Sequences

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שתי משפחות הסדרות, עם הנוסחאות המלאות ועם הסכומים — כולל המקרה שבו סדרה אינסופית מתכנסת למספר סופי.

חשבונית

an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1) d
Sn=(a1+an)⋅n2S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

הנדסית

an=a1⋅q n−1a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}
Sn=a1⋅qn−1q−1S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}

נוסחת הסכום ההנדסי אינה מוגדרת ב-q=1q = 1 — המכנה מתאפס. אבל אז הסדרה קבועה, והסכום הוא פשוט a1⋅na_1 \cdot n.

סדרה הנדסית אינסופית

כש-∣q∣<1|q| < 1 האיברים הולכים וקטנים, והסכום מתכנס למספר סופי — למרות שיש אינסוף איברים.

S=a11−qS = \frac{a_1}{1 - q}

הדוגמה הקלאסית: 1+12+14+18+…=21 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = 2. חוצים כל פעם את המרחק שנותר — ולעולם לא עוברים את 2.

איך מזהים איזו סדרה

a2−a1=a3−a2a_2 - a_1 = a_3 - a_2

הפרש קבוע — חשבונית.

a2a1=a3a2\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}

מנה קבועה — הנדסית.

ולפעמים סדרה אינה אף אחת מהשתיים — למשל 1, 4, 9, 16 (ריבועים). אין חובה שסדרה תשתייך לאחת המשפחות.

שתי הטעויות של הסדרות.

an=a1+nda_n = a_1 + n d
a1+(n−1)da_1 + (n-1) d

צעד אחד פחות ממספר האיברים.

S∞ תמיד קייםS_\infty \ \text{תמיד קיים}
רק כאשר ∣q∣<1\text{רק כאשר} \ |q| < 1

אם ∣q∣≥1|q| \geq 1 האיברים לא קטנים והסכום מתבדר.

בסדרה הנדסית עם q=12q = \frac{1}{2} — האם קיים סכום אינסופי?

Show the answer and the solution

כן. התנאי הוא ∣q∣<1|q| < 1, ואז S=a11−qS = \frac{a_1}{1-q}. עבור ∣q∣≥1|q| \geq 1 הסכום מתבדר ואין לו ערך.

Exercises

Exercise 1

בסדרה הנדסית a1=3a_1 = 3 ו-q=2q = 2. מהו a6a_6?

Show the answer and the solution

Answer: 96

Worked solution:

3⋅253 \cdot 2^5

חמישה צעדים

=96= 96

התוצאה

3, 6, 12, 24, 48, 96.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו סכום הסדרה האינסופית 1+12+14+…1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

S=11−0.5S = \frac{1}{1 - 0.5}

נוסחת הסכום האינסופי

=2= 2

התוצאה

חוצים כל פעם את הנותר — ולעולם לא עוברים את 2.

Check the answer on elev

Exercise 3

מתי לסדרה הנדסית אינסופית יש סכום סופי?

  1. כאשר a1>0a_1 > 0
  2. כאשר q>1q > 1
  3. תמיד
  4. כאשר ∣q∣<1|q| < 1
Show the answer and the solution

Answer: D כאשר ∣q∣<1|q| < 1

Worked solution:

∣q∣<1|q| < 1

האיברים הולכים וקטנים

אחרת האיברים לא שואפים לאפס והסכום מתבדר.

Check the answer on elev

Exercise 4

הסדרה 1, 4, 9, 16 — איזה סוג?

  1. חשבונית
  2. שתיהן
  3. הנדסית
  4. לא חשבונית ולא הנדסית
Show the answer and the solution

Answer: D לא חשבונית ולא הנדסית

Worked solution:

3, 5, 73,\ 5,\ 7

ההפרשים אינם קבועים

4, 2.25, 1.784,\ 2.25,\ 1.78

וגם לא המנות

אלה ריבועים. אין חובה שסדרה תשתייך למשפחה מוכרת.

Check the answer on elev

Exercise 5

בסדרה חשבונית a1=2a_1 = 2, d=5d = 5. מהו סכום 20 האיברים הראשונים?

Show the answer and the solution

Answer: 990

Worked solution:

a20=2+19⋅5=97\begin{aligned}a_{20} &= 2 + 19 \cdot 5 \\ &= 97\end{aligned}

האיבר האחרון

S=(2+97)⋅202S = \frac{(2 + 97) \cdot 20}{2}

הסכום

=990= 990

מחשבים

19 צעדים, לא 20.

Check the answer on elev

Exercise 6

בסדרה חשבונית a1=5a_1 = 5 והפרש d=3d = 3. מהו a10a_{10}?

Show the answer and the solution

Answer: 32

Worked solution:

an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d

הנוסחה

5+9⋅3=325 + 9 \cdot 3 = 32

תשע קפיצות, לא עשר

(n−1)(n-1) ולא nn — מ-a1a_1 ל-a10a_{10} יש תשע קפיצות.

Check the answer on elev

Exercise 7

בסדרה חשבונית a1=5a_1 = 5 ו-d=3d = 3. מהו הסכום S10S_{10}?

Show the answer and the solution

Answer: 185

Worked solution:

Sn=n(a1+an)2S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

הנוסחה

10(5+32)2=185\frac{10(5 + 32)}{2} = 185

מציבים a10=32a_{10} = 32

צריך קודם את a10a_{10}. הסכום נשען על האיבר האחרון.

Check the answer on elev

Exercise 8

בסדרה הנדסית a1=2a_1 = 2 ומנה q=3q = 3. מהו a5a_5?

Show the answer and the solution

Answer: 162

Worked solution:

an=a1q n−1a_n = a_1 q^{\,n-1}

הנוסחה

2⋅34=2⋅81=162\begin{aligned}2 \cdot 3^4 &= 2 \cdot 81 \\ &= 162\end{aligned}

החזקה היא 44

שוב n−1n-1 בחזקה, לא nn. 2⋅352 \cdot 3^5 היה נותן 486486.

Check the answer on elev

Exercise 9

בסדרה הנדסית אינסופית a1=8a_1 = 8 ו-q=12q = \frac{1}{2}. מהו סכום הסדרה?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

S=a11−qS = \frac{a_1}{1-q}

הנוסחה, בתנאי ∣q∣<1|q| < 1

81−0.5=16\frac{8}{1 - 0.5} = 16

סכום סופי לאינסוף איברים — זה אפשרי בדיוק כאשר ∣q∣<1|q| < 1.

Check the answer on elev

Exercise 10

מתי לסדרה הנדסית אינסופית יש סכום?

  1. כאשר ∣q∣<1|q| < 1
  2. תמיד
  3. כאשר a1>0a_1 > 0
  4. כאשר q>1q > 1
Show the answer and the solution

Answer: A כאשר ∣q∣<1|q| < 1

Worked solution:

∣q∣<1⇒qn→0|q| < 1 \Rightarrow q^n \to 0

האיברים הולכים ומתאפסים

אם ∣q∣≥1|q| \geq 1 האיברים אינם קטנים, והסכום בורח לאינסוף.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade