Set 2 — medium

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות של שני צעדים ויותר: שתי משוואות על אותה סדרה, יחס בין סכומים, השארית של סכום אינסופי, סדרת הריבועים, ושילוב של סדרה חשבונית והנדסית.

כשיש שתי משוואות על אותה סדרה, מחלקים אחת בשנייה: a1a_1 נעלם ונשארת משוואה ב-qq בלבד.

Exercises

Exercise 1

בסדרה הנדסית a1+a3=20a_1+a_3=20 ו-a2+a4=60a_2+a_4=60. מצאו את qq ואת a1a_1.

q=q= ____ , a1=a_1= ____

Show the answer and the solution

Answer: q=q= 3 , a1=a_1= 2

Worked solution:

a2+a4=q(a1+a3)a_2+a_4=q(a_1+a_3)

כל איבר כפול qq הוא הבא

60=20q ⇒ q=3\begin{aligned}60 &= 20q \ \Rightarrow \ q \\ &= 3\end{aligned}

מחלקים

a1(1+9)=20 ⇒ a1=2\begin{aligned}a_1(1+9) &= 20 \ \Rightarrow \ a_1 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים

מחלקים את שתי המשוואות לפני שפותחים סוגריים. מי שכותב a1+a1q2a_1+a_1q^2 ו-a1q+a1q3a_1q+a_1q^3 ופותר כמערכת רגילה נתקע במשוואה ממעלה שלישית.

Check the answer on elev

Exercise 2

סכומה של סדרה הנדסית אינסופית גדול פי 44 מהאיבר הראשון שלה. מהי המנה?

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

a11−q=4a1\frac{a_1}{1-q}=4a_1

הנתון

1−q=14 ⇒ q=34\begin{aligned}1-q &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

מחלקים ב-a1≠0a_1 \neq 0

התשובה לא תלויה ב-a1a_1. מי שמנסה למצוא את a1a_1 מחפש נתון שלא קיים.

Check the answer on elev

Exercise 3

בסדרה הנדסית a1=2a_1=2 ו-q=3q=3. כמה איברים ראשונים צריך לחבר כדי לקבל סכום 728728?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

2(3n−1)2=728\frac{2(3^n-1)}{2}=728

נוסחת הסכום

3n=729=36\begin{aligned}3^n &= 729 \\ &= 3^6\end{aligned}

בודקים חזקות של 33

n=6n=6

מספר האיברים

בלי לוגריתם: מחפשים חזקה של 33 בניסוי. מי שכותב 2⋅3n=7282\cdot 3^n=728 שכח את −1-1 ואת המכנה.

Check the answer on elev

Exercise 4

בסדרה הנדסית אינסופית a1=8a_1=8 ו-q=12q=\frac{1}{2}. SS הוא סכום כל הסדרה, ו-S4S_4 סכום ארבעת האיברים הראשונים. מהו S−S4S-S_4?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

S−S4=a5+a6+…S-S_4=a_5+a_6+\ldots

מה שנשאר אחרי ארבעה איברים

a5=8⋅116=0.5\begin{aligned}a_5 &= 8\cdot\frac{1}{16} \\ &= 0.5\end{aligned}

האיבר הראשון של השארית

0.51−12=1\frac{0.5}{1-\frac{1}{2}}=1

סכום השארית

השארית היא סדרה הנדסית אינסופית בפני עצמה, עם אותה מנה. אפשר גם 16−15=116-15=1.

Check the answer on elev

Exercise 5

המספרים 44, 4q4q, 4q24q^2 הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית שבה q>0q>0. אם מגדילים את האיבר האמצעי ב-88, מתקבלים שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית. מהו qq?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

2(4q+8)=4+4q22(4q+8)=4+4q^2

בחשבונית: האמצעי הוא הממוצע של שכניו

q2−2q−3=0 ⇒ q=3 q=−1\begin{aligned}q^2-2q-3 &= 0 \ \Rightarrow \ q \\ &= 3 \\ \ q &= -1\end{aligned}

משוואה ריבועית

q=3q=3

q>0q>0

בדיקה: 4, 20, 364,\,20,\,36 היא חשבונית עם הפרש 1616. את התנאי של החשבונית כותבים עם סכום, לא עם מכפלה.

Check the answer on elev

Exercise 6

בסדרה הנדסית a1=2a_1=2 ו-q=−3q=-3. מגדירים bn=a2nb_n=a_{2n}. מהי המנה של bnb_n?

  1. −3-3
  2. 99
  3. −9-9
  4. 33
Show the answer and the solution

Answer: B 99

Worked solution:

bn=a2n ⇒ bn+1bn=a2n+2a2n=q2\begin{aligned}b_n &= a_{2n} \ \Rightarrow \ \frac{b_{n+1}}{b_n} \\ &= \frac{a_{2n+2}}{a_{2n}} \\ &= q^2\end{aligned}

שתי קפיצות

(−3)2=9(-3)^2=9

המנה

הנכונה: 99. כל איברי bnb_n שליליים (b1=−6b_1=-6), אבל המנה חיובית: מכפלת שני מספרים שליליים.

Check the answer on elev

Exercise 7

סכומה של סדרה הנדסית אינסופית הוא 1212, וסכום ריבועי איבריה הוא 4848. מצאו את qq ואת a1a_1.

q=q= ____ , a1=a_1= ____

Show the answer and the solution

Answer: q=q= 0.5 , a1=a_1= 6

Worked solution:

a11−q=12a121−q2=48\begin{aligned}\frac{a_1}{1-q} &= 12 \\ \quad \frac{a_1^2}{1-q^2} &= 48\end{aligned}

ריבועי האיברים: סדרה עם a12a_1^2 ומנה q2q^2

a11+q=4\frac{a_1}{1+q}=4

מחלקים את השנייה בראשונה

4(1+q)=12(1−q) ⇒ q=12 a1=6\begin{aligned}4(1+q) &= 12(1-q) \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{1}{2} \\ \ a_1 &= 6\end{aligned}

משווים

1−q2=(1−q)(1+q)1-q^2=(1-q)(1+q) הוא המפתח. מי שכותב a12(1−q)2\frac{a_1^2}{(1-q)^2} ריבע את הסכום, לא את האיברים.

Check the answer on elev

Exercise 8

בסדרה הנדסית אינסופית a1=10a_1=10 ו-q=−12q=-\frac{1}{2}. מהו סכום הסדרה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 6.666666666666667

Worked solution:

S=101−(−12)=101.5\begin{aligned}S &= \frac{10}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)} \\ &= \frac{10}{1.5}\end{aligned}

מציבים מנה שלילית

=203≈6.67=\frac{20}{3}\approx 6.67

הסכום

המינוס של qq והמינוס של הנוסחה נותנים פלוס. מי שכותב 100.5=20\frac{10}{0.5}=20 איבד סימן.

Check the answer on elev

Exercise 9

בסדרה הנדסית שבה q=2q=2, סכום 2n2n האיברים הראשונים גדול פי 1717 מסכום nn האיברים הראשונים. מהו nn?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

S2nSn=q2n−1qn−1=qn+1\begin{aligned}\frac{S_{2n}}{S_n} &= \frac{q^{2n}-1}{q^n-1} \\ &= q^n+1\end{aligned}

הפרש ריבועים

2n+1=17 ⇒ 2n=16\begin{aligned}2^n+1 &= 17 \ \Rightarrow \ 2^n \\ &= 16\end{aligned}

משוואה

n=4n=4

24=162^4=16

q2n−1=(qn−1)(qn+1)q^{2n}-1=(q^n-1)(q^n+1). התשובה לא תלויה ב-a1a_1.

Check the answer on elev

Exercise 10

בסדרה הנדסית אינסופית a1=9a_1=9 ו-q=−13q=-\frac{1}{3}. שורה אחת בחישוב הסכום שגויה. מצאו אותה.

∣q∣=13<1|q|=\frac{1}{3}<1
S=91−13=13.5\begin{aligned}S &= \frac{9}{1-\frac{1}{3}} \\ &= 13.5\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: S=91−13=13.5S=\frac{9}{1-\frac{1}{3}}=13.5 → S=91+13=6.75S=\frac{9}{1+\frac{1}{3}}=6.75

Worked solution:

1−(−13)=431-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}

המכנה

S=943=6.75\begin{aligned}S &= \frac{9}{\frac{4}{3}} \\ &= 6.75\end{aligned}

הסכום

מציבים את qq עם הסימן שלו. 13.513.5 הוא הסכום של q=13q=\frac{1}{3}.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade