Set 1 — easy

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: תחום, אסימפטוטה אנכית, שתי אסימפטוטות אופקיות, משיק אנכי, נגזרת שנייה ומשוואה אחת. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

שלוש שאלות לפני כל תרגיל: השורש במונה או במכנה? xx הולך ימינה או שמאלה? ובמשוואה: בדקתם בהצבה?

Exercises

Exercise 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=1x2−1f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}?

  1. x≤−1x \leq -1 או x≥1x \geq 1
  2. x<−1x<-1 או x>1x>1
  3. x>1x>1
  4. −1<x<1-1<x<1
Show the answer and the solution

Answer: B x<−1x<-1 או x>1x>1

Worked solution:

x2−1>0x^2-1>0

השורש במכנה: חיובי ממש

x<−1 או x>1x<-1 \ \text{או} \ x>1

מחוץ לשורשים

הנכונה: x<−1x<-1 או x>1x>1. ב-x=±1x=\pm 1 המכנה 00. ו-x>1x>1 לבד שוכח את הקטע השמאלי.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהי האסימפטוטה האנכית של f(x)=x+2x−3f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x-3}}? כתבו את ערך ה-xx.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x>3x>3

תחום

x=3: 3+2=5≠0\begin{aligned}x &= 3: \ 3+2 \\ &= 5 \neq 0\end{aligned}

המונה לא מתאפס

x=3x=3. הערך x=−2x=-2 מאפס את המונה, אבל הוא בכלל מחוץ לתחום.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=5xx2+2f(x)=\frac{5x}{\sqrt{x^2+2}}. מהי האסימפטוטה האופקית כש-x→+∞x \to +\infty? כתבו את ערך ה-yy.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

x2+2≈x (x>0)\sqrt{x^2+2} \approx x \ (x>0)

מימין ∣x∣=x|x|=x

5xx=5\frac{5x}{x}=5

הגבול

y=5y=5. ה-22 שמתחת לשורש לא משנה את הגבול.

Check the answer on elev

Exercise 4

ובאותה פונקציה, f(x)=5xx2+2f(x)=\frac{5x}{\sqrt{x^2+2}}: מהי האסימפטוטה האופקית כש-x→−∞x \to -\infty?

Show the answer and the solution

Answer: -5

Worked solution:

x2+2≈∣x∣=−x (x<0)\sqrt{x^2+2} \approx |x|=-x \ (x<0)

משמאל

5x−x=−5\frac{5x}{-x}=-5

הגבול

y=−5y=-5. זו לא אותה אסימפטוטה: x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x| הופך את הסימן משמאל.

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: x2=x\sqrt{x^2}=x לכל xx.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x=−3: 9=3≠−3\begin{aligned}x &= -3: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \neq -3\end{aligned}

דוגמה נגדית

הטענה לא נכונה. x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|. זה בדיוק מה שנותן שתי אסימפטוטות אופקיות שונות.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=xf(x)=\sqrt{x}. חשבו את f′′(1)f''(1).

Show the answer and the solution

Answer: -0.25

Worked solution:

f′(x)=12x−12f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}

נגזרת ראשונה

f′′(x)=−14x−32f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}

נגזרת שנייה

f′′(1)=−14f''(1)=-\frac{1}{4}

מציבים

−0.25-0.25. המינוס אומר ש-x\sqrt{x} קעורה כלפי מטה. מי שקיבל 00 גזר את 12\frac{1}{2} ושכח את החזקה של xx.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה f(x)=x+2+3f(x)=\sqrt{x+2}+3. באיזה ישר אנכי הגרף משיק?

  1. x=2x=2
  2. x=−2x=-2
  3. x=3x=3
  4. x=0x=0
Show the answer and the solution

Answer: B x=−2x=-2

Worked solution:

x≥−2f(−2)=3\begin{aligned}x \geq -2 \\ \quad f(-2) &= 3\end{aligned}

תחום, והנקודה בקצה

f′(x)=12x+2→∞f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+2}} \to \infty

בקצה

הנכונה: x=−2x=-2. ה-+3+3 מזיז את הגרף למעלה, לא הצידה. המשיק האנכי נשאר בקצה התחום.

Check the answer on elev

Exercise 8

פתרו: 3x+4=x\sqrt{3x+4}=x

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

3x+4=x2 ⇒ x2−3x−4=0\begin{aligned}3x+4 &= x^2 \ \Rightarrow \ x^2-3x-4 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=4 או x=−1\begin{aligned}x &= 4 \ \text{או} \ x \\ &= -1\end{aligned}

שני מועמדים

x=−1: 1=1≠−1\begin{aligned}x &= -1: \ \sqrt{1} \\ &= 1 \neq -1\end{aligned}

נפסל

x=4: 16=4 ✓\begin{aligned}x &= 4: \ \sqrt{16} \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

מתאים

x=4x=4 בלבד. אגף ימין הוא xx, ושורש אינו שלילי: xx חייב להיות אי-שלילי, ולכן −1-1 נפסל.

Check the answer on elev

Exercise 9

התאימו לכל פונקציה את האסימפטוטות שלה.

  • 1x−2\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}
  • xx2+1\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}
  • 2xx2+1\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}
  • xx−2\dfrac{x}{\sqrt{x-2}}
  • x=2x=2 בלבד
  • x=2x=2 ו-y=0y=0
  • y=1y=1 ו-y=−1y=-1
  • y=2y=2 ו-y=−2y=-2
Show the answer and the solution

Answer: 1x−2\dfrac{1}{\sqrt{x-2}} — x=2x=2 ו-y=0y=0 · xx2+1\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} — y=1y=1 ו-y=−1y=-1 · 2xx2+1\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}} — y=2y=2 ו-y=−2y=-2 · xx−2\dfrac{x}{\sqrt{x-2}} — x=2x=2 בלבד

Worked solution:

xx−2≈x→∞\frac{x}{\sqrt{x-2}} \approx \sqrt{x} \to \infty

אין אסימפטוטה אופקית

1x−2→0\frac{1}{\sqrt{x-2}} \to 0

ורק מימין: התחום x>2x>2

שתי פונקציות עם אותה אסימפטוטה אנכית x=2x=2. ההבדל ברחוק: כשהמונה 11 הגרף יורד ל-00, וכשהמונה xx הוא עולה בלי גבול.

Check the answer on elev

Exercise 10

מה נכון לגבי הקעירות של f(x)=−xf(x)=-\sqrt{x}?

  1. יש נקודת פיתול ב-x=1x=1
  2. קעורה כלפי מעלה (∪\cup) בכל x>0x>0
  3. אין לה נגזרת שנייה
  4. קעורה כלפי מטה (∩\cap) בכל x>0x>0
Show the answer and the solution

Answer: B קעורה כלפי מעלה (∪\cup) בכל x>0x>0

Worked solution:

f′′(x)=−(−14x−32)=14x−32>0\begin{aligned}f''(x) &= -\left(-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}\right) \\ &= \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}>0\end{aligned}

הנגזרת השנייה של x\sqrt{x}, עם מינוס

x>0x>0

חיובית בכל פנים התחום

הנכונה: כלפי מעלה. שיקוף בציר ה-xx הופך את הקעירות: x\sqrt{x} היא ∩\cap, ולכן −x-\sqrt{x} היא ∪\cup.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade