Full study with a parameter · Functions with roots · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשאלת החקירה של הבגרות הפונקציה מגיעה כמעט תמיד עם פרמטר. נתון אחד קובע אותו: נקודה על הגרף, נקודת קיצון, שיפוע של משיק, או «אין אסימפטוטה». אחרי שמוצאים אותו, זו חקירה רגילה. הנה הגרף שנקבל בסוף הדוגמה.

y = x / √(x − 4)

אסימפטוטה אנכית

x=4

, מינימום

(8,\,4)

, ואחר כך עלייה בלי גבול. הישר

y=5

חותך את הגרף פעמיים.

לפי הגרף: כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=5$ ? ולמשוואה $f(x)=3$ ?

Show the answer and the solution

$f(x)=5$ : שני פתרונות, אחד משמאל למינימום ואחד מימינו. $f(x)=3$ : אין פתרון, כי $3$ קטן מהערך המינימלי $4$ .

חקירה מלאה עם פרמטר

Interactive activity

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-a}}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף של $f$ עובר בנקודה $(8,\,4)$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות. ג. מצאו את נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה. ד. פתרו את המשוואה $f(x)=5$ .

\begin{aligned}f(x) &= \frac{x}{\sqrt{x-a}} \\ \quad (8,\,4) \in f\end{aligned}

לחצו «להתחיל». סעיף א פותח את השאלה: בלי $a$ אין תחום ואין נגזרת.

א. הנקודה

\begin{aligned}\frac{8}{\sqrt{8-a}} &= 4 \ \Rightarrow \ \sqrt{8-a} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

מציבים, מבודדים את השורש ומעלים בחזקת 2.

ב. תחום

x-4>0 \ \Rightarrow \ x>4

השורש במכנה: אי-שוויון חזק.

ב. אנכית

x \to 4^{+}: \ \frac{4}{0^{+}} \to +\infty

המונה $4 \neq 0$ : אסימפטוטה אנכית $x=4$ .

ב. אופקית

\frac{x}{\sqrt{x-4}} \approx \sqrt{x} \to \infty

המונה גדל מהר יותר מהמכנה: אין אסימפטוטה אופקית.

ג. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x-4}-\frac{x}{2\sqrt{x-4}}}{x-4} \\ &= \frac{x-8}{2(x-4)\sqrt{x-4}}\end{aligned}

מנה, ומכנה משותף במונה: $2(x-4)-x=x-8$ .

ג. סימן

4<x<8: \ f'<0 \qquad x>8: \ f'>0

מינימום $(8,\,4)$ . יורדת ב- $4<x<8$ , עולה ב- $x>8$ .

ד. משוואה

\begin{aligned}x &= 5\sqrt{x-4} \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 25x-100 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \ x &= 20\end{aligned}

מעלים בחזקת 2. שני מועמדים.

ד. בדיקה

\begin{aligned}\frac{5}{\sqrt{1}} &= 5 \ \checkmark \qquad \frac{20}{\sqrt{16}} \\ &= 5 \ \checkmark\end{aligned}

שניהם בתחום, ושניהם מקיימים את המשוואה המקורית.

סעיף ד מתאים לגרף: $5$ גדול מהמינימום $4$ , ולכן שני פתרונות. אם הבדיקה הייתה פוסלת אחד מהם, זה היה סימן לטעות.

Do the activity on elev

באותה פונקציה, $f''(x)=\frac{16-x}{4(x-4)^{2}\sqrt{x-4}}$ . היכן $f$ קעורה כלפי מעלה, והיכן נקודת הפיתול?

Show the answer and the solution

המכנה חיובי בתחום. $f''>0$ כש- $4<x<16$ : קעורה כלפי מעלה ( $\cup$ ). $f''<0$ כש- $x>16$ : קעורה כלפי מטה ( $\cap$ ). פיתול ב- $x=16$ , אף שהגרף ממשיך לעלות.

פרמטר מנקודת קיצון

$f(x)=\frac{ax+3}{\sqrt{x^2+3}}$ עם קיצון ב- $x=1$

לפונקציה נקודת קיצון ב- $x=1$ . מצאו את $a$ ואת האסימפטוטות האופקיות.

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x^2+3)-x(ax+3)}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}} \\ &= \frac{3a-3x}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}}\end{aligned}

גוזרים עם $a$ . האיברים $ax^2$ מתבטלים

\begin{aligned}f'(1) &= 0 \ \Rightarrow \ 3a-3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת

x=1: \ + \to -

בדיקה: הסימן מתחלף, והנקודה היא באמת מקסימום

\begin{aligned}y &= 1 \ (x \to +\infty) \\ \quad y &= -1 \ (x \to -\infty)\end{aligned}

$\frac{x}{|x|}$

עם $a=1$ זו הפונקציה $\frac{x+3}{\sqrt{x^2+3}}$ , שהמקסימום שלה $(1,\,2)$ . כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=k$ כש- $1<k<2$ ? וכש- $k=1$ ?

Show the answer and the solution

$1<k<2$ : שניים, אחד בכל צד של המקסימום. $k=1$ : אחד בלבד, $x=-1$ . מימין הגרף רק מתקרב ל- $1$ ולא מגיע אליו.

אחרי שמוצאים פרמטר, מציבים ובודקים את הנתון. « $f'(1)=0$ » נותן רק נקודה חשודה. צריך לוודא שהסימן מתחלף, ושהנקודה בתחום.

שלוש טעויות בשאלה עם פרמטר.

\begin{aligned}\sqrt{8-a} &= 2 \ \Rightarrow \ 8-a \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}\sqrt{8-a} &= 2 \ \Rightarrow \ 8-a \\ &= 4\end{aligned}

שכחו להעלות בחזקת 2. בדיקה: עם $a=6$ מתקבל $\frac{8}{\sqrt{2}} \neq 4$ .

\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= x-4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 7\end{aligned}

x=7

$x+2=x^2-8x+16$ נותן $x=2$ ו- $x=7$ . אבל ב- $x=2$ אגף ימין הוא $-2$ , ושורש אינו שלילי: $x=2$ נפסל.

f(x)=k \ : \ k \geq 4

k>4

ב- $k=4$ הישר נוגע במינימום בנקודה אחת בלבד. «שני פתרונות» דורש $k$ גדול מהמינימום.

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-a}}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף של $f$ עובר בנקודה $(10,\,5)$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\frac{10}{\sqrt{10-a}}=5

מציבים את הנקודה

\begin{aligned}\sqrt{10-a} &= 2 \ \Rightarrow \ 10-a \\ &= 4\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

a=6

בדיקה: $\frac{10}{\sqrt{4}}=5$ ✓

$a=6$ . מי שכתב $a=8$ שכח להעלות בחזקת 2: $10-a=2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-9}}$ . השלימו.

אסימפטוטה אנכית: $x=$ ____ ; מינימום: $x=$ ____ , $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: אסימפטוטה אנכית: $x=$ 9 ; מינימום: $x=$ 18 , $y=$ 6

Worked solution:

x>9

תחום; המונה $9 \neq 0$ ב- $x=9$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-9)-x}{2(x-9)\sqrt{x-9}} \\ &= \frac{x-18}{2(x-9)\sqrt{x-9}}\end{aligned}

נגזרת

\begin{aligned}x &= 18: \ - \to + \\ \quad f(18) &= \frac{18}{3} \\ &= 6\end{aligned}

מינימום

$x=9$ ו- $(18,\,6)$ . המינימום של $\frac{x}{\sqrt{x-a}}$ תמיד ב- $x=2a$ . מי שמחפש מינימום ב- $x=9$ מחפש אותו על האסימפטוטה.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-9}}$ . פתרו את המשוואה $f(x)=10$ .

הפתרון הקטן: ____ , הפתרון הגדול: ____

Show the answer and the solution

Answer: הפתרון הקטן: 10 , הפתרון הגדול: 90

Worked solution:

\begin{aligned}x &= 10\sqrt{x-9} \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 100x-900\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

\begin{aligned}x^2-100x+900 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10 \\ \ x &= 90\end{aligned}

פותרים

\begin{aligned}\frac{10}{\sqrt{1}} &= 10 \ \checkmark \qquad \frac{90}{\sqrt{81}} \\ &= 10 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

$10$ ו- $90$ . $10$ גדול מהמינימום $6$ , ולכן שני פתרונות. גם כששניהם נכונים, הבדיקה חובה: רק היא אומרת את זה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה $f(x)=\frac{ax+2}{\sqrt{x^2+4}}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=2$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x^2+4)-x(ax+2)}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}} \\ &= \frac{4a-2x}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}\end{aligned}

גוזרים עם $a$

\begin{aligned}4a-4 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

מציבים $x=2$ במונה

x=2: \ + \to -

בדיקה: מקסימום

$a=1$ . אין צורך לפתור עם המכנה: הוא חיובי תמיד, ורק המונה יכול להתאפס.

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: נתונה $f(x)=\frac{ax+2}{\sqrt{x^2+4}}$ . אם $a=0$ , לגרף יש רק אסימפטוטה אופקית אחת.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}a &= 0: \ f(x) \\ &= \frac{2}{\sqrt{x^2+4}}\end{aligned}

מציבים

x \to \pm\infty: \ f(x) \to 0

המונה קבוע

הטענה נכונה. לכל $a \neq 0$ יש שתי אסימפטוטות, $y=a$ ו- $y=-a$ . כש- $a=0$ הן מתלכדות ל- $y=0$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה $f(x)=\sqrt{a-2x}+x$ , ו- $a$ פרמטר. הישר $x=3$ משיק לגרף של $f$ . מצאו את הערך המקסימלי של $f$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3.5

Worked solution:

\begin{aligned}a-2 \cdot 3 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

המשיק האנכי בקצה התחום

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-1}{\sqrt{6-2x}}+1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{6-2x} \\ &= 1\end{aligned}

נקודה חשודה

\begin{aligned}x &= 2.5 \\ \quad f(2.5) &= 1+2.5 \\ &= 3.5\end{aligned}

המקסימום

f(3)=3<3.5

בקצה: ערך קטן יותר

$3.5$ . שלב א: משיק אנכי מופיע בקצה התחום, שם מה שמתחת לשורש הוא $0$ . מי שמחפש $f'(3)=0$ מבלבל משיק אנכי עם משיק אופקי.

Check the answer on elev

Exercise 7

y = x / √(x − 4)

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-4}}$ , שהמינימום שלה $(8,\,4)$ . לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x)=k$ בדיוק שני פתרונות?

$0<k<4$
$k \geq 4$
$k>4$
$k>0$

Show the answer and the solution

Answer: C $k>4$

Worked solution:

4<x<8: \ +\infty \searrow 4

ענף שמאלי: יורד מהאסימפטוטה עד המינימום

x>8: \ 4 \nearrow \infty

ענף ימני: עולה בלי גבול

k>4: \ 1+1=2

פתרון אחד בכל ענף

הנכונה: $k>4$ . $k=4$ נותן פתרון אחד, המינימום. $0<k<4$ נותן אפס פתרונות: הגרף לא יורד מתחת ל- $4$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

בפתרון של המשוואה $\sqrt{x+5}=x-1$ שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\sqrt{x+5}=x-1

x+5=x^2+1

x^2-3x-4=0

\begin{aligned}x &= 4 \ \\ \ x &= -1\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $x+5=x^2+1$ → $x+5=x^2-2x+1$

Worked solution:

(x-1)^2=x^2-2x+1

נוסחת הכפל המקוצר

\begin{aligned}x^2-3x-4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \ x &= -1\end{aligned}

מכאן ההמשך נכון

\begin{aligned}x &= -1: \ \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2\end{aligned}

ובבדיקה $x=-1$ נפסל

השורה השנייה: $(x-1)^2 \neq x^2+1$ . ובסוף, אחרי התיקון, נשאר רק $x=4$ : בדיקה פוסלת את $x=-1$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה $f(x)=\frac{a}{\sqrt{x}}+x$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת מינימום ב- $x=4$ . השלימו.

$a=$ ____ , הערך המינימלי: ____

Show the answer and the solution

Answer: $a=$ 16 , הערך המינימלי: 12

Worked solution:

f'(x)=-\frac{a}{2}x^{-\frac{3}{2}}+1

נגזרת

\begin{aligned}f'(4) &= -\frac{a}{16}+1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 16\end{aligned}

$4^{\frac{3}{2}}=8$

\begin{aligned}f(4) &= \frac{16}{2}+4 \\ &= 12\end{aligned}

הערך

f''(x)=\frac{3a}{4}x^{-\frac{5}{2}}>0

בדיקה: מינימום

$a=16$ וערך מינימלי $12$ . הטעות הנפוצה: $4^{\frac{3}{2}}=6$ . נכון: $\left(\sqrt{4}\right)^3=8$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-4}}$ . מיינו את הטענות.

נכון
לא נכון

$(8,\,4)$ נקודת מינימום
$f$ עולה לכל $x>8$
$f$ קעורה כלפי מעלה ב- $4<x<16$
$x=4$ אסימפטוטה אנכית
הגרף חותך את ציר ה- $x$
לגרף יש אסימפטוטה אופקית

Show the answer and the solution

Answer: $x=4$ אסימפטוטה אנכית — נכון · $(8,\,4)$ נקודת מינימום — נכון · $f$ עולה לכל $x>8$ — נכון · $f$ קעורה כלפי מעלה ב- $4<x<16$ — נכון · לגרף יש אסימפטוטה אופקית — לא נכון · הגרף חותך את ציר ה- $x$ — לא נכון

Worked solution:

f'(x)=\frac{x-8}{2(x-4)\sqrt{x-4}}

נגזרת

f''(x)=\frac{16-x}{4(x-4)^{2}\sqrt{x-4}}

נגזרת שנייה

x>4 \ \Rightarrow \ f(x)>0

הגרף כולו מעל ציר ה- $x$

אין אסימפטוטה אופקית: $\frac{x}{\sqrt{x-4}}$ גדלה כמו $\sqrt{x}$ . ואין חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x=0$ מחוץ לתחום.

Check the answer on elev

חקירה מלאה עם פרמטר

פרמטר מנקודת קיצון

Exercises

Keep practising on elev