Slope and the equation of a line · Analytic geometry: the straight line · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ישר במערכת צירים מתואר על ידי משוואה. כל נקודה שמקיימת את המשוואה נמצאת על הישר, וכל נקודה על הישר מקיימת אותה.

השיפוע

השיפוע $m$ אומר בכמה $y$ משתנה כאשר $x$ גדל ב- $1$ . זה קצב השינוי של הישר.

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

השיפוע בין $(1,\ 3)$ ל- $(4,\ 9)$

\begin{aligned}m &= \frac{9 - 3}{4 - 1} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

כל צעד ימינה, $2$ למעלה

m > 0

הישר עולה

m < 0

הישר יורד

m = 0

ישר אופקי: $y = n$

לישר אנכי אין שיפוע. המשוואה שלו היא $x = a$ .

משוואת הישר

הצורה המפורשת: $y = mx + n$ . המספר $n$ הוא נקודת החיתוך עם ציר $y$ . הצורה הסתומה: $ax + by + c = 0$ . כדי לעבור למפורשת, מבודדים את $y$ .

מסתומה למפורשת

$2x + y - 6 = 0$

y = -2x + 6

מעבירים אגף

\begin{aligned}m &= -2 \\ \ n &= 6\end{aligned}

ישר לפי שיפוע ונקודה

y - y_1 = m(x - x_1)

מדף הנוסחאות

$m = 3$ , דרך $(2,\ 1)$

מצאו את משוואת הישר.

y - 1 = 3(x - 2)

מציבים

y = 3x - 5

פותחים סוגריים

ישר דרך שתי נקודות

$(1,\ 3)$ ו- $(4,\ 9)$ .

m = 2

השיפוע מקודם

y - 3 = 2(x - 1)

נקודה אחת מהשתיים

y = 2x + 1

איך בודקים שהמשוואה נכונה?

Show the answer and the solution

מציבים את הנקודה השנייה: $2 \cdot 4 + 1 = 9$ ✓.

נקודות חיתוך

x = 0

חיתוך עם ציר $y$

y = 0

חיתוך עם ציר $x$

m_1x + n_1 = m_2x + n_2

חיתוך של שני ישרים: משווים

שני ישרים

$y = 2x + 1$ ו- $y = -x + 7$ .

2x + 1 = -x + 7

משווים

\begin{aligned}3x &= 6 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

y = 5

נקודת החיתוך $(2,\ 5)$

שתי טעויות בשיפוע ובמשוואה.

m = \frac{4 - 1}{9 - 3}

m = \frac{9 - 3}{4 - 1}

במונה ה- $y$ -ים, במכנה ה- $x$ -ים. ובאותו סדר בשניהם.

\begin{aligned}2x + y - 6 &= 0 \Rightarrow m \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}y &= -2x + 6 \Rightarrow m \\ &= -2\end{aligned}

השיפוע נקרא רק מהצורה המפורשת, אחרי שמבודדים את $y$ .

Exercises

Exercise 1

מצאו את השיפוע של הישר שעובר דרך $(2,\ 1)$ ו- $(6,\ 9)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{9 - 1}{6 - 2} &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

$m = 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

מצאו את השיפוע של הישר שעובר דרך $(-1,\ 5)$ ו- $(3,\ -3)$ .

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{-3 - 5}{3 - (-1)} &= \frac{-8}{4} \\ &= -2\end{aligned}

$m = -2$ : הישר יורד.

Check the answer on elev

Exercise 3

כתבו בצורה מפורשת: $3x - y + 4 = 0$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ 3 $x +$ 4

Worked solution:

y = 3x + 4

$m = 3$ , $n = 4$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

מצאו את משוואת הישר ששיפועו $-1$ והוא עובר דרך $(3,\ 2)$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ -1 $x +$ 5

Worked solution:

y - 2 = -1(x - 3)

y = -x + 5

$y = -x + 5$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

מצאו את משוואת הישר דרך $(0,\ -3)$ ו- $(2,\ 1)$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ 2 $x +$ -3

Worked solution:

\begin{aligned}m &= \frac{1 + 3}{2} \\ &= 2\end{aligned}

n = -3

החיתוך עם ציר $y$ נתון

$y = 2x - 3$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

מצאו את נקודות החיתוך של $y = -2x + 8$ עם הצירים.

עם ציר $x$ : ( ____ , 0 ) ; עם ציר $y$ : ( 0 , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: עם ציר $x$ : ( 4 , 0 ) ; עם ציר $y$ : ( 0 , 8 )

Worked solution:

\begin{aligned}0 &= -2x + 8 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 8\end{aligned}

$(4,\ 0)$ ו- $(0,\ 8)$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

מצאו את נקודת החיתוך של $y = x + 2$ ו- $y = -2x + 11$ .

( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: ( 3 , 5 )

Worked solution:

\begin{aligned}x + 2 &= -2x + 11 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

y = 5

$(3,\ 5)$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

מה משוואת הישר האופקי שעובר דרך $(4,\ -2)$ ?

$y = 4$
$y = -2$
$x = -2$
$x = 4$

Show the answer and the solution

Answer: B $y = -2$

Worked solution:

\begin{aligned}m &= 0 \Rightarrow y \\ &= n\end{aligned}

$y = -2$ . ישר אופקי: לכל נקודה עליו אותו $y$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

נכון או לא נכון: הנקודה $(2,\ 7)$ נמצאת על הישר $y = 3x + 1$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

3 \cdot 2 + 1 = 7

נכון.

Check the answer on elev

Exercise 10

מוצאים את הישר ששיפועו $2$ ועובר דרך $(1,\ -4)$ . איזו שורה שגויה?

y - (-4) = 2(x - 1)

y + 4 = 2x - 1

y = 2x - 5

Show the answer and the solution

Answer: $y + 4 = 2x - 1$ → $y + 4 = 2x - 2$

Worked solution:

2(x - 1) = 2x - 2

y = 2x - 6

בפתיחת הסוגריים צריך לכפול גם את $-1$ : $2x - 2$ . המשוואה הנכונה $y = 2x - 6$ .

Check the answer on elev

Exercise 11

מחיר נסיעה במונית: $12$ ש״ח פתיחה ו- $4$ ש״ח לכל ק״מ. המחיר הוא ישר $y = mx + n$ . מהו השיפוע $m$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

m = 4

קצב השינוי: ש״ח לכל ק״מ

$m = 4$ , ו- $n = 12$ . השיפוע הוא קצב השינוי.

Check the answer on elev

השיפוע

משוואת הישר

ישר לפי שיפוע ונקודה

נקודות חיתוך

Exercises

Keep practising on elev