Vertical tangent and second derivative

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הגרף של f(x)=2x+4−xf(x)=2\sqrt{x+4}-x מתחיל בנקודה (−4, 4)(-4,\,4). הסתכלו איך הוא עוזב את הנקודה הזו: לא בשיפוע רגיל, אלא כמעט ישר למעלה.

y = 2√(x + 4) − x
x = −4(−3, 5)-4-3-2-101234567-1123456xy
בקצה x=−4x=-4 הגרף משיק לישר האנכי x=−4x=-4. אחר כך הוא מגיע למקסימום (−3, 5)(-3,\,5) ויורד.

f′(x)=1x+4−1f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x+4}}-1. חשבו את f′(−3.99)f'(-3.99) ואת f′(−3.9999)f'(-3.9999). מה המספרים אומרים?

Show the answer and the solution

f′(−3.99)=10.1−1=9f'(-3.99)=\frac{1}{0.1}-1=9 ו-f′(−3.9999)=10.01−1=99f'(-3.9999)=\frac{1}{0.01}-1=99. ככל שמתקרבים ל-−4-4 השיפוע גדל בלי גבול: המשיק נעשה אנכי.

מתי יש משיק אנכי

אם ff מוגדרת בקצה x=ax=a, והנגזרת שואפת שם ל-+∞+\infty או ל-−∞-\infty, הגרף משיק לישר האנכי x=ax=a. זה קורה בדרך כלל כשהשורש מופיע במכנה של f′f' ולא מצטמצם.

f(a) מוגדרת,∣f′(x)∣→x→a∞f(a) \ \text{מוגדרת} \quad , \quad |f'(x)| \xrightarrow[x \to a]{} \infty

שני התנאים יחד: הישר x=ax=a משיק אנכי.

x−2\sqrt{x-2}

f(2)=0f(2)=0 ו-f′=12x−2→∞f'=\frac{1}{2\sqrt{x-2}} \to \infty: משיק אנכי x=2x=2

(x−2)x−2(x-2)\sqrt{x-2}

f′=32x−2→0f'=\frac{3}{2}\sqrt{x-2} \to 0: הגרף יוצא שטוח, בלי משיק אנכי

1x−2\frac{1}{\sqrt{x-2}}

f(2)f(2) לא מוגדרת: זו אסימפטוטה, לא משיק

לאילו ישרים אנכיים משיק הגרף של f(x)=9−x2f(x)=\sqrt{9-x^2}?

Show the answer and the solution

התחום −3≤x≤3-3 \leq x \leq 3, ו-f′(x)=−x9−x2f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}. בשני הקצוות המונה ∓3≠0\mp 3 \neq 0 והמכנה 00. לכן הישרים x=−3x=-3 ו-x=3x=3 משיקים לגרף. זה חצי מעגל, ולקוטר שלו יש משיקים אנכיים בקצוות.

הנגזרת השנייה: לאיזה צד הגרף מתעקל

f′′(x)>0f''(x)>0

ff קעורה כלפי מעלה (∪\cup) בקטע

f′′(x)<0f''(x)<0

ff קעורה כלפי מטה (∩\cap) בקטע

f′′: +→− או −→+f'' : \ + \to - \ \text{או} \ - \to +

f′′f'' מחליפה סימן: נקודת פיתול, אם ff מוגדרת שם

לשורש יש נגזרת שנייה פשוטה: (x)′′=(12x−12)′=−14x−32<0\left(\sqrt{x}\right)''=\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)'=-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}<0. לכן x\sqrt{x} קעורה כלפי מטה בכל התחום. גם f(x)=2x+4−xf(x)=2\sqrt{x+4}-x: f′′(x)=−12(x+4)−32<0f''(x)=-\frac{1}{2}(x+4)^{-\frac{3}{2}}<0, ולכן אין לה נקודת פיתול.

פיתול ב-f(x)=xx2+1f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

מצאו את תחומי הקעירות ואת נקודת הפיתול.

f(x)=x(x2+1)−12f(x)=x(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}

כותבים כחזקה: קל יותר לגזור פעמיים

f′(x)=(x2+1)−12−x2(x2+1)−32=(x2+1)−32\begin{aligned}f'(x) &= (x^2+1)^{-\frac{1}{2}}-x^2(x^2+1)^{-\frac{3}{2}} \\ &= (x^2+1)^{-\frac{3}{2}}\end{aligned}

מכנה משותף: (x2+1)−x2=1(x^2+1)-x^2=1

f′′(x)=−32(x2+1)−52⋅2x=−3x(x2+1)2x2+1\begin{aligned}f''(x) &= -\frac{3}{2}(x^2+1)^{-\frac{5}{2}} \cdot 2x \\ &= \frac{-3x}{(x^2+1)^{2}\sqrt{x^2+1}}\end{aligned}

כלל השרשרת

x<0: f′′>0 (∪)x>0: f′′<0 (∩)x<0: \ f''>0 \ (\cup) \qquad x>0: \ f''<0 \ (\cap)

המכנה חיובי. הסימן של −3x-3x

(0, 0)(0,\,0)

הסימן מתחלף ו-f(0)=0f(0)=0: נקודת פיתול

ב-f(x)=(x−3)x+3f(x)=(x-3)\sqrt{x+3} הנגזרת היא f′(x)=3x+32x+3f'(x)=\frac{3x+3}{2\sqrt{x+3}}. האם גם שם יש משיק אנכי ב-x=−3x=-3?

Show the answer and the solution

כן. ב-x=−3x=-3 המונה הוא −6≠0-6 \neq 0, והמכנה 00. משיק אנכי נעלם רק כשגם המונה של f′f' מתאפס בקצה, כמו ב-(x+3)x+3(x+3)\sqrt{x+3}.

שלוש טעויות במשיק אנכי ובנגזרת השנייה.

y=1x−2 : x=2 משיק\begin{aligned}y &= \frac{1}{\sqrt{x-2}} \ : \ x \\ &= 2 \ \text{משיק}\end{aligned}
x=2 אסימפטוטהx=2 \ \text{אסימפטוטה}

ב-x=2x=2 הפונקציה לא מוגדרת. אין נקודה שבה ישר יכול להשיק. זו אסימפטוטה.

(x−12)′=−12x12\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)'=-\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}
(x−12)′=−12x−32\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)'=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}

מורידים 11 מהחזקה: −12−1=−32-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}. הטעות הזו הופכת את כל הסימן של f′′f''.

f′′(0)=0 ⇒ פיתולf''(0)=0 \ \Rightarrow \ \text{פיתול}
f′′: +→− או −→+f'' : \ + \to - \ \text{או} \ - \to +

ב-x2+4\sqrt{x^2+4}: f′′(x)=4(x2+4)x2+4>0f''(x)=\frac{4}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}>0 תמיד. אבל גם כש-f′′f'' מתאפסת, צריך לבדוק שהסימן מתחלף.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=6−2x+xf(x)=\sqrt{6-2x}+x. באיזה ישר אנכי הגרף משיק?

  1. x=2.5x=2.5
  2. x=3x=3
  3. x=0x=0
  4. אין משיק אנכי
Show the answer and the solution

Answer: B x=3x=3

Worked solution:

6−2x≥0 ⇒ x≤36-2x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 3

תחום; f(3)=3f(3)=3 מוגדרת

f′(x)=−16−2x+1f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{6-2x}}+1

כלל השרשרת

x→3−: f′(x)→−∞x \to 3^{-}: \ f'(x) \to -\infty

משיק אנכי x=3x=3

הנכונה: x=3x=3. ב-x=2.5x=2.5 מתקיים f′=0f'=0: שם יש מקסימום ומשיק אופקי. אל תבלבלו בין השניים.

Check the answer on elev

Exercise 2

הוכיחו או הפריכו: הישר x=−1x=-1 משיק לגרף של f(x)=(x+1)x+1f(x)=(x+1)\sqrt{x+1}.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(x)=(x+1)32f(x)=(x+1)^{\frac{3}{2}}

חזקה

f′(x)=32(x+1)12→0f'(x)=\frac{3}{2}(x+1)^{\frac{1}{2}} \to 0

השיפוע שואף ל-00

הטענה לא נכונה. הגרף יוצא מ-(−1, 0)(-1,\,0) שטוח, והמשיק שם הוא y=0y=0. הגורם x+1x+1 מבטל את השורש שבמכנה של f′f'.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=4xf(x)=4\sqrt{x}. חשבו את f′′(4)f''(4).

Show the answer and the solution

Answer: -0.125

Worked solution:

f′(x)=2x−12f'(x)=2x^{-\frac{1}{2}}

נגזרת ראשונה

f′′(x)=−x−32f''(x)=-x^{-\frac{3}{2}}

נגזרת שנייה

f′′(4)=−18=−0.125\begin{aligned}f''(4) &= -\frac{1}{8} \\ &= -0.125\end{aligned}

432=84^{\frac{3}{2}}=8

−0.125-0.125. הסימן השלילי אומר שהגרף קעור כלפי מטה. מי שקיבל −12-\frac{1}{2} חישב 4124^{\frac{1}{2}} במקום 4324^{\frac{3}{2}}.

Check the answer on elev

Exercise 4

מה נכון לגבי הקעירות של f(x)=x+5f(x)=\sqrt{x+5}?

  1. קעורה כלפי מעלה ב-x<0x<0 וכלפי מטה ב-x>0x>0
  2. יש נקודת פיתול ב-x=−5x=-5
  3. קעורה כלפי מטה (∩\cap) בכל x>−5x>-5
  4. קעורה כלפי מעלה (∪\cup) בכל x>−5x>-5
Show the answer and the solution

Answer: C קעורה כלפי מטה (∩\cap) בכל x>−5x>-5

Worked solution:

f′(x)=12(x+5)−12f'(x)=\frac{1}{2}(x+5)^{-\frac{1}{2}}

נגזרת ראשונה

f′′(x)=−14(x+5)−32<0f''(x)=-\frac{1}{4}(x+5)^{-\frac{3}{2}}<0

שלילית בכל התחום

הנכונה: קעורה כלפי מטה. x=−5x=-5 הוא קצה התחום, ושם אין «צד שמאל». נקודת פיתול דורשת החלפת סימן בתוך התחום.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=xx2+4f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}. מצאו את נקודת הפיתול ואת שיפוע המשיק בה.

נקודת הפיתול: x=x= ____ , y=y= ____ ; שיפוע המשיק שם: ____

Show the answer and the solution

Answer: נקודת הפיתול: x=x= 0 , y=y= 0 ; שיפוע המשיק שם: 0.5

Worked solution:

f′(x)=(x2+4)−x2(x2+4)x2+4=4(x2+4)32\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x^2+4)-x^2}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}} \\ &= \frac{4}{(x^2+4)^{\frac{3}{2}}}\end{aligned}

נגזרת ראשונה

f′′(x)=4⋅(−32)(x2+4)−52⋅2x=−12x(x2+4)52\begin{aligned}f''(x) &= 4 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)(x^2+4)^{-\frac{5}{2}} \cdot 2x \\ &= \frac{-12x}{(x^2+4)^{\frac{5}{2}}}\end{aligned}

נגזרת שנייה

x=0: +→−x=0: \ + \to -

הסימן מתחלף: פיתול (0, 0)(0,\,0)

f′(0)=48=0.5\begin{aligned}f'(0) &= \frac{4}{8} \\ &= 0.5\end{aligned}

השיפוע

(0, 0)(0,\,0) ושיפוע 0.50.5. בנקודת הפיתול הזו השיפוע הוא הגדול ביותר: f′f' עולה עד x=0x=0 ויורדת אחריו.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=x2−9f(x)=\sqrt{x^2-9}. לכמה ישרים אנכיים הגרף של ff משיק?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x2−9≥0 ⇒ x≤−3 או x≥3x^2-9 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq -3 \ \text{או} \ x \geq 3

תחום

f′(x)=xx2−9f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}

נגזרת

x→3+: 30+→∞x→−3−: −30+→−∞x \to 3^{+}: \ \frac{3}{0^{+}} \to \infty \qquad x \to -3^{-}: \ \frac{-3}{0^{+}} \to -\infty

בשני הקצוות

שני ישרים, x=−3x=-3 ו-x=3x=3. בשני הקצוות f=0f=0 מוגדרת והשיפוע אינסופי. מי שענה 11 שכח את הענף השמאלי.

Check the answer on elev

Exercise 7

מיינו: לאילו פונקציות יש משיק אנכי בקצה השמאלי של התחום?

  • יש משיק אנכי
  • אין משיק אנכי
  • (x−1)x−1(x-1)\sqrt{x-1}
  • (x−1)2x−1(x-1)^2\sqrt{x-1}
  • x−1+x\sqrt{x-1}+x
  • x−1\sqrt{x-1}
  • xx−1x\sqrt{x-1}
Show the answer and the solution

Answer: x−1\sqrt{x-1} — יש משיק אנכי · xx−1x\sqrt{x-1} — יש משיק אנכי · x−1+x\sqrt{x-1}+x — יש משיק אנכי · (x−1)x−1(x-1)\sqrt{x-1} — אין משיק אנכי · (x−1)2x−1(x-1)^2\sqrt{x-1} — אין משיק אנכי

Worked solution:

(xx−1)′=3x−22x−1→10+\left(x\sqrt{x-1}\right)'=\frac{3x-2}{2\sqrt{x-1}} \to \frac{1}{0^{+}}

המונה 1≠01 \neq 0

((x−1)x−1)′=32x−1→0\left((x-1)\sqrt{x-1}\right)'=\frac{3}{2}\sqrt{x-1} \to 0

יוצא שטוח

((x−1)52)′=52(x−1)32→0\left((x-1)^{\frac{5}{2}}\right)'=\frac{5}{2}(x-1)^{\frac{3}{2}} \to 0

גם כן שטוח

השאלה היא מה קורה למונה של f′f' בקצה. אם הוא 00 כי ff מכילה את הגורם x−1x-1, השורש נעלם מהמכנה ואין משיק אנכי.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה f(x)=x+4−xf(x)=\sqrt{x}+\sqrt{4-x} בתחום 0≤x≤40 \leq x \leq 4. מה נכון?

  1. ff קעורה כלפי מטה, ואין לה משיקים אנכיים
  2. יש ל-ff נקודת פיתול ב-x=2x=2
  3. ff קעורה כלפי מעלה בכל 0<x<40<x<4
  4. ff קעורה כלפי מטה בכל 0<x<40<x<4, ויש לה משיקים אנכיים ב-x=0x=0 וב-x=4x=4
Show the answer and the solution

Answer: D ff קעורה כלפי מטה בכל 0<x<40<x<4, ויש לה משיקים אנכיים ב-x=0x=0 וב-x=4x=4

Worked solution:

f′(x)=12x−124−xf'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}

נגזרת ראשונה

f′′(x)=−14x−32−14(4−x)−32<0f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{4}(4-x)^{-\frac{3}{2}}<0

שני מחוברים שליליים

x→0+: f′→+∞x→4−: f′→−∞x \to 0^{+}: \ f' \to +\infty \qquad x \to 4^{-}: \ f' \to -\infty

בשני הקצוות

הנכונה: קעורה כלפי מטה, ושני משיקים אנכיים. ב-x=2x=2 יש מקסימום (f′=0f'=0), לא פיתול: f′′(2)<0f''(2)<0.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה f(x)=xx2+af(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}, כאשר a>0a>0. המשיק לגרף בנקודת הפיתול של ff מקביל לישר y=13xy=\frac{1}{3}x. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

f′(x)=a(x2+a)32f'(x)=\frac{a}{(x^2+a)^{\frac{3}{2}}}

מכנה משותף: (x2+a)−x2=a(x^2+a)-x^2=a

f′′(x)=−3ax(x2+a)52f''(x)=\frac{-3ax}{(x^2+a)^{\frac{5}{2}}}

פיתול ב-x=0x=0

f′(0)=aa32=1a=13\begin{aligned}f'(0) &= \frac{a}{a^{\frac{3}{2}}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

משיק מקביל: שיפוע שווה

a=3 ⇒ a=9\begin{aligned}\sqrt{a} &= 3 \ \Rightarrow \ a \\ &= 9\end{aligned}

פותרים

a=9a=9. מי שכתב a=3a=3 שכח שבסוף מתקבל 1a\frac{1}{\sqrt{a}}, ולכן צריך להעלות בחזקת 2.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=4x+1−xf(x)=4\sqrt{x+1}-x. השלימו.

מקסימום: x=x= ____ , y=y= ____ ; f′′(3)=f''(3)= ____

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: x=x= 3 , y=y= 5 ; f′′(3)=f''(3)= -0.125

Worked solution:

f′(x)=2x+1−1=0 ⇒ x+1=2 ⇒ x=3\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2}{\sqrt{x+1}}-1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x+1} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

נקודה חשודה

f(3)=4⋅2−3=5\begin{aligned}f(3) &= 4 \cdot 2-3 \\ &= 5\end{aligned}

הגובה

f′′(x)=−(x+1)−32 ⇒ f′′(3)=−18\begin{aligned}f''(x) &= -(x+1)^{-\frac{3}{2}} \ \Rightarrow \ f''(3) \\ &= -\frac{1}{8}\end{aligned}

נגזרת שנייה

f′′(3)<0f''(3)<0

מאשר: מקסימום

(3, 5)(3,\,5) ו-f′′(3)=−0.125f''(3)=-0.125. f′′<0f''<0 בנקודה שבה f′=0f'=0 אומר מקסימום, בלי טבלת סימנים. ובקצה x=−1x=-1 יש משיק אנכי, כי f′→∞f' \to \infty.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade