Geometric sequence and infinite sum

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בסדרה הנדסית כופלים בכל צעד באותו מספר — המנה qq. ההבדל מהחשבונית הוא מילה אחת: חיבור מול כפל.

an=a1q n−1a_n = a_1 q^{\,n-1}

האיבר הכללי — שוב (n−1)(n-1), הפעם בחזקה.

Sn=a1(qn−1)q−1S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}

סכום nn איברים, כאשר q≠1q \neq 1.

איבר וסכום

בסדרה a1=3a_1 = 3, q=2q = 2. חשבו את a6a_6 ואת S6S_6.

a6=3⋅25=96\begin{aligned}a_6 &= 3 \cdot 2^5 \\ &= 96\end{aligned}

החזקה היא 55, לא 66

S6=3(26−1)2−1S_6 = \frac{3(2^6-1)}{2-1}
=3⋅63=189= 3 \cdot 63 = 189

הסכום האינסופי

S=a11−qכאשר  ∣q∣<1S = \frac{a_1}{1-q} \qquad \text{כאשר} \ \ |q| < 1

נשמע בלתי אפשרי: מחברים אינסוף מספרים ומקבלים מספר סופי. אבל אם כל איבר הוא חצי מקודמו, הסכום מתקרב לגבול ולא עובר אותו לעולם.

אינסוף איברים, סכום קטן

2+1+0.5+0.25+…2 + 1 + 0.5 + 0.25 + \ldots

a1=2  q=12\begin{aligned}a_1 &= 2 \ \\ \ q &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}
S=21−0.5S = \frac{2}{1 - 0.5}
=4= 4

הסכום לעולם לא יעבור את 44

התנאי ∣q∣<1|q| < 1 הוא כל הסיפור. אם ∣q∣≥1|q| \geq 1 האיברים אינם קטנים, והסכום בורח לאינסוף — אין נוסחה ואין תשובה.

מדוע ל-1+2+4+8+…1 + 2 + 4 + 8 + \ldots אין סכום?

Show the answer and the solution

כי q=2q = 2, והאיברים גדלים. כל תוספת גדולה מקודמתה, והסכום עובר כל מספר שנבחר. הנוסחה a11−q\frac{a_1}{1-q} הייתה נותנת 1−1=−1\frac{1}{-1} = -1 — תוצאה חסרת פשר, וזה הסימן שהתנאי הופר.

שלושה איברים עוקבים

b2=a⋅cb^2 = a \cdot c

בחשבונית האמצעי היה הממוצע החשבוני; כאן הוא הממוצע ההנדסי. אותו רעיון, פעולה אחרת.

שתי הטעויות של הסדרה ההנדסית.

an=a1q na_n = a_1 q^{\,n}
an=a1q n−1a_n = a_1 q^{\,n-1}

אותה מלכודת כמו בחשבונית, הפעם בחזקה. 3⋅263 \cdot 2^6 נותן 192192 במקום 9696.

S=a11−q תמידS = \frac{a_1}{1-q} \ \text{תמיד}
רק כאשר ∣q∣<1\text{רק כאשר} \ |q| < 1

בלי לבדוק את התנאי מקבלים מספר שנראה תקין ואין לו משמעות.

Exercises

Exercise 1

בסדרה הנדסית a1=3a_1 = 3 ו-q=2q = 2. מהו a6a_6?

Show the answer and the solution

Answer: 96

Worked solution:

3⋅253 \cdot 2^5

החזקה n−1n-1

=96= 96

עם 262^6 היה יוצא 192192 — פי שניים מהאמת.

Check the answer on elev

Exercise 2

בסדרה הנדסית a1=3a_1 = 3 ו-q=2q = 2. מהו S6S_6?

Show the answer and the solution

Answer: 189

Worked solution:

3(26−1)2−1\frac{3(2^6-1)}{2-1}
3⋅63=1893 \cdot 63 = 189

המכנה q−1q-1 שווה 11 כאן, ולכן נעלם.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו סכום הסדרה האינסופית 2+1+0.5+…2 + 1 + 0.5 + \ldots?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

q=0.5  ∣q∣<1\begin{aligned}q &= 0.5 \ \\ \ |q| < 1\end{aligned}

התנאי מתקיים

21−0.5=4\frac{2}{1-0.5} = 4

אינסוף איברים, סכום סופי — כי הם קטנים מספיק מהר.

Check the answer on elev

Exercise 4

בסדרה הנדסית אינסופית a1=27a_1 = 27 ו-q=13q = \frac{1}{3}. מהו הסכום?

Show the answer and the solution

Answer: 40.5

Worked solution:

271−13\frac{27}{1 - \frac{1}{3}}
2723=40.5\frac{27}{\frac{2}{3}} = 40.5

חילוק בשבר — כפל בהופכי. 27⋅3227 \cdot \frac{3}{2}.

Check the answer on elev

Exercise 5

בסדרה הנדסית אינסופית הסכום 18 ו-q=13q = \frac{1}{3}. מהו a1a_1?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

18=a11−1318 = \frac{a_1}{1-\frac{1}{3}}
a1=18⋅23=12\begin{aligned}a_1 &= 18 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 12\end{aligned}

הכיוון ההפוך — מהסכום אל האיבר הראשון, ונשאל לא פחות.

Check the answer on elev

Exercise 6

מתי לסדרה הנדסית אינסופית יש סכום?

  1. כאשר ∣q∣<1|q| < 1
  2. כאשר a1>0a_1 > 0
  3. כאשר q>1q > 1
  4. תמיד
Show the answer and the solution

Answer: A כאשר ∣q∣<1|q| < 1

Worked solution:

∣q∣<1⇒qn→0|q| < 1 \Rightarrow q^n \to 0

האיברים חייבים להתאפס, אחרת הסכום בורח.

Check the answer on elev

Exercise 7

האיברים 44, bb, 99 עוקבים בסדרה הנדסית. מהו bb החיובי?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

b2=4⋅9=36\begin{aligned}b^2 &= 4 \cdot 9 \\ &= 36\end{aligned}

הממוצע ההנדסי

b=6b = 6

או −6-6

שתי תשובות: 66 ו-−6-6. הסדרה 4,−6,94, -6, 9 הנדסית גם היא, עם q=−1.5q = -1.5.

Check the answer on elev

Exercise 8

בסדרה הנדסית a1=5a_1 = 5 ו-a4=40a_4 = 40. מהי המנה qq?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

a4=a1q3a_4 = a_1 q^3

שלוש קפיצות

40=5q3⇒q3=8\begin{aligned}40 &= 5q^3 \Rightarrow q^3 \\ &= 8\end{aligned}
q=2q = 2

החזקה היא מספר הקפיצות, כאן 33.

Check the answer on elev

Exercise 9

מדוע ל-1+2+4+8+…1 + 2 + 4 + 8 + \ldots אין סכום?

  1. כי q=2q = 2 והאיברים גדלים
  2. כי יש אינסוף איברים
  3. כי a1=1a_1 = 1
  4. יש לו סכום
Show the answer and the solution

Answer: A כי q=2q = 2 והאיברים גדלים

Worked solution:

∣q∣=2≥1|q| = 2 \geq 1

התנאי מופר

אינסוף איברים אינו הסיבה — לסדרה 2+1+0.5+…2+1+0.5+\ldots יש גם אינסוף איברים, ויש לה סכום.

Check the answer on elev

Exercise 10

מה ההבדל בין סדרה חשבונית להנדסית?

  1. אין הבדל מהותי
  2. בחשבונית האיברים גדלים
  3. בהנדסית יש יותר איברים
  4. בחשבונית מחברים קבוע, בהנדסית כופלים בקבוע
Show the answer and the solution

Answer: D בחשבונית מחברים קבוע, בהנדסית כופלים בקבוע

Worked solution:

an+1=an+da_{n+1} = a_n + d

חשבונית

an+1=an⋅qa_{n+1} = a_n \cdot q

הנדסית

חיבור מול כפל. כל שאר ההבדלים נובעים מזה.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה סדרה הנדסית אינסופית עם ∣q∣<1|q| < 1. הוכיחו שסכומה הוא S=a11−qS = \dfrac{a_1}{1-q}.

  • Sn=a1(1−qn)1−qS_n = \dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} — סכום nn האיברים הראשונים
  • ∣q∣<1|q| < 1

S=a11−qS = \dfrac{a_1}{1-q}

Show the answer and the solution
  1. ∣q∣<1|q| < 1 — נתון
  2. qn→0q^n \to 0 כאשר n→∞n \to \infty — מספר שערכו המוחלט קטן מ-11, בחזקה גדלה, שואף לאפס
  3. 1−qn→11 - q^n \to 1 — הצבת הגבול של qnq^n
  4. Sn→a1⋅11−qS_n \to \dfrac{a_1 \cdot 1}{1-q} — הצבה בנוסחת הסכום החלקי
  5. S=a11−qS = \dfrac{a_1}{1-q} — וזהו הגבול, כלומר סכום הסדרה
Check the answer on elev

Exercise 12

בסדרה הנדסית a1=−5a_1 = -5 ו-q=3q = 3. האם הסדרה עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת?

  1. יורדת
  2. לא עולה ולא יורדת
  3. עולה
Show the answer and the solution

Answer: A יורדת

Worked solution:

−5, −15, −45, …-5 ,\ -15 ,\ -45 ,\ \ldots

שלושה איברים ראשונים

an+1−an=an(q−1)=an⋅2<0\begin{aligned}a_{n+1}-a_n &= a_n(q-1) \\ &= a_n\cdot 2<0\end{aligned}

כל האיברים שליליים, ו-q−1>0q-1>0

יורדת. q>1q>1 מגדיל את הגודל של האיברים, אבל הם שליליים: −15-15 קטן מ-−5-5. מי שעונה «עולה» הסתכל רק על qq.

Check the answer on elev

Exercise 13

בסדרה הנדסית a1=−8a_1 = -8 ו-q=12q = \frac{1}{2}. האם הסדרה עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת?

  1. עולה
  2. לא עולה ולא יורדת
  3. יורדת
Show the answer and the solution

Answer: A עולה

Worked solution:

−8, −4, −2, …-8 ,\ -4 ,\ -2 ,\ \ldots

שלושה איברים ראשונים

an+1−an=an(q−1)=an⋅(−12)>0\begin{aligned}a_{n+1}-a_n &= a_n(q-1) \\ &= a_n\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)>0\end{aligned}

שני גורמים שליליים

עולה. האיברים מתקרבים ל-00 מלמטה: −4-4 גדול מ-−8-8.

Check the answer on elev

Exercise 14

בסדרה הנדסית a1=4a_1 = 4 ו-q=−3q = -3. האם הסדרה עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת?

  1. עולה
  2. לא עולה ולא יורדת
  3. יורדת
Show the answer and the solution

Answer: B לא עולה ולא יורדת

Worked solution:

4, −12, 36, …4 ,\ -12 ,\ 36 ,\ \ldots

הסימן מתחלף בכל צעד

a2<a1,a3>a2a_2<a_1 ,\quad a_3>a_2

פעם יורדת, פעם עולה

לא עולה ולא יורדת. כש-q<0q<0 שני איברים עוקבים הם בסימנים שונים, לכל a1a_1. כך כותבים את התשובה בבגרות.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade