Solving together · Functions with roots · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח שאלת השורש של הבגרות: פרמטר מקיצון ואסימפטוטות שונות; ישר שאולי חותך את הגרף; משיק אנכי וקעירות; ו«האם ייתכן?». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. אחרי כל שאלה, שאלה תאומה מחכה לכם למטה.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם כותבים בבחינה. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — פרמטר מנקודת קיצון, ושתי אסימפטוטות

Interactive activity

נתונה $f(x)=\frac{ax+6}{\sqrt{x^2+12}}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=2$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את האסימפטוטות של $f$ . ג. מצאו את נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. ד. מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם האסימפטוטה האופקית הימנית.

\begin{aligned}f(x) &= \frac{ax+6}{\sqrt{x^2+12}} \\ \quad f'(2) &= 0\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הנגזרת נכתבת עם $a$ , ורק אחר כך מציבים.

א. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x^2+12)-x(ax+6)}{(x^2+12)\sqrt{x^2+12}} \\ &= \frac{12a-6x}{(x^2+12)\sqrt{x^2+12}}\end{aligned}

נגזרת של מנה. $ax^2$ מתבטל.

א.

\begin{aligned}12a-12 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

$f(x)=\frac{x+6}{\sqrt{x^2+12}}$ .

ב. אנכית

x^2+12>0

התחום הוא כל $x$ : אין אסימפטוטה אנכית.

ב. אופקיות

\begin{aligned}x \to +\infty: \ \frac{x}{|x|} &= 1 \qquad x \to -\infty: \ \frac{x}{|x|} \\ &= -1\end{aligned}

$y=1$ מימין, $y=-1$ משמאל.

ג. סוג

\begin{aligned}f'(0) &= \frac{12}{12\sqrt{12}}>0 \qquad f'(3) \\ &= \frac{-6}{21\sqrt{21}}<0\end{aligned}

עולה ואחר כך יורדת.

ג.

\begin{aligned}f(2) &= \frac{8}{\sqrt{16}} \\ &= 2\end{aligned}

מקסימום $(2,\,2)$ .

ד. משוואה

\begin{aligned}x+6 &= \sqrt{x^2+12} \ \Rightarrow \ x^2+12x+36 \\ &= x^2+12 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

פותרים $f(x)=1$ .

ד. בדיקה

\frac{-2+6}{\sqrt{16}}=1 \ \checkmark

הנקודה $(-2,\,1)$ .

שני דברים ששאלות כאלה בודקות: $\sqrt{x^2}=|x|$ בסעיף ב, והבדיקה בסעיף ד.

Do the activity on elev

האם הגרף חותך גם את האסימפטוטה השמאלית $y=-1$ ?

Show the answer and the solution

לא. $f(x)=-1$ נותן $x+6=-\sqrt{x^2+12}$ , ולכן $x+6<0$ . בחזקת 2 מתקבל שוב $x=-2$ , אבל $-2+6=4>0$ , והוא נפסל. אין פתרון.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — האם הישר חותך את הגרף?

Interactive activity

$f(x)=\sqrt{2x^2+7}$ והישר $y=x-2$

נתונה $f(x)=\sqrt{2x^2+7}$ . מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של $f$ עם הישר $y=x-2$ .

אין נקודות חיתוך

$x=-1$ ו- $x=-3$

$x=-1$ בלבד

$x=-3$ בלבד

איזו משוואה פותרים?

$\sqrt{2x^2+7}=x-2$

Show the answer and the solution

בנקודת חיתוך לגרף ולישר אותו $y$ .

$\sqrt{2x^2+7}=0$

Show the answer and the solution

זו החיתוך עם ציר ה- $x$ , לא עם הישר.

\sqrt{2x^2+7}=x-2

השורש כבר מבודד.

מעלים בחזקת 2. מה מתקבל?

$x^2+4x+3=0$

Show the answer and the solution

$2x^2+7=x^2-4x+4$ .

$x^2+3=0$

Show the answer and the solution

$(x-2)^2=x^2-4x+4$ , לא $x^2+4$ .

\begin{aligned}x^2+4x+3 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= -3\end{aligned}

שני מועמדים.

מה עכשיו?

בודקים במשוואה המקורית

Show the answer and the solution

ההעלאה בחזקת 2 עלולה להוסיף פתרונות זרים.

עונים: שתי נקודות חיתוך

Show the answer and the solution

אגף ימין $x-2$ חייב להיות אי-שלילי. בדקו.

\begin{aligned}x &= -1: \ x-2 \\ &= -3<0 \qquad x \\ &= -3: \ x-2 \\ &= -5<0\end{aligned}

שני המועמדים נפסלים: שורש אינו שלילי.

Show the answer and the solution

אין נקודות חיתוך. אפשר לראות את זה גם בלי חישוב: $\sqrt{2x^2+7}>\sqrt{x^2}=|x| \geq x>x-2$ . הגרף תמיד מעל הישר.

Do the activity on elev

ואם הישר היה $y=x+2$ ? כמה נקודות חיתוך היו?

Show the answer and the solution

$2x^2+7=x^2+4x+4$ נותן $x^2-4x+3=0$ , כלומר $x=1$ או $x=3$ . בבדיקה $x+2=3$ ו- $x+2=5$ , שניהם חיוביים: $\sqrt{9}=3$ ✓ ו- $\sqrt{25}=5$ ✓. שתי נקודות, $(1,\,3)$ ו- $(3,\,5)$ .

השאלות התאומות: שאלות 2 ו-5 ברשימה למטה.

3 — משיק אנכי, משיק רגיל וקעירות

Interactive activity

נתונה $f(x)=\sqrt{ax-x^2}$ , כאשר $a>0$ . הישר $x=10$ משיק לגרף של $f$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודת המקסימום. ג. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=2$ . ד. הוכיחו ש- $f$ קעורה כלפי מטה בכל פנים התחום.

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{ax-x^2} \\ \quad x &= 10 \ \text{משיק}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». משיק אנכי מופיע בקצה התחום, שם מה שמתחת לשורש מתאפס.

א.

\begin{aligned}10a-100 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 10\end{aligned}

$x=10$ הוא קצה: $ax-x^2=0$ שם.

ב. תחום

10x-x^2 \geq 0 \ \Rightarrow \ 0 \leq x \leq 10

בין השורשים של $x(10-x)$ .

ב. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{10-2x}{2\sqrt{10x-x^2}} \\ &= \frac{5-x}{\sqrt{10x-x^2}}\end{aligned}

כלל השרשרת. בשני הקצוות המכנה $0$ והמונה לא: משיקים אנכיים ב- $x=0$ וב- $x=10$ .

ב. מקסימום

\begin{aligned}x &= 5 \\ \quad f(5) &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

$+ \to -$ : מקסימום $(5,\,5)$ .

ג. נקודה

\begin{aligned}f(2) &= \sqrt{16} \\ &= 4 \\ \quad f'(2) &= \frac{3}{4}\end{aligned}

הנקודה $(2,\,4)$ והשיפוע $\frac{3}{4}$ .

ג. משיק

\begin{aligned}y-4 &= \tfrac{3}{4}(x-2) \ \Rightarrow \ y \\ &= \tfrac{3}{4}x+\tfrac{5}{2}\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע.

ד.

\begin{aligned}f''(x) &= \frac{-\sqrt{g}-(5-x)\frac{g'}{2\sqrt{g}}}{g} \\ &= \frac{-g-(5-x)^2}{g\sqrt{g}} \\ \quad g &= 10x-x^2\end{aligned}

נגזרת של מנה, עם $g'=10-2x=2(5-x)$ .

ד. מסקנה

\begin{aligned}-g-(5-x)^2 &= -(10x-x^2)-(25-10x+x^2) \\ &= -25\end{aligned}

$f''(x)=\frac{-25}{g\sqrt{g}}<0$ לכל $0<x<10$ .

$y=\sqrt{10x-x^2}$ הוא חצי מעגל שמרכזו $(5,\,0)$ ורדיוסו $5$ . לכן יש לו שני משיקים אנכיים, והוא קעור כלפי מטה.

Do the activity on elev

בסעיף ג, האם הנקודה $(2,\,4)$ נמצאת בתחום שבו $f$ עולה?

Show the answer and the solution

כן. $f$ עולה ב- $0<x<5$ , ו- $2$ בתוך הקטע. זה מתאים לשיפוע החיובי $\frac{3}{4}$ . שיפוע שלילי היה מסמן טעות.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — «האם ייתכן?»: שיפוע גדול מדי

Interactive activity

משיק ששיפועו $2$ ?

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ . האם יש לגרף של $f$ משיק ששיפועו $2$ ? נמקו.

לא: השיפוע הגדול ביותר הוא $1$

כן, ב- $x=0$

כן, בשתי נקודות סימטריות

כן, קרוב לאסימפטוטה

מה צריך לחשב?

את $f'(x)$ , ולבדוק אם $f'(x)=2$ אפשרי

Show the answer and the solution

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת.

את $f(x)=2$

Show the answer and the solution

זה שואל על גובה $2$ , לא על שיפוע.

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} \\ &= \frac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}\end{aligned}

נגזרת של מנה.

מהו הערך הגדול ביותר של $f'$ ?

$1$ , ב- $x=0$

Show the answer and the solution

המכנה הכי קטן כש- $x^2=0$ .

אין ערך גדול ביותר

Show the answer and the solution

$x^2+1 \geq 1$ , ולכן המכנה $\geq 1$ .

(x^2+1)^{\frac{3}{2}} \geq 1 \ \Rightarrow \ 0<f'(x) \leq 1

כל שיפוע של משיק נמצא בין $0$ ל- $1$ .

אז?

$f'(x)=2$ בלתי אפשרי

Show the answer and the solution

$2>1$ .

אפשר, אם $x$ גדול מאוד

Show the answer and the solution

רחוק הגרף נצמד לאסימפטוטה: השיפוע שואף ל- $0$ .

2>1

אין משיק כזה.

Show the answer and the solution

אין משיק ששיפועו $2$ . השיפוע הגדול ביותר הוא $f'(0)=1$ , בנקודת הפיתול $(0,\,0)$ . «האם ייתכן?» נענה בחסם: מראים ש- $f'$ לא יכולה להגיע לערך.

Do the activity on elev

ולאיזה משיק של $f$ השיפוע הוא $\frac{1}{8}$ ?

Show the answer and the solution

$(x^2+1)^{\frac{3}{2}}=8$ , כלומר $x^2+1=4$ ו- $x=\pm\sqrt{3}$ . שני משיקים, בנקודות סימטריות: $f$ אי-זוגית, ולכן $f'$ זוגית.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x)=\frac{ax+12}{\sqrt{x^2+12}}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=2$ . השלימו.

$a=$ ____ ; הערך בנקודת הקיצון: ____ ; האסימפטוטה כש- $x \to -\infty$ : $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $a=$ 2 ; הערך בנקודת הקיצון: 4 ; האסימפטוטה כש- $x \to -\infty$ : $y=$ -2

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x^2+12)-x(ax+12)}{(x^2+12)\sqrt{x^2+12}} \\ &= \frac{12a-12x}{(x^2+12)\sqrt{x^2+12}}\end{aligned}

גוזרים עם $a$

\begin{aligned}12a-24 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 2\end{aligned}

מציבים $x=2$

\begin{aligned}f(2) &= \frac{16}{\sqrt{16}} \\ &= 4\end{aligned}

הערך

x \to -\infty: \ \frac{2x}{-x}=-2

משמאל $|x|=-x$

$a=2$ , מקסימום $(2,\,4)$ , ומשמאל $y=-2$ . מי שכתב $y=2$ גם משמאל השתמש ב- $\sqrt{x^2}=x$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x)=\sqrt{x^2+12}$ . מהן נקודות החיתוך של הגרף של $f$ עם הישר $y=2x$ ?

$(2,\,4)$ ו- $(-2,\,-4)$
אין נקודות חיתוך
$(-2,\,-4)$ בלבד
$(2,\,4)$ בלבד

Show the answer and the solution

Answer: D $(2,\,4)$ בלבד

Worked solution:

\begin{aligned}\sqrt{x^2+12} &= 2x \ \Rightarrow \ x^2+12 \\ &= 4x^2\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

\begin{aligned}3x^2 &= 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

שני מועמדים

\begin{aligned}x &= -2: \ 2x \\ &= -4<0\end{aligned}

נפסל: שורש אינו שלילי

\begin{aligned}x &= 2: \ \sqrt{16} \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

הנקודה $(2,\,4)$

הנכונה: $(2,\,4)$ בלבד. $(-2,\,-4)$ מתקבלת מהמשוואה $\sqrt{x^2+12}=-2x$ , לא מהמשוואה שלנו. הגרף של $f$ כולו מעל ציר ה- $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=\sqrt{ax-x^2}$ , כאשר $a>0$ . הישר $x=8$ משיק לגרף של $f$ . השלימו.

$a=$ ____ ; הערך המקסימלי: ____ ; $f''(4)=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $a=$ 8 ; הערך המקסימלי: 4 ; $f''(4)=$ -0.25

Worked solution:

\begin{aligned}8a-64 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 8\end{aligned}

המשיק האנכי בקצה

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4-x}{\sqrt{8x-x^2}} \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \ f(4) &= 4\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}f''(x) &= \frac{-(8x-x^2)-(4-x)^2}{(8x-x^2)^{\frac{3}{2}}} \\ &= \frac{-16}{(8x-x^2)^{\frac{3}{2}}}\end{aligned}

כמו בשאלה 3

\begin{aligned}f''(4) &= \frac{-16}{64} \\ &= -0.25\end{aligned}

$16^{\frac{3}{2}}=64$

$a=8$ , מקסימום $4$ ו- $f''(4)=-0.25$ . זה חצי מעגל ברדיוס $4$ . מי שמחפש את $a$ מ- $f'(8)=0$ מבלבל משיק אנכי עם משיק אופקי.

Check the answer on elev

Exercise 4

הוכיחו או הפריכו: לגרף של $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ יש משיק ששיפועו $1$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f'(x)=\frac{4}{(x^2+4)^{\frac{3}{2}}}

נגזרת

(x^2+4)^{\frac{3}{2}} \geq 8 \ \Rightarrow \ f'(x) \leq \frac{1}{2}

החסם, ב- $x=0$

1>\frac{1}{2}

לא ניתן

הטענה לא נכונה. השיפוע הגדול ביותר הוא $\frac{1}{2}$ . את «האם ייתכן» לא עונים בניסוי של נקודה אחת: מוצאים את הערך הגדול ביותר של $f'$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x)=\sqrt{x^2+3}$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך של הגרף עם הישר $y=3-x$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

x^2+3=9-6x+x^2

מעלים בחזקת 2

\begin{aligned}6x &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

ה- $x^2$ מתבטל

\begin{aligned}\sqrt{4} &= 2 \\ &= 3-1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

$x=1$ , והבדיקה עוברת. גם כשיש מועמד אחד, בודקים: עם $y=x-3$ אותו חישוב היה נותן $x=1$ , ושם $x-3=-2$ והוא נפסל.

Check the answer on elev

1 — פרמטר מנקודת קיצון, ושתי אסימפטוטות

2 — האם הישר חותך את הגרף?

3 — משיק אנכי, משיק רגיל וקעירות

4 — «האם ייתכן?»: שיפוע גדול מדי

Exercises

Keep practising on elev