Domain and vertical asymptote

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שתי פונקציות, ובשתיהן אותו שורש: f(x)=x−2f(x)=\sqrt{x-2} ו-g(x)=1x−2g(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}. לשתיהן אין אף נקודה משמאל ל-x=2x=2. אבל ליד x=2x=2 הן מתנהגות הפוך לגמרי. הסתכלו על הגרף לפני כל כלל.

שני גרפים ליד x = 2
x = 2fg1234567801234xy
הגרף של ff מתחיל בנקודה (2,0)(2,0). הגרף של gg לא נוגע בישר x=2x=2: הוא עולה לאורכו בלי גבול.

לפי הגרף: מה קורה ל-g(x)g(x) כש-xx מתקרב ל-22 מימין? ולמה זה לא קורה ל-f(x)f(x)?

Show the answer and the solution

g(x)g(x) גדלה בלי גבול: המכנה x−2\sqrt{x-2} מתקרב ל-00, והמונה נשאר 11. ב-ff השורש נמצא במונה, ולכן f(x)f(x) מתקרבת ל-00 ו-f(2)=0f(2)=0 מוגדר. אותו שורש: בפעם אחת קצה תחום, ובפעם אחרת אסימפטוטה.

תחום ההגדרה של מנה עם שורש

שני תנאים, ושניהם בבת אחת: מה שמתחת לשורש אי-שלילי, והמכנה אינו 00. כששורש נמצא במכנה, שני התנאים מתאחדים לאי-שוויון חזק.

x2−4x : x≤0 או x≥4\sqrt{x^2-4x} \ : \ x \leq 0 \ \text{או} \ x \geq 4

פרבולה מתחת לשורש: שיטת הקטעים

19−x2 : −3<x<3\frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \ : \ -3<x<3

השורש במכנה: אסור 00, ולכן הקצוות לא נכללים

xx2−4 : x<−2 או x>2\frac{x}{\sqrt{x^2-4}} \ : \ x<-2 \ \text{או} \ x>2

שני קטעים פתוחים

x−1x−3 : x≥1, x≠3\frac{\sqrt{x-1}}{x-3} \ : \ x \geq 1 ,\ x \neq 3

השורש במונה: x=1x=1 נכלל; המכנה מוציא את x=3x=3

x+1x−2 : x≤−1 או x>2\sqrt{\frac{x+1}{x-2}} \ : \ x \leq -1 \ \text{או} \ x>2

מנה מתחת לשורש: סימן המנה בטבלה, ו-x=2x=2 יוצא

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x6−xf(x)=\frac{x}{\sqrt{6-x}}?

Show the answer and the solution

השורש במכנה: 6−x>06-x>0, כלומר x<6x<6. המונה xx לא מגביל דבר. שימו לב: x=6x=6 לא בתחום, כי שם המכנה 00.

קצה של התחום, או אסימפטוטה אנכית?

בודקים כל נקודה x=ax=a שבה המכנה מתאפס. אם המונה שואף שם למספר שונה מ-00, השבר גדל בערכו המוחלט בלי גבול, ו-x=ax=a היא אסימפטוטה אנכית. הקצה של שורש במונה איננו אסימפטוטה: שם יש לפונקציה ערך.

f(x)=xx2−4 ⟹ x=−2 x=2\begin{aligned}f(x) &= \frac{x}{\sqrt{x^2-4}} \ \Longrightarrow \ x \\ &= -2 \\ \ x &= 2\end{aligned}

המכנה מתאפס ב-x=±2x=\pm 2, והמונה נותן שם ±2≠0\pm 2 \neq 0: שתי אסימפטוטות אנכיות.

f(x)=xx2−4f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}: תחום, אסימפטוטות וחיתוך עם הצירים

מצאו את תחום ההגדרה, את האסימפטוטות האנכיות ואת הכיוון של הגרף לידן, ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

x2−4>0 ⇒ x<−2 או x>2x^2-4>0 \ \Rightarrow \ x<-2 \ \text{או} \ x>2

תחום: השורש במכנה, ולכן אי-שוויון חזק

x→2+: 20+→+∞x \to 2^{+}: \ \frac{2}{0^{+}} \to +\infty

המכנה חיובי תמיד. הסימן בא מהמונה

x→−2−: −20+→−∞x \to -2^{-}: \ \frac{-2}{0^{+}} \to -\infty

משמאל ל-−2-2 המונה שלילי

x=0∉Dx=0 \notin D

x=0x=0 מחוץ לתחום: אין חיתוך עם ציר ה-yy, ו-f(x)=0f(x)=0 רק ב-x=0x=0, ולכן גם אין חיתוך עם ציר ה-xx

מהי האסימפטוטה האנכית של f(x)=x+1x+3f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x+3}}, ולאן הגרף הולך לידה?

Show the answer and the solution

התחום x>−3x>-3. ב-x=−3x=-3 המונה הוא −2≠0-2 \neq 0, ולכן x=−3x=-3 אסימפטוטה אנכית. המכנה חיובי והמונה שלילי: f(x)→−∞f(x) \to -\infty כש-x→−3+x \to -3^{+}.

הכיוון ליד אסימפטוטה בא מהסימן של המונה. בפרק הזה המכנה הוא שורש, ולכן הוא תמיד חיובי. לא צריך טבלת סימנים שלמה: מציבים את aa במונה ומסתכלים על הסימן.

שלוש טעויות בתחום ובאסימפטוטות.

x−3x−3 : x=3 אסימפטוטה\frac{x-3}{\sqrt{x-3}} \ : \ x=3 \ \text{אסימפטוטה}
x−3x−3=x−3→0\frac{x-3}{\sqrt{x-3}}=\sqrt{x-3} \to 0

גם המונה מתאפס ב-x=3x=3. אחרי צמצום נשאר x−3\sqrt{x-3}, והגרף מתקרב ל-00. אין אסימפטוטה.

19−x2 : −3≤x≤3\frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \ : \ -3 \leq x \leq 3
−3<x<3-3<x<3

ב-x=±3x=\pm 3 המכנה הוא 00. שורש במכנה דורש אי-שוויון חזק.

x+1x−2 : x≤−1 או x≥2\sqrt{\frac{x+1}{x-2}} \ : \ x \leq -1 \ \text{או} \ x \geq 2
x≤−1 או x>2x \leq -1 \ \text{או} \ x>2

גם כשהמנה נמצאת מתחת לשורש, x−2x-2 הוא מכנה. x=2x=2 אסור.

Exercises

Exercise 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=xx2−9f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}?

  1. x≤−3x \leq -3 או x≥3x \geq 3
  2. x<−3x<-3 או x>3x>3
  3. x>3x>3
  4. −3<x<3-3<x<3
Show the answer and the solution

Answer: B x<−3x<-3 או x>3x>3

Worked solution:

x2−9>0x^2-9>0

השורש במכנה: חיובי ממש

(x−3)(x+3)>0 ⇒ x<−3 או x>3(x-3)(x+3)>0 \ \Rightarrow \ x<-3 \ \text{או} \ x>3

מחוץ לשורשים

הנכונה: x<−3x<-3 או x>3x>3. מי שבחר ≤\leq ו-≥\geq שכח שהשורש במכנה: ב-x=±3x=\pm 3 מחלקים ב-00.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x−1x+4f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+4}}?

  1. x≥1x \geq 1
  2. −4<x≤1-4<x \leq 1
  3. x≤−4x \leq -4 או x≥1x \geq 1
  4. x<−4x<-4 או x≥1x \geq 1
Show the answer and the solution

Answer: D x<−4x<-4 או x≥1x \geq 1

Worked solution:

x−1x+4≥0\frac{x-1}{x+4} \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

x<−4: −−>0−4<x<1: −+<0x>1: ++>0x<-4: \ \frac{-}{-}>0 \qquad -4<x<1: \ \frac{-}{+}<0 \qquad x>1: \ \frac{+}{+}>0

טבלת סימנים של המנה

x=1: 0 ✓x=−4: אסור\begin{aligned}x &= 1: \ 0 \ \checkmark \qquad x \\ &= -4: \ \text{אסור}\end{aligned}

המונה מתאפס: מותר. המכנה מתאפס: אסור

הנכונה: x<−4x<-4 או x≥1x \geq 1. x=−4x=-4 נותן חילוק ב-00, גם כשהמנה יושבת מתחת לשורש. x≥1x \geq 1 לבד שוכח את הקטע השמאלי.

Check the answer on elev

Exercise 3

מצאו את האסימפטוטה האנכית של f(x)=2x−1x+5f(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{x+5}}. כתבו את ערך ה-xx.

Show the answer and the solution

Answer: -5

Worked solution:

x+5>0 ⇒ x>−5x+5>0 \ \Rightarrow \ x>-5

תחום

x=−5: 2(−5)−1=−11≠0\begin{aligned}x &= -5: \ 2(-5)-1 \\ &= -11 \neq 0\end{aligned}

המונה לא מתאפס

x→−5+: −110+→−∞x \to -5^{+}: \ \frac{-11}{0^{+}} \to -\infty

הכיוון

x=−5x=-5. הערך x=12x=\frac{1}{2} מאפס את המונה, ושם יש חיתוך עם ציר ה-xx, לא אסימפטוטה.

Check the answer on elev

Exercise 4

הוכיחו או הפריכו: לגרף של f(x)=x−4x−4f(x)=\frac{x-4}{\sqrt{x-4}} יש אסימפטוטה אנכית x=4x=4.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x>4x>4

תחום

x−4x−4=x−4\frac{x-4}{\sqrt{x-4}}=\sqrt{x-4}

מצמצמים: x−4=(x−4)2x-4=(\sqrt{x-4})^2

x→4+: x−4→0x \to 4^{+}: \ \sqrt{x-4} \to 0

הגרף מתקרב לנקודה (4,0)(4,0)

הטענה לא נכונה. המכנה מתאפס ב-x=4x=4, אבל גם המונה. אסימפטוטה אנכית דורשת מונה שונה מ-00.

Check the answer on elev

Exercise 5

תחום ההגדרה של f(x)=16+x−x2f(x)=\frac{1}{\sqrt{6+x-x^2}} הוא קטע פתוח. מהו אורך הקטע?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

6+x−x2>0 ⇒ x2−x−6<06+x-x^2>0 \ \Rightarrow \ x^2-x-6<0

כופלים ב-−1-1 והופכים את הכיוון

(x−3)(x+2)<0 ⇒ −2<x<3(x-3)(x+2)<0 \ \Rightarrow \ -2<x<3

בין השורשים

3−(−2)=53-(-2)=5

אורך הקטע

אורך הקטע 55. מי ששוכח להפוך את הכיוון אחרי הכפל ב-−1-1 מקבל את החוץ של הקטע, ושם אין אורך סופי.

Check the answer on elev

Exercise 6

מיינו את הפונקציות: לאילו מהן הישר x=1x=1 הוא אסימפטוטה אנכית?

  • יש אסימפטוטה x=1x=1
  • אין אסימפטוטה x=1x=1
  • (x−1)2x−1\dfrac{(x-1)^2}{\sqrt{x-1}}
  • 1x−1\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}
  • xx2−1\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}
  • x+11−x\dfrac{x+1}{\sqrt{1-x}}
  • x−1\sqrt{x-1}
  • x2−1\sqrt{x^2-1}
Show the answer and the solution

Answer: 1x−1\dfrac{1}{\sqrt{x-1}} — יש אסימפטוטה x=1x=1 · x+11−x\dfrac{x+1}{\sqrt{1-x}} — יש אסימפטוטה x=1x=1 · xx2−1\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}} — יש אסימפטוטה x=1x=1 · x−1\sqrt{x-1} — אין אסימפטוטה x=1x=1 · x2−1\sqrt{x^2-1} — אין אסימפטוטה x=1x=1 · (x−1)2x−1\dfrac{(x-1)^2}{\sqrt{x-1}} — אין אסימפטוטה x=1x=1

Worked solution:

x+11−x: x→1−, 20+→∞\frac{x+1}{\sqrt{1-x}}: \ x \to 1^{-}, \ \frac{2}{0^{+}} \to \infty

המונה 2≠02 \neq 0

(x−1)2x−1=(x−1)x−1→0\frac{(x-1)^2}{\sqrt{x-1}}=(x-1)\sqrt{x-1} \to 0

המונה מתאפס מהר יותר

x−1: f(1)=0\sqrt{x-1}: \ f(1)=0

שורש במונה: קצה, לא אסימפטוטה

אסימפטוטה אנכית מופיעה רק כשהשורש במכנה מתאפס, והמונה לא. בשתי הפונקציות שבלי מכנה, x=1x=1 הוא קצה של התחום.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה f(x)=x−5x−2f(x)=\frac{x-5}{\sqrt{x-2}}. מה קורה ל-f(x)f(x) כש-xx מתקרב ל-22 מימין?

  1. f(x)→0f(x) \to 0
  2. f(x)→+∞f(x) \to +\infty
  3. f(x)→−3f(x) \to -3
  4. f(x)→−∞f(x) \to -\infty
Show the answer and the solution

Answer: D f(x)→−∞f(x) \to -\infty

Worked solution:

x−5→−3x-5 \to -3

המונה

x−2→0+\sqrt{x-2} \to 0^{+}

המכנה: חיובי וקטן

−30+→−∞\frac{-3}{0^{+}} \to -\infty

מספר שלילי חלקי מספר חיובי קטן

הנכונה: −∞-\infty. המכנה שורש, ולכן הוא חיובי. הסימן בא מהמונה −3-3. מי שבחר −3-3 שכח שמחלקים במספר שמתקרב ל-00.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה f(x)=xx2−16f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-16}}. השלימו.

מספר האסימפטוטות האנכיות: ____ , מספר נקודות החיתוך עם הצירים: ____

Show the answer and the solution

Answer: מספר האסימפטוטות האנכיות: 2 , מספר נקודות החיתוך עם הצירים: 0

Worked solution:

x2−16>0 ⇒ x<−4 או x>4x^2-16>0 \ \Rightarrow \ x<-4 \ \text{או} \ x>4

תחום

x=±4: מונה ±4≠0x=\pm 4: \ \text{מונה} \ \pm 4 \neq 0

שתי אסימפטוטות

x=0∉Dx=0 \notin D

אין חיתוך עם ציר ה-yy; והמונה מתאפס רק ב-x=0x=0

אפס נקודות חיתוך. מי שכתב (0,0)(0,0) הציב נקודה מחוץ לתחום: בין −4-4 ל-44 הגרף לא קיים.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה f(x)=x+ax−3f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x-3}}, ו-aa פרמטר. ידוע שלגרף של ff אין אסימפטוטה אנכית. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

x>3x>3

תחום: המכנה מתאפס רק ב-x=3x=3

3+a=0 ⇒ a=−3\begin{aligned}3+a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -3\end{aligned}

כדי שלא תהיה אסימפטוטה, המונה חייב להתאפס שם

x−3x−3=x−3→0\frac{x-3}{\sqrt{x-3}}=\sqrt{x-3} \to 0

בדיקה: הגרף מתקרב ל-(3,0)(3,0) ✓

a=−3a=-3. לכל ערך אחר של aa המונה שונה מ-00 ב-x=3x=3, ו-x=3x=3 אסימפטוטה. מי שכתב a=3a=3 טעה בסימן: x+ax+a צריך להתאפס ב-x=3x=3.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=x2−2x−8x−5f(x)=\frac{\sqrt{x^2-2x-8}}{x-5}. השלימו את תחום ההגדרה.

x≤x \leq ____ או x≥x \geq ____ , וגם x≠x \neq ____

Show the answer and the solution

Answer: x≤x \leq -2 או x≥x \geq 4 , וגם x≠x \neq 5

Worked solution:

x2−2x−8=(x−4)(x+2)≥0x^2-2x-8=(x-4)(x+2) \geq 0

מה שמתחת לשורש

x≤−2 או x≥4x \leq -2 \ \text{או} \ x \geq 4

מחוץ לשורשים; השורש במונה, ולכן הקצוות נכללים

x−5≠0x-5 \neq 0

המכנה מוציא את x=5x=5 מתוך הקטע הימני

שלושה תנאים. מי ששוכח את x≠5x \neq 5 לא רואה את האסימפטוטה האנכית x=5x=5: שם המונה 7≠0\sqrt{7} \neq 0.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade