $c_1=$ 18 , המנה של $c_n$ : 4 , $c_3=$ 288

Worked solution:

\begin{aligned}c_1 &= a_1 a_2 \\ &= 3 \cdot 6 \\ &= 18\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{c_{n+1}}{c_n} &= \frac{a_{n+1}a_{n+2}}{a_n a_{n+1}} \\ &= q^2 \\ &= 4\end{aligned}

$a_{n+1}$ מצטמצם

\begin{aligned}c_3 &= 18 \cdot 4^2 \\ &= 288\end{aligned}

\begin{aligned}a_3 a_4 &= 12 \cdot 24 \\ &= 288\end{aligned}

בדיקה ✓

בכל צעד שני הגורמים מוכפלים ב- $q$ , ולכן המנה היא $q^2$ . מי שעונה $2$ הכפיל רק גורם אחד.

Check the answer on elev

תת-סדרה: כל איבר שני, כל איבר שלישי

סדרות שבונים מסדרה הנדסית

שתי סדרות יחד

סכום של תת-סדרה

Exercises

Keep practising on elev