Set 1 — easy

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות קצרות על הסדרה ההנדסית: איבר כללי, סכום חלקי, סכום אינסופי ותנאי ההתכנסות, מנה משני איברים, שבר מחזורי ותת-סדרה. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: כמה קפיצות יש בין שני האיברים? ובכל סכום אינסופי: האם ∣q∣<1|q|<1?

Exercises

Exercise 1

בסדרה הנדסית a1=5a_1=5 ו-q=−2q=-2. מהו a6a_6?

Show the answer and the solution

Answer: -160

Worked solution:

a6=a1⋅q5a_6=a_1\cdot q^5

חמש קפיצות מ-a1a_1 ל-a6a_6

5⋅(−2)5=5⋅(−32)=−160\begin{aligned}5\cdot(-2)^5 &= 5\cdot(-32) \\ &= -160\end{aligned}

חזקה אי-זוגית של מספר שלילי

המעריך הוא 55, לא 66. ו-(−2)5(-2)^5 שלילי: מי שכותב 160160 איבד את הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 2

בסדרה הנדסית a1=3a_1=3 ו-q=2q=2. מהו סכום 88 האיברים הראשונים?

Show the answer and the solution

Answer: 765

Worked solution:

S8=a1(q8−1)q−1S_8=\frac{a_1(q^8-1)}{q-1}

נוסחת הסכום

=3(256−1)1=765=\frac{3(256-1)}{1}=765

מציבים

הטעות הנפוצה: 3⋅28=7683\cdot 2^8=768, שהוא האיבר a9a_9 ולא הסכום.

Check the answer on elev

Exercise 3

בסדרה הנדסית אינסופית a1=15a_1=15 ו-q=0.4q=0.4. מהו סכום הסדרה?

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

∣0.4∣<1|0.4|<1

יש סכום

S=151−0.4=150.6=25\begin{aligned}S &= \frac{15}{1-0.4} \\ &= \frac{15}{0.6} \\ &= 25\end{aligned}

הנוסחה

במכנה 1−q1-q, לא 1+q1+q: עם 1.41.4 במכנה יוצא בערך 10.710.7.

Check the answer on elev

Exercise 4

לאיזו מהסדרות ההנדסיות האינסופיות יש סכום?

  1. q=1q=1
  2. q=1.1q=1.1
  3. q=−0.9q=-0.9
  4. q=−1.2q=-1.2
Show the answer and the solution

Answer: C q=−0.9q=-0.9

Worked solution:

∣−0.9∣=0.9<1|-0.9|=0.9<1

רק כאן התנאי מתקיים

∣1∣=1 ∣−1.2∣=1.2 ∣1.1∣=1.1\begin{aligned}|1| &= 1 \\ \ |-1.2| &= 1.2 \\ \ |1.1| &= 1.1\end{aligned}

בשאר ∣q∣≥1|q| \geq 1

הנכונה: q=−0.9q=-0.9. מנה שלילית אינה מונעת התכנסות: הסימן מתחלף, אבל האיברים קטנים. ו-q=1q=1 לא מתכנסת: כל האיברים שווים.

Check the answer on elev

Exercise 5

בסדרה הנדסית a2=6a_2=6 ו-a5=48a_5=48. מהי המנה qq?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

a5a2=q3\frac{a_5}{a_2}=q^3

שלוש קפיצות מ-a2a_2 ל-a5a_5

q3=8 ⇒ q=2\begin{aligned}q^3 &= 8 \ \Rightarrow \ q \\ &= 2\end{aligned}

שורש שלישי

מי שכותב q5=8q^5=8 או q2=8q^2=8 ספר את המקומות במקום את הקפיצות.

Check the answer on elev

Exercise 6

השבר המחזורי 0.363636…0.363636\ldots הוא סכום של סדרה הנדסית אינסופית: 0.36+0.0036+0.000036+…0.36+0.0036+0.000036+\ldots. לאיזה שבר הוא שווה?

  1. 925\frac{9}{25}
  2. 25\frac{2}{5}
  3. 36999\frac{36}{999}
  4. 411\frac{4}{11}
Show the answer and the solution

Answer: D 411\frac{4}{11}

Worked solution:

a1=0.36q=0.01\begin{aligned}a_1 &= 0.36 \\ \quad q &= 0.01\end{aligned}

כל איבר קטן פי 100100

S=0.360.99=3699=411\begin{aligned}S &= \frac{0.36}{0.99} \\ &= \frac{36}{99} \\ &= \frac{4}{11}\end{aligned}

הסכום

הנכונה: 411\frac{4}{11}. 925=0.36\frac{9}{25}=0.36 בדיוק, בלי ההמשך. 36999\frac{36}{999} מתאים למחזור של שלוש ספרות.

Check the answer on elev

Exercise 7

סכומה של סדרה הנדסית אינסופית הוא 4040, והאיבר הראשון שלה הוא 1010. מהי המנה qq?

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

101−q=40\frac{10}{1-q}=40

נוסחת הסכום

1−q=14 ⇒ q=34\begin{aligned}1-q &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

פותרים

מי שכותב q=14q=\frac{1}{4} עצר ב-1−q1-q ושכח את הצעד האחרון.

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו או הפריכו: בסדרה הנדסית שבה q=2q=2, האיברים שבמקומות האי-זוגיים a1, a3, a5, …a_1,\,a_3,\,a_5,\,\ldots יוצרים סדרה הנדסית שהמנה שלה 44.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

a2k+1a2k−1=q2\frac{a_{2k+1}}{a_{2k-1}}=q^2

שתי קפיצות בין שני מקומות אי-זוגיים

q2=4q^2=4

המנה של תת-הסדרה

הטענה נכונה. מי שחושב שהמנה נשארת 22 שכח שמדלגים על איבר.

Check the answer on elev

Exercise 9

בסדרה הנדסית אינסופית a1=3a_1=3 ו-q=12q=\frac{1}{2}. מהו סכום האיברים שבמקומות הזוגיים?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

a2=1.5q2=14\begin{aligned}a_2 &= 1.5 \\ \quad q^2 &= \frac{1}{4}\end{aligned}

תת-הסדרה a2, a4, …a_2,\,a_4,\,\ldots

1.51−14=2\frac{1.5}{1-\frac{1}{4}}=2

הסכום

האיבר הראשון של תת-הסדרה הוא a2a_2, לא a1a_1, והמנה היא q2q^2.

Check the answer on elev

Exercise 10

המספרים 33, xx, 2727 הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית, ו-xx שלילי. מהו xx?

Show the answer and the solution

Answer: -9

Worked solution:

x2=3⋅27=81\begin{aligned}x^2 &= 3\cdot 27 \\ &= 81\end{aligned}

האמצעי בריבוע שווה למכפלת שכניו

x=−9x=-9

הערך השלילי

גם 99 פותר את x2=81x^2=81, אבל השאלה מבקשת xx שלילי. אז המנה היא −3-3.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade