The recursive rule

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

לפעמים לא נותנים נוסחה לפי המקום, אלא איך עוברים מאיבר לאיבר הבא. הכלל בציור: כל איבר הוא פעמיים הקודם ועוד 11. הסתכלו על הקפיצות: הן לא קבועות, אבל יש בהן סדר.

2152113234475+3+6+12+24…
a1=2a_1=2 והכלל an+1=2an+1a_{n+1}=2a_n+1. הקפיצות +3,+6,+12,+24+3, +6, +12, +24 אינן קבועות, ולכן זו לא סדרה חשבונית. אבל כל קפיצה כפולה מקודמתה: שם מסתתרת סדרה הנדסית.

חשבו את a6a_6 בסדרה שבציור.

Show the answer and the solution

a6=2⋅47+1=95a_6=2 \cdot 47+1=95. הקפיצה האחרונה היא +48+48, כפולה מ-+24+24. כדי להגיע ל-a6a_6 חייבים לעבור דרך a5a_5: זה ההבדל מנוסחה לפי המקום.

כלל נסיגה: איבר ראשון וכלל

a1=2an+1=2an+1\begin{aligned}a_1 &= 2 \\ \qquad a_{n+1} &= 2a_n+1\end{aligned}

כלל נסיגה קובע איך מחשבים איבר מהאיבר שלפניו. בלי איבר ראשון אין סדרה: אותו כלל עם a1=0a_1=0 נותן 0,1,3,7,…0, 1, 3, 7, \ldots, סדרה אחרת לגמרי.

סדרה חשבונית והנדסית בתחפושת

an+1=an+da_{n+1}=a_n+d

מוסיפים מספר קבוע: סדרה חשבונית, an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d

an+1=q⋅ana_{n+1}=q \cdot a_n

כופלים במספר קבוע: סדרה הנדסית, an=a1qn−1a_n=a_1 q^{n-1}

an+1−an=−3a_{n+1}-a_n=-3

אותו דבר בכתיבה אחרת: חשבונית עם d=−3d=-3

an+1an=−12\frac{a_{n+1}}{a_n}=-\frac{1}{2}

הנדסית עם q=−12q=-\frac{1}{2}

רק בשתי המשפחות האלה עוברים מכלל נסיגה לנוסחה לפי המקום. בכל כלל אחר מחשבים איבר אחרי איבר, או מחפשים סדרה עזר שהיא הנדסית.

הסדרה ההנדסית שמסתתרת בציור

a1=2a_1=2, an+1=2an+1a_{n+1}=2a_n+1. מגדירים bn=an+1b_n=a_n+1. הוכיחו ש-bnb_n הנדסית ומצאו נוסחה ל-ana_n.

bn+1=an+1+1=2an+1+1\begin{aligned}b_{n+1} &= a_{n+1}+1 \\ &= 2a_n+1+1\end{aligned}

מציבים את כלל הנסיגה

=2(an+1)=2bn=2(a_n+1)=2b_n

מוציאים 22 כגורם משותף

b1=a1+1=3q=2\begin{aligned}b_1 &= a_1+1 \\ &= 3 \\ \quad q &= 2\end{aligned}

כל איבר של bb כפול מקודמו: הנדסית

bn=3⋅2n−1 ⇒ an=3⋅2n−1−1\begin{aligned}b_n &= 3 \cdot 2^{n-1} \ \Rightarrow \ a_n \\ &= 3 \cdot 2^{n-1}-1\end{aligned}

חוזרים ל-ana_n

a5=3⋅16−1=47\begin{aligned}a_5 &= 3 \cdot 16-1 \\ &= 47\end{aligned}

בדיקה מול הציור ✓

בסדרה a1=5a_1=5, an+1=an−3a_{n+1}=a_n-3: איזו סדרה זו, ומהו a20a_{20}?

Show the answer and the solution

מוסיפים מספר קבוע, −3-3: סדרה חשבונית עם d=−3d=-3. a20=5+19⋅(−3)=−52a_{20}=5+19 \cdot (-3)=-52. תשע-עשרה קפיצות, לא עשרים.

סדרה מחזורית

נתונה a1=2a_1=2 והכלל an+1=11−ana_{n+1}=\frac{1}{1-a_n}. מחשבים: a2=11−2=−1a_2=\frac{1}{1-2}=-1, a3=11−(−1)=12a_3=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}, a4=11−12=2a_4=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2. האיבר הראשון חזר, ולכן מכאן הכול חוזר: 2,−1,12,2,−1,12,…2, -1, \frac{1}{2}, 2, -1, \frac{1}{2}, \ldots המחזור הוא 33.

100=3⋅33+1 ⇒ a100=a1=2\begin{aligned}100 &= 3 \cdot 33+1 \ \Rightarrow \ a_{100} \\ &= a_1 \\ &= 2\end{aligned}

באותה סדרה, מהו a50a_{50}?

Show the answer and the solution

50=3⋅16+250=3 \cdot 16+2: השארית 22, ולכן a50=a2=−1a_{50}=a_2=-1. השארית בחלוקה במחזור אומרת באיזה מקום בתוך המחזור אנחנו.

כלל שנשען על שני איברים

בכלל כמו an+2=an+1+ana_{n+2}=a_{n+1}+a_n כל איבר נבנה משני קודמיו, ולכן צריך שני איברים ראשונים. עם a1=a2=1a_1=a_2=1 מתקבלת הסדרה 1,1,2,3,5,8,13,…1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots

שלוש הטעויות של כלל הנסיגה.

an+1=an+2n ⇒ חשבוניתa_{n+1}=a_n+2n \ \Rightarrow \ \text{חשבונית}
an+1−an=2na_{n+1}-a_n=2n

ההפרש חייב להיות מספר קבוע. כאן הוא משתנה עם nn: 1,3,7,131, 3, 7, 13 — קפיצות +2,+4,+6+2, +4, +6.

an+1=3an a1=2 ⇒ an=2⋅3n\begin{aligned}a_{n+1} &= 3a_n \\ \ a_1 &= 2 \ \Rightarrow \ a_n \\ &= 2 \cdot 3^n\end{aligned}
an=2⋅3n−1a_n=2 \cdot 3^{n-1}

בודקים ב-n=1n=1: הנוסחה חייבת לתת a1=2a_1=2, ו-2⋅31=62 \cdot 3^1=6.

a50=a50−3a_{50}=a_{50-3}
50=3⋅16+2 ⇒ a50=a2\begin{aligned}50 &= 3 \cdot 16+2 \ \Rightarrow \ a_{50} \\ &= a_2\end{aligned}

במחזור של 33 מורידים כמה מחזורים שצריך. הקיצור הוא השארית בחלוקה ב-33.

לפני כל חישוב שאלו: הכלל מוסיף מספר קבוע או כופל במספר קבוע? אם כן, יש נוסחה. אם לא, מחשבים כמה איברים ומחפשים מחזור או סדרת עזר.

Exercises

Exercise 1

נתונה סדרה: a1=3a_1=3 ו-an+1=an2−5a_{n+1}=a_n^2-5. חשבו את a4a_4.

Show the answer and the solution

Answer: 116

Worked solution:

a2=9−5=4\begin{aligned}a_2 &= 9-5 \\ &= 4\end{aligned}
a3=16−5=11\begin{aligned}a_3 &= 16-5 \\ &= 11\end{aligned}
a4=121−5=116\begin{aligned}a_4 &= 121-5 \\ &= 116\end{aligned}

איבר אחרי איבר. מי שכותב a2=32−5⋅2a_2=3^2-5 \cdot 2 טעה: ה-55 לא מוכפל במקום.

Check the answer on elev

Exercise 2

איזה כלל נסיגה מגדיר סדרה הנדסית (לכל a1≠0a_1 \neq 0)?

  1. an+1=an−2a_{n+1}=a_n-2
  2. an+1=−2ana_{n+1}=-2a_n
  3. an+1=an2a_{n+1}=a_n^2
  4. an+1=2an+2a_{n+1}=2a_n+2
Show the answer and the solution

Answer: B an+1=−2ana_{n+1}=-2a_n

Worked solution:

an+1an=−2\frac{a_{n+1}}{a_n}=-2

מנה קבועה

an+1=an−2a_{n+1}=a_n-2

הפרש קבוע: חשבונית

an+1=2an+2a_{n+1}=2a_n+2

1,4,10,221, 4, 10, 22: המנות 44, 2.52.5 — לא קבועות

הנכונה: an+1=−2ana_{n+1}=-2a_n. מנה שלילית היא מנה חוקית: הסדרה מתחלפת בסימן. 2an+22a_n+2 נראה הנדסי, אבל התוספת +2+2 הורסת את המנה הקבועה.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה סדרה: a1=7a_1=7 ו-an+1=an+4a_{n+1}=a_n+4. חשבו את a30a_{30}.

Show the answer and the solution

Answer: 123

Worked solution:

d=4d=4

מוסיפים מספר קבוע: חשבונית

a30=7+29⋅4a_{30}=7+29 \cdot 4

2929 קפיצות

=123=123

כאן אין צורך לחשב 30 איברים: הסדרה חשבונית. מי שכותב 30⋅430 \cdot 4 מקבל 127127.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה סדרה: a1=64a_1=64 ו-an+1=−an2a_{n+1}=-\frac{a_n}{2}. חשבו את a7a_7.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

q=−12q=-\frac{1}{2}

כופלים במספר קבוע: הנדסית

a7=64⋅(−12)6a_7=64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^6

שש קפיצות

=6464=1=\frac{64}{64}=1

חזקה זוגית: הסימן חיובי

a7a_7 חיובי, כי במקומות האי-זוגיים הסימן של a1a_1 חוזר. מי שכותב −1-1 ספר שבע קפיצות.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה סדרה המקיימת an+1=3an−4a_{n+1}=3a_n-4, וידוע ש-a3=11a_3=11. מצאו את a1a_1.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

an=an+1+43a_n=\frac{a_{n+1}+4}{3}

הופכים את הכלל: הולכים אחורה

a2=11+43=5\begin{aligned}a_2 &= \frac{11+4}{3} \\ &= 5\end{aligned}
a1=5+43=3\begin{aligned}a_1 &= \frac{5+4}{3} \\ &= 3\end{aligned}
3→5→113 \to 5 \to 11

בדיקה קדימה ✓

הולכים אחורה בפעולה ההפוכה: קודם מוסיפים 44 ורק אחר כך מחלקים ב-33. מי שמחלק קודם מקבל a2=113+4a_2=\frac{11}{3}+4.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה סדרה: a1=3a_1=3 ו-an+1=1−1ana_{n+1}=1-\frac{1}{a_n}. חשבו את a100a_{100}.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

a2=1−13=23\begin{aligned}a_2 &= 1-\frac{1}{3} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}
a3=1−32=−12\begin{aligned}a_3 &= 1-\frac{3}{2} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}
a4=1+2=3=a1\begin{aligned}a_4 &= 1+2 \\ &= 3 \\ &= a_1\end{aligned}

מחזור של 33

100=3⋅33+1 ⇒ a100=a1=3\begin{aligned}100 &= 3 \cdot 33+1 \ \Rightarrow \ a_{100} \\ &= a_1 \\ &= 3\end{aligned}

שארית 11

ברגע ש-a1a_1 חוזר, הסדרה מחזורית. השארית בחלוקה ב-33 היא 11, ולכן a100=a1a_{100}=a_1. מי שמחלק 100100 ב-33 ומעגל לא נעזר בשארית.

Check the answer on elev

Exercise 7

הוכיחו או הפריכו: הסדרה a1=1a_1=1, an+1=an+2na_{n+1}=a_n+2n היא סדרה חשבונית.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

a2=3 a3=7 a4=13\begin{aligned}a_2 &= 3 \\ \ a_3 &= 7 \\ \ a_4 &= 13\end{aligned}

שלושה איברים

a2−a1=2a3−a2=4\begin{aligned}a_2-a_1 &= 2 \\ \quad a_3-a_2 &= 4\end{aligned}

ההפרשים שונים

הטענה אינה נכונה. מה שמוסיפים הוא 2n2n, והוא משתנה עם nn. בסדרה חשבונית מוסיפים בכל צעד אותו מספר.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה סדרה: a1=1a_1=1 ו-an+1=3an+2a_{n+1}=3a_n+2. מגדירים bn=an+1b_n=a_n+1. השלימו.

bnb_n הנדסית עם מנה ____ , b4=b_4= ____ , a4=a_4= ____

Show the answer and the solution

Answer: bnb_n הנדסית עם מנה 3 , b4=b_4= 54 , a4=a_4= 53

Worked solution:

bn+1=3an+2+1=3(an+1)=3bn\begin{aligned}b_{n+1} &= 3a_n+2+1 \\ &= 3(a_n+1) \\ &= 3b_n\end{aligned}

מציבים את הכלל

b1=2 ⇒ b4=2⋅33=54\begin{aligned}b_1 &= 2 \ \Rightarrow \ b_4 \\ &= 2 \cdot 3^3 \\ &= 54\end{aligned}

נוסחת האיבר הכללי

a4=54−1=53\begin{aligned}a_4 &= 54-1 \\ &= 53\end{aligned}

חוזרים ל-aa

1→5→17→531 \to 5 \to 17 \to 53

בדיקה בכלל עצמו ✓

הטריק: +2+1=3⋅1+2+1=3 \cdot 1, ולכן אפשר להוציא 33 כגורם משותף. בסוף לא לשכוח לחזור מ-b4b_4 ל-a4a_4.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה סדרה: a1=1a_1=1, a2=3a_2=3 ו-an+2=an+1+2ana_{n+2}=a_{n+1}+2a_n. חשבו את a6a_6.

Show the answer and the solution

Answer: 43

Worked solution:

a3=3+2⋅1=5\begin{aligned}a_3 &= 3+2 \cdot 1 \\ &= 5\end{aligned}

n=1n=1

a4=5+2⋅3=11\begin{aligned}a_4 &= 5+2 \cdot 3 \\ &= 11\end{aligned}
a5=11+2⋅5=21\begin{aligned}a_5 &= 11+2 \cdot 5 \\ &= 21\end{aligned}
a6=21+2⋅11=43\begin{aligned}a_6 &= 21+2 \cdot 11 \\ &= 43\end{aligned}

2an2a_n מכפיל את האיבר הרחוק מבין השניים. מי שמכפיל את הקרוב, an+1a_{n+1}, מקבל a3=7a_3=7.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה סדרה: a1=3a_1=3 ו-an+1=1−1ana_{n+1}=1-\frac{1}{a_n}. חשבו את a1+a2+…+a30a_1+a_2+\ldots+a_{30}. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 31.67

Worked solution:

3, 23, −12, 3, …3, \ \frac{2}{3}, \ -\frac{1}{2}, \ 3, \ \ldots

מחזור של 33

3+23−12=1963+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{19}{6}

סכום מחזור אחד

10⋅196=953≈31.6710 \cdot \frac{19}{6}=\frac{95}{3} \approx 31.67

3030 איברים הם 1010 מחזורים שלמים

סוכמים מחזור ומכפילים במספר המחזורים. אם 3030 לא היה מתחלק ב-33, היה צריך להוסיף את האיברים שנשארו.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade