Identities inside geometry

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

במשולש עם פרמטר מופיעות זוויות כמו 2α2\alpha, 180∘−2α180^\circ-2\alpha או 180∘−3α180^\circ-3\alpha. הזהויות של פרק הזהויות הטריגונומטריות הופכות אותן לביטויים קצרים. בלעדיהן, התשובה נכונה אבל לא ניתן לפתור את המשוואה שבסוף.

αα180°−2αABCD
משולש שווה שוקיים: AB=AC=kAB=AC=k, זוויות הבסיס α\alpha. הגובה ADAD מחלק אותו לשני משולשים ישרי זווית. לכן שתי דרכים מובילות לבסיס: הגובה, ומשפט הקוסינוסים עם זווית הראש.

בציור, מהו sin⁡∠A\sin\angle A, כביטוי ב-α\alpha?

Show the answer and the solution

∠A=180∘−2α\angle A=180^\circ-2\alpha, ו-sin⁡(180∘−2α)=sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin(180^\circ-2\alpha)=\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha. זה ה-sin⁡\sin שנכנס לנוסחת השטח.

הבסיס — בשתי דרכים

BD=kcos⁡α ⇒ BC=2kcos⁡α\begin{aligned}BD &= k\cos\alpha \ \Rightarrow \ BC \\ &= 2k\cos\alpha\end{aligned}

דרך הגובה: △ABD\triangle ABD ישר זווית ב-DD

BC2=2k2−2k2cos⁡(180∘−2α)=2k2(1+cos⁡2α)\begin{aligned}BC^2 &= 2k^2-2k^2\cos(180^\circ-2\alpha) \\ &= 2k^2(1+\cos 2\alpha)\end{aligned}

דרך משפט הקוסינוסים

1+cos⁡2α=2cos⁡2α ⇒ BC=2kcos⁡α\begin{aligned}1+\cos 2\alpha &= 2\cos^2\alpha \ \Rightarrow \ BC \\ &= 2k\cos\alpha\end{aligned}

הזהות סוגרת את המעגל: אותה תשובה

ארבע זהויות שחוזרות בשאלה 5

sin⁡(180∘−x)=sin⁡xcos⁡(180∘−x)=−cos⁡x\begin{aligned}\sin(180^\circ-x) &= \sin x \qquad \cos(180^\circ-x) \\ &= -\cos x\end{aligned}
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α1−cos⁡α=2sin⁡2α2\begin{aligned}\sin 2\alpha &= 2\sin\alpha\cos\alpha \qquad 1-\cos\alpha \\ &= 2\sin^2\frac{\alpha}{2}\end{aligned}
sin⁡γ=sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\begin{aligned}\sin\gamma &= \sin(\alpha+\beta) \\ &= \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\end{aligned}

הזהות האחרונה היא הדרך הקצרה לזווית השלישית: γ=180∘−α−β\gamma=180^\circ-\alpha-\beta, ולכן sin⁡γ=sin⁡(α+β)\sin\gamma=\sin(\alpha+\beta). לא צריך את γ\gamma עצמה, רק את הסינוס שלה.

שטח של משולש שווה שוקיים, בשתי דרכים

במשולש ABCABC נתון AB=AC=kAB=AC=k וזוויות הבסיס α\alpha. הביעו את השטח.

S=12k2sin⁡(180∘−2α)=12k2sin⁡2α\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}k^2\sin(180^\circ-2\alpha) \\ &= \frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha\end{aligned}

שתי השוקיים והזווית שביניהן

S=k2sin⁡αcos⁡αS=k^2\sin\alpha\cos\alpha

זווית כפולה

S=12⋅2kcos⁡α⋅ksin⁡α=k2sin⁡αcos⁡α\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 2k\cos\alpha\cdot k\sin\alpha \\ &= k^2\sin\alpha\cos\alpha\end{aligned}

בדיקה: בסיס כפול גובה חלקי 22 ✓

זווית כפולה בתוך משולש

לאילו ערכים של α\alpha קיים משולש כזה? ומה קורה ל-BCBC כש-α\alpha מתקרבת ל-60∘60^\circ?

Show the answer and the solution

צריך 3α<180∘3\alpha<180^\circ, כלומר 0∘<α<60∘0^\circ<\alpha<60^\circ. כש-α\alpha מתקרבת ל-60∘60^\circ, 4cos⁡2α−14\cos^2\alpha-1 מתקרב ל-00: הזווית AA נסגרת, והצלע שמולה מתכווצת.

שלוש זהויות שנשברות.

sin⁡2α=2sin⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha

בדיקה ב-α=60∘\alpha=60^\circ: sin⁡120∘≈0.87\sin 120^\circ \approx 0.87, ו-2sin⁡60∘≈1.732\sin 60^\circ \approx 1.73.

cos⁡(180∘−2α)=cos⁡2α\cos(180^\circ-2\alpha)=\cos 2\alpha
cos⁡(180∘−2α)=−cos⁡2α\cos(180^\circ-2\alpha)=-\cos 2\alpha

הקוסינוס משנה סימן. בלי זה, בסיס המשולש שווה השוקיים יוצא 2ksin⁡α2k\sin\alpha.

sin⁡(α+β)=sin⁡α+sin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta
sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

בדיקה: sin⁡(30∘+60∘)=1\sin(30^\circ+60^\circ)=1, והטעות נותנת 1.371.37.

Exercises

Exercise 1

ααABCD

במשולש ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k וזוויות הבסיס ∠B=∠C=α\angle B = \angle C = \alpha. הביעו את הבסיס BCBC באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. 2kcos⁡α2k\cos\alpha
  2. kcos⁡2αk\cos 2\alpha
  3. kcos⁡αk\cos\alpha
  4. 2ksin⁡α2k\sin\alpha
Show the answer and the solution

Answer: A 2kcos⁡α2k\cos\alpha

Worked solution:

BD=kcos⁡αBD=k\cos\alpha

הגובה ADAD חוצה את הבסיס. ב-△ABD\triangle ABD ישר הזווית: ליד הזווית, קוסינוס

BC=2BD=2kcos⁡α\begin{aligned}BC &= 2BD \\ &= 2k\cos\alpha\end{aligned}

הבסיס כפול

הנכונה: 2kcos⁡α2k\cos\alpha. בדרך השנייה, במשפט הקוסינוסים עם זווית הראש 180∘−2α180^\circ-2\alpha, מקבלים BC2=2k2(1+cos⁡2α)=4k2cos⁡2αBC^2=2k^2(1+\cos 2\alpha)=4k^2\cos^2\alpha. אותה תשובה. מי שבחר kcos⁡αk\cos\alpha שכח שזה רק חצי הבסיס.

Check the answer on elev

Exercise 2

ααABC

באותו משולש (AB=AC=kAB = AC = k, זוויות הבסיס α\alpha), מהו שטח המשולש?

  1. 12k2cos⁡2α\frac{1}{2}k^2\cos 2\alpha
  2. k2sin⁡αcos⁡αk^2\sin\alpha\cos\alpha
  3. k2sin⁡2αk^2\sin 2\alpha
  4. 12k2sin⁡α\frac{1}{2}k^2\sin\alpha
Show the answer and the solution

Answer: B k2sin⁡αcos⁡αk^2\sin\alpha\cos\alpha

Worked solution:

∠A=180∘−2α\angle A=180^\circ-2\alpha

זווית הראש

S=12k2sin⁡(180∘−2α)=12k2sin⁡2α\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}k^2\sin(180^\circ-2\alpha) \\ &= \frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha\end{aligned}

נוסחת השטח, וזוויות משלימות

S=k2sin⁡αcos⁡αS=k^2\sin\alpha\cos\alpha

סינוס של זווית כפולה

הנכונה: k2sin⁡αcos⁡αk^2\sin\alpha\cos\alpha. 12k2sin⁡α\frac{1}{2}k^2\sin\alpha לוקחת את זווית הבסיס, שאינה בין שתי השוקיים. בדיקה: בסיס 2kcos⁡α2k\cos\alpha כפול גובה ksin⁡αk\sin\alpha חלקי 22 נותן אותו ביטוי.

Check the answer on elev

Exercise 3

75°75°ABC

במשולש ABCABC נתון AB=AC=8AB = AC = 8 וזוויות הבסיס 75∘75^\circ. מצאו את שטח המשולש.

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

S=k2sin⁡αcos⁡α=12k2sin⁡2α\begin{aligned}S &= k^2\sin\alpha\cos\alpha \\ &= \frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha\end{aligned}

הביטוי מהשאלה הקודמת

S=12⋅64⋅sin⁡150∘=32⋅12=16\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 64\cdot\sin 150^\circ \\ &= 32\cdot\frac{1}{2} \\ &= 16\end{aligned}

2α=150∘2\alpha=150^\circ

הזהות של הזווית הכפולה הופכת את sin⁡75∘cos⁡75∘\sin 75^\circ\cos 75^\circ לחצי sin⁡150∘\sin 150^\circ, מספר מדויק. מי שחישב 12⋅64sin⁡75∘≈30.9\frac{1}{2}\cdot 64\sin 75^\circ \approx 30.9 לקח את זווית הבסיס.

Check the answer on elev

Exercise 4

α2αABC

במשולש ABCABC נתון ∠B=α\angle B = \alpha, ∠C=2α\angle C = 2\alpha ו-AC=bAC = b. הביעו את ABAB באמצעות bb ו-α\alpha.

  1. bcos⁡αb\cos\alpha
  2. 2bsin⁡α2b\sin\alpha
  3. 2bcos⁡α2b\cos\alpha
  4. b2cos⁡α\frac{b}{2\cos\alpha}
Show the answer and the solution

Answer: C 2bcos⁡α2b\cos\alpha

Worked solution:

ABsin⁡2α=bsin⁡α\frac{AB}{\sin 2\alpha}=\frac{b}{\sin\alpha}

משפט הסינוסים: ABAB מול ∠C\angle C, ACAC מול ∠B\angle B

AB=b⋅2sin⁡αcos⁡αsin⁡α=2bcos⁡α\begin{aligned}AB &= \frac{b\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2b\cos\alpha\end{aligned}

זווית כפולה, וצמצום

הנכונה: 2bcos⁡α2b\cos\alpha. b2cos⁡α\frac{b}{2\cos\alpha} הפכה את היחס: הצלע הארוכה ABAB עומדת מול הזווית הגדולה 2α2\alpha.

Check the answer on elev

Exercise 5

α2αABC

באותו משולש (∠B=α\angle B = \alpha, ∠C=2α\angle C = 2\alpha) נתון AB=1.9 ACAB = 1.9\,AC. מצאו את ∠A\angle A במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 125.42

Worked solution:

2cos⁡α=1.9 ⇒ cos⁡α=0.95\begin{aligned}2\cos\alpha &= 1.9 \ \Rightarrow \ \cos\alpha \\ &= 0.95\end{aligned}

היחס מהשאלה הקודמת

α≈18.19∘\alpha \approx 18.19^\circ

פותרים

∠A=180∘−3α≈125.42∘\angle A=180^\circ-3\alpha \approx 125.42^\circ

סכום הזוויות

שאלו את ∠A\angle A, לא את α\alpha. מי שעצר ב-α\alpha ענה על שאלה אחרת. וחשוב לחשב את ∠A\angle A מ-α\alpha המלא, לא המעוגל.

Check the answer on elev

Exercise 6

β2βABC

במשולש ABCABC נתון ∠C=2∠B\angle C = 2\angle B. הוכיחו או הפריכו: ייתכן ש-AB=2.2 ACAB = 2.2\,AC.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

ABAC=sin⁡2βsin⁡β=2cos⁡β\begin{aligned}\frac{AB}{AC} &= \frac{\sin 2\beta}{\sin\beta} \\ &= 2\cos\beta\end{aligned}

משפט הסינוסים וזווית כפולה

2cos⁡β≤2<2.22\cos\beta \leq 2<2.2

קוסינוס לא עולה על 11

הטענה לא נכונה. היחס תמיד קטן מ-22. «האם ייתכן» בבגרות נבדק בדיוק כך: כותבים את הנתון כמשוואה ובודקים אם יש לה פתרון.

Check the answer on elev

Exercise 7

100°ABC

במשולש ABCABC נתון AB=AC=5AB = AC = 5 ו-∠BAC=100∘\angle BAC = 100^\circ. מצאו את BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 7.66

Worked solution:

BC2=2⋅25−2⋅25cos⁡100∘=50(1−cos⁡100∘)\begin{aligned}BC^2 &= 2\cdot 25-2\cdot 25\cos 100^\circ \\ &= 50(1-\cos 100^\circ)\end{aligned}

משפט הקוסינוסים

1−cos⁡100∘=2sin⁡250∘1-\cos 100^\circ=2\sin^2 50^\circ

זהות: 1−cos⁡x=2sin⁡2x21-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}

BC=10sin⁡50∘≈7.66BC=10\sin 50^\circ \approx 7.66

שורש

הכלל הכללי: בסיס של משולש שווה שוקיים עם שוק kk וזווית ראש α\alpha הוא 2ksin⁡α22k\sin\frac{\alpha}{2}. מי שקיבל 6.436.43 השתמש ב-cos⁡100∘\cos 100^\circ חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 8

αβABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו 1010. הזוויות ∠A=α\angle A = \alpha ו-∠B=β\angle B = \beta חדות, ונתון cos⁡α=0.8\cos\alpha = 0.8 ו-cos⁡β=513\cos\beta = \frac{5}{13}. מצאו את ABAB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 19.38

Worked solution:

sin⁡α=0.6sin⁡β=1213\begin{aligned}\sin\alpha &= 0.6 \\ \quad \sin\beta &= \frac{12}{13}\end{aligned}

sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1, והזוויות חדות

sin⁡∠C=sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\begin{aligned}\sin\angle C &= \sin(\alpha+\beta) \\ &= \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\end{aligned}

∠C=180∘−(α+β)\angle C=180^\circ-(\alpha+\beta)

sin⁡∠C=0.6⋅513+0.8⋅1213=12.613\begin{aligned}\sin\angle C &= 0.6\cdot\frac{5}{13}+0.8\cdot\frac{12}{13} \\ &= \frac{12.6}{13}\end{aligned}

מציבים

AB=2Rsin⁡∠C=25213≈19.38\begin{aligned}AB &= 2R\sin\angle C \\ &= \frac{252}{13} \approx 19.38\end{aligned}

משפט הסינוסים: ABAB מול ∠C\angle C

אין צורך למצוא את הזוויות עצמן: נוסחת הסינוס של סכום נותנת את sin⁡C\sin C ישר מהנתונים. מי שכתב sin⁡C=sin⁡α+sin⁡β\sin C=\sin\alpha+\sin\beta קיבל מספר גדול מ-11, וזה סימן שמשהו שבור.

Check the answer on elev

Exercise 9

30°45°ABC

במשולש ABCABC נתון ∠A=30∘\angle A = 30^\circ, ∠B=45∘\angle B = 45^\circ ו-BC=4BC = 4. תלמיד חישב את ABAB. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

∠C=105∘\angle C=105^\circ
sin⁡105∘=sin⁡60∘+sin⁡45∘\sin 105^\circ=\sin 60^\circ+\sin 45^\circ
AB=BCsin⁡105∘sin⁡30∘=8sin⁡105∘\begin{aligned}AB &= \frac{BC\sin 105^\circ}{\sin 30^\circ} \\ &= 8\sin 105^\circ\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: sin⁡105∘=sin⁡60∘+sin⁡45∘\sin 105^\circ=\sin 60^\circ+\sin 45^\circ → sin⁡105∘=sin⁡60∘cos⁡45∘+cos⁡60∘sin⁡45∘\sin 105^\circ=\sin 60^\circ\cos 45^\circ+\cos 60^\circ\sin 45^\circ

Worked solution:

sin⁡105∘=32⋅22+12⋅22=6+24\begin{aligned}\sin 105^\circ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{aligned}

סינוס של סכום

AB=2(6+2)≈7.73AB=2(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \approx 7.73

התוצאה הנכונה

הסינוס של סכום אינו סכום הסינוסים. השורה השגויה נותנת sin⁡105∘≈1.57>1\sin 105^\circ \approx 1.57>1, וזה בלתי אפשרי.

Check the answer on elev

Exercise 10

התאימו לכל ביטוי ביטוי שווה לו.

  • sin⁡(180∘−2α)\sin(180^\circ-2\alpha)
  • cos⁡(180∘−2α)\cos(180^\circ-2\alpha)
  • 1−cos⁡α1-\cos\alpha
  • sin⁡(90∘−α)\sin(90^\circ-\alpha)
  • −cos⁡2α-\cos 2\alpha
  • cos⁡α\cos\alpha
  • 2sin⁡αcos⁡α2\sin\alpha\cos\alpha
  • 2sin⁡2α22\sin^2\frac{\alpha}{2}
Show the answer and the solution

Answer: sin⁡(180∘−2α)\sin(180^\circ-2\alpha) — 2sin⁡αcos⁡α2\sin\alpha\cos\alpha · cos⁡(180∘−2α)\cos(180^\circ-2\alpha) — −cos⁡2α-\cos 2\alpha · 1−cos⁡α1-\cos\alpha — 2sin⁡2α22\sin^2\frac{\alpha}{2} · sin⁡(90∘−α)\sin(90^\circ-\alpha) — cos⁡α\cos\alpha

Worked solution:

sin⁡(180∘−x)=sin⁡xcos⁡(180∘−x)=−cos⁡x\begin{aligned}\sin(180^\circ-x) &= \sin x \\ \quad \cos(180^\circ-x) &= -\cos x\end{aligned}

זוויות משלימות

cos⁡α=1−2sin⁡2α2\cos\alpha=1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}

קוסינוס של זווית כפולה, עם α2\frac{\alpha}{2}

ארבע הזהויות שחוזרות בשאלה 5. הראשונה נותנת את שטח המשולש שווה השוקיים, והשלישית את הבסיס שלו: BC2=2k2(1−cos⁡α)=4k2sin⁡2α2BC^2=2k^2(1-\cos\alpha)=4k^2\sin^2\frac{\alpha}{2}.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade