Two different horizontal asymptotes · Functions with roots · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בפונקציה רציונלית יש לכל היותר אסימפטוטה אופקית אחת: אותו ישר מימין ומשמאל. עם שורש זה משתנה. הנה הגרף של $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ . הסתכלו על שני הקצוות שלו.

y = x / √(x² + 1)

מימין הגרף נצמד ל-

y=1

, ומשמאל ל-

y=-1

. שתי אסימפטוטות אופקיות שונות לאותה פונקציה.

לפי הגרף: האם $f(x)$ מקבלת אי פעם את הערך $1$ ? ולמה?

Show the answer and the solution

לא. לכל $x$ מתקיים $\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=|x|$ . לכן המונה $x$ קטן בערכו המוחלט מהמכנה, ו- $-1<f(x)<1$ .

המפתח: $\sqrt{x^2}=|x|$

כש- $x$ רחוק מאוד מ- $0$ , בתוך $\sqrt{x^2+1}$ ה- $1$ כמעט לא משנה, ו- $\sqrt{x^2+1} \approx \sqrt{x^2}=|x|$ . אבל $|x|$ תלוי בכיוון: מימין הוא $x$ , ומשמאל הוא $-x$ .

\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}

x \to +\infty: \ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \approx \frac{x}{x}=1

$|x|=x$ : האסימפטוטה $y=1$

x \to -\infty: \ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \approx \frac{x}{-x}=-1

$|x|=-x$ : האסימפטוטה $y=-1$

מהן האסימפטוטות האופקיות של $f(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{x^2+3}}$ ?

Show the answer and the solution

רחוק מ- $0$ : $\frac{2x}{|x|}$ . מימין $y=2$ , ומשמאל $y=-2$ . ה- $-1$ וה- $3$ לא משנים את הגבול.

ארבע צורות שכדאי להכיר

\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

$y=1$ מימין, $y=-1$ משמאל

\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}

גם כאן $y=1$ ו- $y=-1$ , ובנוסף אסימפטוטה אנכית $x=0$

\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}

$y=0$ בשני הכיוונים: המונה קבוע

\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}

אין אסימפטוטה אופקית: המונה גדל כמו $x^2$ , המכנה רק כמו $|x|$

חקירה מלאה של $f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+3}}$

מצאו תחום, אסימפטוטות, נקודות קיצון, והאם הגרף חוצה את האסימפטוטה האופקית הימנית.

x^2+3>0

תחום: כל $x$ . אין אסימפטוטה אנכית

\begin{aligned}x \to +\infty: \ y &= 1 \qquad x \to -\infty: \ y \\ &= -1\end{aligned}

$\frac{x}{|x|}$ בכל כיוון

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x^2+3}-(x+3)\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}}{x^2+3} \\ &= \frac{3-3x}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}}\end{aligned}

נגזרת של מנה, ומכנה משותף במונה

\begin{aligned}3-3x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \quad f(1) &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

המכנה חיובי. הסימן של $f'$ הוא הסימן של $3-3x$

\begin{aligned}x+3 &= \sqrt{x^2+3} \ \Rightarrow \ x^2+6x+9 \\ &= x^2+3 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1\end{aligned}

חוצה את $y=1$ ? פותרים $f(x)=1$

\begin{aligned}x &= -1: \ \frac{2}{\sqrt{4}} \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: הגרף חוצה את $y=1$ בנקודה $(-1,\,1)$

היעזרו בטבלה ובאסימפטוטות. כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=1.5$ ? ולמשוואה $f(x)=-1$ ?

Show the answer and the solution

$f(x)=1.5$ : שני פתרונות, אחד בעלייה ( $x<1$ ) ואחד בירידה ( $x>1$ ), כי מימין הגרף יורד רק עד $1$ . $f(x)=-1$ : אין פתרון. $-1$ הוא האסימפטוטה השמאלית, והגרף רק מתקרב אליה.

אסימפטוטה אופקית מתארת מה קורה רחוק. באמצע הגרף מותר לחצות אותה: ראינו ש- $f$ חוצה את $y=1$ ב- $x=-1$ . כדי לבדוק, פותרים $f(x)=k$ , וזו משוואה אי-רציונלית: מבודדים, מעלים בחזקת 2, ובודקים.

שלוש טעויות באסימפטוטות אופקיות.

\sqrt{x^2}=x

\sqrt{x^2}=|x|

ב- $x=-3$ : $\sqrt{9}=3$ , לא $-3$ . שורש אינו שלילי לעולם.

x \to -\infty: \ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \to 1

x \to -\infty: \ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \to -1

משמאל המונה שלילי והמכנה חיובי. שבר כזה לא מתקרב למספר חיובי.

\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} \to 1

\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} \to \infty

«אותה חזקה למעלה ולמטה» מטעה כאן. השורש מוריד את החזקה: $\sqrt{x^2}$ הוא בחזקה ראשונה.

Exercises

Exercise 1

מהן האסימפטוטות האופקיות של $f(x)=\frac{3x}{\sqrt{x^2+4}}$ ?

$y=3$ כש- $x \to +\infty$ , ו- $y=-3$ כש- $x \to -\infty$
$y=\frac{3}{2}$ ו- $y=-\frac{3}{2}$
$y=0$ בשני הכיוונים
$y=3$ בשני הכיוונים

Show the answer and the solution

Answer: A $y=3$ כש- $x \to +\infty$ , ו- $y=-3$ כש- $x \to -\infty$

Worked solution:

\sqrt{x^2+4} \approx |x|

רחוק מ- $0$

\frac{3x}{|x|} \to 3 \ (x \to +\infty) ,\quad \to -3 \ (x \to -\infty)

לפי הכיוון

הנכונה: $y=3$ ו- $y=-3$ . « $y=3$ בשני הכיוונים» הוא הכלל של פונקציה רציונלית. כאן $\sqrt{x^2}=|x|$ הופך את הסימן משמאל.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x)=\frac{4x+1}{\sqrt{x^2+5}}$ . מהי האסימפטוטה האופקית של הגרף כש- $x \to -\infty$ ? כתבו את ערך ה- $y$ .

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

x<0: \ \sqrt{x^2+5} \approx |x|=-x

משמאל

\frac{4x}{-x}=-4

הגבול

$y=-4$ . מי שכתב $4$ לקח את הכיוון הימני. מי שכתב $\frac{4}{\sqrt{5}}$ הציב $x=1$ במקום לחשוב על $x$ רחוק.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x-2}$ . השלימו את האסימפטוטות האופקיות.

כש- $x \to +\infty$ : $y=$ ____ , כש- $x \to -\infty$ : $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: כש- $x \to +\infty$ : $y=$ 2 , כש- $x \to -\infty$ : $y=$ -2

Worked solution:

\sqrt{4x^2+1} \approx \sqrt{4x^2}=2|x|

המונה, רחוק מ- $0$

x \to +\infty: \ \frac{2x}{x}=2

מימין

x \to -\infty: \ \frac{-2x}{x}=-2

משמאל

$\sqrt{4x^2}=2|x|$ ולא $4|x|$ : השורש חל גם על ה- $4$ . והפעם השורש במונה: משמאל המונה חיובי והמכנה שלילי, ולכן $-2$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

הוכיחו או הפריכו: לגרף של $f(x)=\frac{5}{\sqrt{x^2+9}}$ יש שתי אסימפטוטות אופקיות שונות.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x \to \pm\infty: \ \sqrt{x^2+9} \to \infty

המכנה גדל בלי גבול

\frac{5}{\sqrt{x^2+9}} \to 0

בשני הכיוונים

הטענה לא נכונה. יש אסימפטוטה אחת, $y=0$ . אסימפטוטות שונות מופיעות רק כשיש $x$ במונה מול $\sqrt{x^2}$ במכנה, והסימן של $x$ נשאר.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ . פתרו את המשוואה $f(x)=0.6$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

x=0.6\sqrt{x^2+1}

כופלים במכנה

\begin{aligned}x^2 &= 0.36x^2+0.36 \ \Rightarrow \ 0.64x^2 \\ &= 0.36\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

\begin{aligned}x &= 0.75 \ \text{או} \ x \\ &= -0.75\end{aligned}

שני מועמדים

x=-0.75: \ f<0 \neq 0.6

נפסל: אגף שמאל $x$ חייב להיות חיובי

$x=0.75$ בלבד. ההעלאה בחזקת 2 הוסיפה את $-0.75$ : שם $f(-0.75)=-0.6$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

לאיזו פונקציה יש אסימפטוטה $y=2$ כש- $x \to +\infty$ ו- $y=-2$ כש- $x \to -\infty$ ?

$\sqrt{4x^2+1}$
$\frac{2x+1}{x+3}$
$\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$
$\frac{2x^2}{x^2+1}$

Show the answer and the solution

Answer: C $\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$

Worked solution:

\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}} \approx \frac{2x}{|x|}

הסימן מתהפך משמאל

\frac{2x^2}{x^2+1} \to 2 ,\quad \frac{2x+1}{x+3} \to 2

רציונליות: אותו ישר בשני הכיוונים

\sqrt{4x^2+1} \to \infty

אין אסימפטוטה אופקית

הנכונה: $\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$ . שתי הרציונליות נותנות $y=2$ בשני הכיוונים.

Check the answer on elev

Exercise 7

מיינו את הפונקציות לפי האסימפטוטות האופקיות שלהן.

שתי אסימפטוטות שונות
אותה אסימפטוטה בשני הכיוונים

$\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}$
$\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$\dfrac{3x}{x+1}$
$\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2+1}}$
$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}$
$\dfrac{x}{x^2+1}$

Show the answer and the solution

Answer: $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}$ — שתי אסימפטוטות שונות · $\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2+1}}$ — שתי אסימפטוטות שונות · $\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ — שתי אסימפטוטות שונות · $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ — אותה אסימפטוטה בשני הכיוונים · $\dfrac{x}{x^2+1}$ — אותה אסימפטוטה בשני הכיוונים · $\dfrac{3x}{x+1}$ — אותה אסימפטוטה בשני הכיוונים

Worked solution:

\frac{x-1}{\sqrt{x^2+1}} \to \pm 1

$x$ במונה מול $|x|$

\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \approx \frac{|x|}{x}=\pm 1

גם כשהשורש במונה

\frac{x}{x^2+1} \to 0 ,\quad \frac{3x}{x+1} \to 3

בלי שורש: ישר אחד

החוק: $|x|$ מול $x$ נותן שני ישרים. בלי שורש, או כשהשבר כולו שואף ל- $0$ , יש ישר אחד.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה $f(x)=\frac{ax+1}{\sqrt{x^2+3}}$ , ו- $a$ פרמטר. האסימפטוטה האופקית של הגרף כש- $x \to -\infty$ היא $y=-2$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x \to -\infty: \ \frac{ax}{-x}=-a

משמאל $|x|=-x$

\begin{aligned}-a &= -2 \ \Rightarrow \ a \\ &= 2\end{aligned}

משווים

x \to +\infty: \ y=2

בדיקה: מימין האסימפטוטה $y=2$

$a=2$ . מי שכתב $a=-2$ השתמש ב- $\sqrt{x^2}=x$ גם משמאל.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה $f(x)=\frac{x+9}{\sqrt{x^2+27}}$ . מצאו את נקודת המקסימום, ואת הנקודה שבה הגרף חוצה את האסימפטוטה $y=1$ .

מקסימום: $x=$ ____ , $y=$ ____ ; הגרף חוצה את $y=1$ ב- $x=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: $x=$ 3 , $y=$ 2 ; הגרף חוצה את $y=1$ ב- $x=$ -3

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x^2+27)-x(x+9)}{(x^2+27)\sqrt{x^2+27}} \\ &= \frac{27-9x}{(x^2+27)\sqrt{x^2+27}}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}x &= 3: \ + \to - \\ \quad f(3) &= \frac{12}{6} \\ &= 2\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}x+9 &= \sqrt{x^2+27} \ \Rightarrow \ 18x+81 \\ &= 27 \ \Rightarrow \ x \\ &= -3\end{aligned}

$f(x)=1$

\begin{aligned}x &= -3: \ \frac{6}{\sqrt{36}} \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

$(3,\,2)$ ו- $x=-3$ . אסימפטוטה אופקית איננה «קיר»: באמצע הגרף מותר לחצות אותה. מה שלא קורה הוא רק ההתקרבות רחוק.

Check the answer on elev

Exercise 10

מהו תחום הערכים (הטווח) של $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ ?

$-1 \leq y \leq 1$
כל $y$
$-1<y<1$
$y>0$

Show the answer and the solution

Answer: C $-1<y<1$

Worked solution:

|x|<\sqrt{x^2+1}

המכנה גדול בערכו המוחלט מהמונה

-1<f(x)<1

לכן

f'(x)=\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}>0

$f$ עולה, ומתקרבת ל- $\pm 1$ רחוק

הנכונה: $-1<y<1$ . הערכים $\pm 1$ הם אסימפטוטות: הגרף מתקרב אליהם ולא מגיע. מי שבחר $\leq$ הכניס אותם.

Check the answer on elev

המפתח: x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|x2​=∣x∣

ארבע צורות שכדאי להכיר

Exercises

Keep practising on elev

המפתח: $\sqrt{x^2}=|x|$