The objective function · Linear programming · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הנגרייה מרוויחה $500$ ש״ח על ארון ו- $300$ ש״ח על שידה. פונקציית המטרה היא הרווח: $f = 500x + 300y$ . רוצים למצוא את הנקודה בתחום שבה $f$ הכי גדולה.

המקסימום נמצא בקודקוד

בתכנון ליניארי, הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של פונקציית המטרה מתקבלים תמיד בקודקודים של התחום. לכן מספיק להציב את הקודקודים.

התחום האפשרי (הצבוע):

x \ge 0

y \ge 0

x + y \le 10

2x + y \le 14

הרווח בכל קודקוד

$f = 500x + 300y$

O(0,\ 0):\ f = 0

A(7,\ 0):\ f = 3500

\begin{aligned}B(4,\ 6):\ f &= 2000 + 1800 \\ &= 3800\end{aligned}

C(0,\ 10):\ f = 3000

\max f = 3800\ \text{ב-}\ B

$4$ ארונות ו- $6$ שידות

למה לא לייצר רק ארונות, שהם הרווחיים יותר?

Show the answer and the solution

כי ארון דורש פי $2$ ימי עבודה. ב- $14$ ימים יוצאים רק $7$ ארונות ( $3{,}500$ ש״ח). שילוב נותן יותר.

מינימום בתחום פתוח

בבעיית הוצאות מחפשים מינימום. לפעמים התחום פתוח: הוא לא נסגר. אז יש מינימום, אבל אין מקסימום.

תחום פתוח: הוא ממשיך בלי סוף למעלה ולימין.

הדיאטה

עלות מנה א $4$ ש״ח, מנה ב $5$ ש״ח. $c = 4x + 5y$ , עם $x + 2y \ge 8$ ו- $3x + y \ge 9$ .

A(0,\ 9):\ c = 45

\begin{aligned}B(2,\ 3):\ c &= 8 + 15 \\ &= 23\end{aligned}

חיתוך שני האילוצים

C(8,\ 0):\ c = 32

\min c = 23

$2$ מנות א ו- $3$ מנות ב

שתי טעויות בפונקציית המטרה.

\max\ \text{בנקודה}\ (5,\ 5)

\max\ \text{בקודקוד}

בודקים רק קודקודים, ורק כאלה שבתחום.

\text{תחום פתוח}:\ \max = \ldots

\text{אין מקסימום}

בתחום פתוח אפשר להגדיל את $x$ ו- $y$ בלי סוף.

Exercises

Exercise 1

התחום האפשרי (הצבוע):

x \ge 0

y \ge 0

x + y \le 10

2x + y \le 14

נגרייה: $f = 500x + 300y$ . מה הרווח בקודקוד $(7,\ 0)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3500

Worked solution:

500 \cdot 7 = 3500

$3{,}500$ ש״ח.

Check the answer on elev

Exercise 2

אם הרווח היה $f = 300x + 400y$ באותו תחום, מה היה הרווח המקסימלי?

Show the answer and the solution

Answer: 4000

Worked solution:

\begin{aligned}A:\ 2100 \\ \ B:\ 1200 + 2400 &= 3600 \\ \ C:\ 4000\end{aligned}

$4{,}000$ ב- $C(0,\ 10)$ : עכשיו השידות רווחיות יותר.

Check the answer on elev

Exercise 3

תחום עם הקודקודים $(0,\ 0)$ , $(6,\ 0)$ , $(4,\ 3)$ , $(0,\ 5)$ , ופונקציית מטרה $f = 3x + 5y$ . השלימו.

המקסימום: ____ ; בנקודה: ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: המקסימום: 27 ; בנקודה: ( 4 , 3 )

Worked solution:

(6,\ 0):\ 18,\ (4,\ 3):\ 27,\ (0,\ 5):\ 25

$27$ ב- $(4,\ 3)$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

באותו תחום: המינימום של $g = 2x - y$ .

המינימום: ____ ; בנקודה: ( 0 , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: המינימום: -5 ; בנקודה: ( 0 , 5 )

Worked solution:

(0,\ 0):\ 0,\ (6,\ 0):\ 12,\ (4,\ 3):\ 5,\ (0,\ 5):\ -5

$-5$ ב- $(0,\ 5)$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

תחום פתוח: הוא ממשיך בלי סוף למעלה ולימין.

הדיאטה ( $c = 4x + 5y$ ): מה העלות בקודקוד $(8,\ 0)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 32

Worked solution:

32

$32$ ש״ח.

Check the answer on elev

Exercise 6

בתחום הפתוח של הדיאטה, מה אפשר לומר על העלות?

יש גם וגם
אין אף אחד
יש מינימום ואין מקסימום
יש מקסימום ואין מינימום

Show the answer and the solution

Answer: C יש מינימום ואין מקסימום

Worked solution:

\text{פתוח למעלה ולימין}

אפשר לקנות יותר ויותר, והעלות גדלה בלי גבול.

Check the answer on elev

Exercise 7

נכון או לא נכון: אם פונקציית המטרה מקבלת את אותו ערך מקסימלי בשני קודקודים סמוכים, היא מקבלת אותו ערך בכל הצלע ביניהם.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f\ \text{ליניארית}

נכון. אז יש אינסוף פתרונות אופטימליים.

Check the answer on elev

Exercise 8

הקודקודים $(0,\ 0)$ , $(10,\ 0)$ , $(6,\ 4)$ , $(0,\ 8)$ . פונקציית המטרה $f = 2x + 3y$ . מה המקסימום?

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

20,\ 24,\ 24

24

ב- $(6,\ 4)$ וב- $(0,\ 8)$

$24$ , בשני קודקודים.

Check the answer on elev

Exercise 9

מוצאים מקסימום של $f = 4x + y$ בקודקודים $(0,\ 0)$ , $(5,\ 0)$ , $(3,\ 4)$ , $(0,\ 6)$ . איזו שורה שגויה?

f(5,\ 0) = 20

\begin{aligned}f(3,\ 4) &= 12 + 4 \\ &= 16\end{aligned}

\max f = 16

Show the answer and the solution

Answer: $\max f = 16$ → $\max f = 20$

Worked solution:

20 > 16

המקסימום $20$ , ב- $(5,\ 0)$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

סדרו את שלבי הפתרון של בעיית תכנון ליניארי.

בוחרים את הערך הגדול או הקטן
כותבים את האילוצים
מוצאים את הקודקודים
מציבים כל קודקוד בפונקציית המטרה
מציירים את התחום

Show the answer and the solution

Answer: כותבים את האילוצים · מציירים את התחום · מוצאים את הקודקודים · מציבים כל קודקוד בפונקציית המטרה · בוחרים את הערך הגדול או הקטן

Worked solution:

\text{אילוצים} \to \text{תחום} \to \text{קודקודים} \to f

מציבים רק בקודקודים, ובוחרים לפי מה שהשאלה מבקשת: מקסימום או מינימום.

Check the answer on elev

המקסימום נמצא בקודקוד

מינימום בתחום פתוח

Exercises

Keep practising on elev