Points, distances and midpoints · Analytic geometry: the straight line · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בגאומטריה אנליטית כל נקודה מקבלת כתובת: זוג מספרים $(x,\ y)$ . בעזרת הכתובות מחשבים מרחקים, אמצעים ושטחים, בלי סרגל.

המרחק בין שתי נקודות

ההפרש האופקי וההפרש האנכי בין שתי נקודות הם הניצבים של משולש ישר זווית. המרחק בין הנקודות הוא היתר. לכן משתמשים במשפט פיתגורס.

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

$A(1,\ 2)$ ו- $B(7,\ 10)$

מצאו את אורך הקטע $AB$ .

\begin{aligned}x_2 - x_1 &= 7 - 1 \\ &= 6\end{aligned}

ההפרש האופקי

\begin{aligned}y_2 - y_1 &= 10 - 2 \\ &= 8\end{aligned}

ההפרש האנכי

\begin{aligned}d &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

האורך

מה המרחק בין $(2,\ 5)$ ל- $(2,\ 11)$ ?

Show the answer and the solution

שתי הנקודות על אותו קו אנכי ( $x = 2$ ). המרחק הוא פשוט $11 - 5 = 6$ . הנוסחה נותנת אותו דבר: $\sqrt{0 + 36} = 6$ .

אמצע קטע

שיעורי האמצע הם הממוצע של שיעורי הקצוות: ממוצע ה- $x$ -ים וממוצע ה- $y$ -ים.

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

האמצע של $AB$

$A(1,\ 2)$ , $B(7,\ 10)$ .

\frac{1 + 7}{2} = 4

\frac{2 + 10}{2} = 6

M(4,\ 6)

קצה חסר

$M(4,\ 6)$ הוא אמצע הקטע $AC$ , ו- $A(1,\ 2)$ . מצאו את $C$ .

\begin{aligned}\frac{1 + x}{2} &= 4 \Rightarrow x \\ &= 7\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{2 + y}{2} &= 6 \Rightarrow y \\ &= 10\end{aligned}

C(7,\ 10)

אפשר גם: מ- $A$ ל- $M$ זזים $(+3,\ +4)$ , ושוב אותו צעד

איזה משולש זה?

כשמחשבים את שלוש הצלעות, אפשר לדעת אם משולש שווה שוקיים (שתי צלעות שוות) או ישר זווית (פיתגורס מתקיים).

A(-2,\ 1)

B(6,\ 1)

C(2,\ 7)

AC = BC = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}

: המשולש שווה שוקיים.

שתי טעויות במרחק ובאמצע.

\begin{aligned}d &= (7 - 1) + (10 - 2) \\ &= 14\end{aligned}

\begin{aligned}d &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

המרחק הוא יתר, לא סכום הניצבים.

M = \left(\frac{7 - 1}{2},\ \frac{10 - 2}{2}\right)

M = \left(\frac{7 + 1}{2},\ \frac{10 + 2}{2}\right)

באמצע מחברים את השיעורים. בהפרש משתמשים במרחק.

Exercises

Exercise 1

מצאו את המרחק בין $A(2,\ 3)$ ל- $B(5,\ 7)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}\sqrt{3^2 + 4^2} &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

$AB = 5$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

מצאו את המרחק בין $P(-1,\ 4)$ ל- $Q(11,\ -1)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

\begin{aligned}\sqrt{12^2 + (-5)^2} &= \sqrt{169} \\ &= 13\end{aligned}

$PQ = 13$ . ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 3

מצאו את אמצע הקטע שבין $A(3,\ -2)$ ל- $B(9,\ 6)$ .

$M =$ ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: $M =$ ( 6 , 2 )

Worked solution:

\frac{3 + 9}{2} = 6

\frac{-2 + 6}{2} = 2

$M(6,\ 2)$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

$M(2,\ 5)$ הוא אמצע הקטע $AB$ , ו- $A(-1,\ 3)$ . מצאו את $B$ .

$B =$ ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: $B =$ ( 5 , 7 )

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{-1 + x}{2} &= 2 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{3 + y}{2} &= 5 \Rightarrow y \\ &= 7\end{aligned}

$B(5,\ 7)$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

מה המרחק בין $(4,\ -3)$ ל- $(4,\ 6)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

6 - (-3) = 9

קו אנכי

$9$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

המשולש $A(0,\ 0)$ , $B(6,\ 0)$ , $C(3,\ 4)$ הוא:

שווה שוקיים
שווה צלעות
אף אחד מאלה
ישר זווית

Show the answer and the solution

Answer: A שווה שוקיים

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}BC &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

AB = 6

שווה שוקיים: $AC = BC = 5$ , ו- $AB = 6$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

מצאו את היקף המשולש $A(0,\ 0)$ , $B(6,\ 0)$ , $C(3,\ 4)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

5 + 5 + 6 = 16

$16$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

נכון או לא נכון: המשולש $A(1,\ 1)$ , $B(4,\ 1)$ , $C(4,\ 5)$ הוא ישר זווית.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= 3 \\ \ BC &= 4 \\ \ AC &= 5\end{aligned}

3^2 + 4^2 = 5^2

נכון. הזווית הישרה ב- $B$ : $AB$ אופקית ו- $BC$ אנכית.

Check the answer on elev

Exercise 9

מוצאים את המרחק בין $(2,\ -1)$ ל- $(8,\ 7)$ . איזו שורה שגויה?

8 - 2 = 6

7 - 1 = 6

d = \sqrt{36 + 36}

Show the answer and the solution

Answer: $7 - 1 = 6$ → $7 - (-1) = 8$

Worked solution:

\begin{aligned}d &= \sqrt{36 + 64} \\ &= 10\end{aligned}

ההפרש האנכי הוא $7 - (-1) = 8$ . המרחק הנכון $10$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

הנקודה $C(x,\ 0)$ על ציר $x$ , והמרחק שלה מ- $A(1,\ 4)$ הוא $5$ . מצאו את $x$ , כאשר $x > 1$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

(x - 1)^2 + 16 = 25

\begin{aligned}(x - 1)^2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

$x > 1$

$x = 4$ . (גם $x = -2$ במרחק $5$ , אבל הוא קטן מ- $1$ .)

Check the answer on elev

Exercise 11

שביל ישר בפארק מתחיל ב- $A(2,\ 1)$ ונגמר ב- $B(8,\ 9)$ (היחידות במאות מטרים). השלימו.

אורך השביל: ____ ; הספסל באמצע השביל: ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: אורך השביל: 10 ; הספסל באמצע השביל: ( 5 , 5 )

Worked solution:

\sqrt{36 + 64} = 10

M = (5,\ 5)

$10$ ו- $(5,\ 5)$ .

Check the answer on elev

המרחק בין שתי נקודות

אמצע קטע

איזה משולש זה?

Exercises

Keep practising on elev