The z-score

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ציון התקן אומר כמה סטיות תקן נתון רחוק מהממוצע, ובאיזה כיוון. בנוסחאון מסמנים אותו באות zz.

z=x−xˉSz = \frac{x - \bar{x}}{S}

חייל בגובה 181181 ס״מ

הגובה של החיילים: ממוצע 172172 ס״מ, סטיית תקן 66 ס״מ. מהו ציון התקן של חייל בגובה 181181 ס״מ?

z=181−1726z = \frac{181 - 172}{6}

מציבים בנוסחה

z=96=1.5\begin{aligned}z &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

חצי סטיית תקן ועוד אחת

z>0z > 0

הנתון מעל הממוצע

z=0z = 0

הנתון שווה לממוצע

z<0z < 0

הנתון מתחת לממוצע

מהו ציון התקן של חייל בגובה 166166 ס״מ?

Show the answer and the solution

z=166−1726=−1z = \frac{166 - 172}{6} = -1. החייל נמוך מהממוצע בסטיית תקן אחת.

מציון התקן אל האחוז

כש-zz הוא כפולה של 0.50.5, מוצאים את האחוז בעקומה של הנוסחאון. z=1.5z = 1.5 פירושו השנתה xˉ+1.5S\bar{x} + 1.5S.

ציון 5858

ציוני מבחן: ממוצע 7070, סטיית תקן 88. כמה אחוזים מהתלמידים קיבלו פחות מ-5858?

z=58−708=−1.5\begin{aligned}z &= \frac{58 - 70}{8} \\ &= -1.5\end{aligned}

ציון התקן

0.5+1.5+5=70.5 + 1.5 + 5 = 7

הרצועות משמאל ל-z=−1.5z = -1.5

7%7\%

התשובה

השוואה בין שתי קבוצות

ציון 8282 במבחן קשה יכול להיות הישג גדול יותר מציון 8888 במבחן קל. ציון התקן משווה כל נתון לקבוצה שלו.

מי הצליח יותר?

נועה: 8282, ממוצע 7070, סטיית תקן 88. איתי: 8888, ממוצע 8080, סטיית תקן 1010.

zנועה=82−708=1.5\begin{aligned}z_{\text{נועה}} &= \frac{82 - 70}{8} \\ &= 1.5\end{aligned}
zאיתי=88−8010=0.8\begin{aligned}z_{\text{איתי}} &= \frac{88 - 80}{10} \\ &= 0.8\end{aligned}
1.5>0.81.5 > 0.8

נועה הצליחה יותר ביחס לקבוצה שלה

ומה אם מדובר בזמני ריצה, שבהם זמן קצר הוא טוב?

Show the answer and the solution

אז ציון התקן הקטן יותר הוא ההישג הטוב יותר. z=−2z = -2 אומר שהרץ מהיר מהממוצע בשתי סטיות תקן.

מציון התקן אל הערך

x=xˉ+z⋅Sx = \bar{x} + z \cdot S

z=−2z = -2

אורך חיי נורה: ממוצע 500500 שעות, סטיית תקן 4040. לנורה מסוימת z=−2z = -2. כמה שעות היא פעלה?

x=500+(−2)⋅40x = 500 + (-2) \cdot 40
x=420x = 420

שעות

שתי טעויות בנוסחה.

z=xˉ−xSz = \frac{\bar{x} - x}{S}
z=x−xˉSz = \frac{x - \bar{x}}{S}

קודם הנתון, אחר כך הממוצע. אחרת הסימן מתהפך, ונתון מעל הממוצע יקבל zz שלילי.

z=x−xˉz = x - \bar{x}
z=x−xˉSz = \frac{x - \bar{x}}{S}

ההפרש לבד הוא ביחידות של הנתונים. רק אחרי החלוקה ב-SS מקבלים מספר סטיות תקן.

Exercises

Exercise 1

ציוני מבחן: ממוצע 7070, סטיית תקן 1010. מהו ציון התקן של ציון 8585?

Show the answer and the solution

Answer: 1.5

Worked solution:

z=85−7010=1510=1.5\begin{aligned}z &= \frac{85 - 70}{10} \\ &= \frac{15}{10} \\ &= 1.5\end{aligned}

z=1.5z = 1.5: הציון גבוה מהממוצע באחת וחצי סטיות תקן.

Check the answer on elev

Exercise 2

משקל תינוקות בלידה: ממוצע 3,2003{,}200 גרם, סטיית תקן 400400 גרם. מהו ציון התקן של תינוק שנולד במשקל 2,6002{,}600 גרם?

Show the answer and the solution

Answer: -1.5

Worked solution:

z=2600−3200400=−600400=−1.5\begin{aligned}z &= \frac{2600 - 3200}{400} \\ &= \frac{-600}{400} \\ &= -1.5\end{aligned}

z=−1.5z = -1.5. הסימן השלילי אומר שהתינוק קל מהממוצע.

Check the answer on elev

Exercise 3

בהתפלגות עם ממוצע 6060 וסטיית תקן 77, לנתון מסוים ציון תקן 22. מהו הנתון?

Show the answer and the solution

Answer: 74

Worked solution:

x=60+2⋅7=74\begin{aligned}x &= 60 + 2 \cdot 7 \\ &= 74\end{aligned}

x=xˉ+z⋅Sx = \bar{x} + z \cdot S

x=74x = 74.

Check the answer on elev

Exercise 4

דנה קיבלה 8080 במתמטיקה (ממוצע הכיתה 7070, סטיית תקן 55) ו-8585 באנגלית (ממוצע 7575, סטיית תקן 1010). באיזה מקצוע היא הצליחה יותר ביחס לכיתה?

  1. באותה מידה, כי בשניהם 1010 נקודות מעל הממוצע
  2. באנגלית, כי הציון גבוה יותר
  3. באנגלית
  4. במתמטיקה
Show the answer and the solution

Answer: D במתמטיקה

Worked solution:

z1=80−705=2\begin{aligned}z_1 &= \frac{80 - 70}{5} \\ &= 2\end{aligned}

מתמטיקה

z2=85−7510=1\begin{aligned}z_2 &= \frac{85 - 75}{10} \\ &= 1\end{aligned}

אנגלית

2>12 > 1

במתמטיקה. בשני המקצועות דנה גבוהה ב-1010 נקודות מהממוצע, אבל במתמטיקה 1010 נקודות הן שתי סטיות תקן.

Check the answer on elev

Exercise 5

כמה אחוזים מהנתונים נמצאים מעל נתון שציון התקן שלו z=1z = 1?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

z=1⇒xˉ+Sz = 1 \Rightarrow \bar{x} + S
9+5+1.5+0.5=169 + 5 + 1.5 + 0.5 = 16

16%16\%.

Check the answer on elev

Exercise 6

כמה אחוזים מהנתונים נמצאים מתחת לנתון שציון התקן שלו z=0.5z = 0.5?

Show the answer and the solution

Answer: 69

Worked solution:

50+19=6950 + 19 = 69

חצי העקומה ועוד רצועה

69%69\%.

Check the answer on elev

Exercise 7

מספר הדקות שתלמידים קוראים ביום מתפלג נורמלית עם ממוצע 4040 וסטיית תקן 44. השלימו.

ציון התקן של 4646 דקות: ____ ; הנתון שציון התקן שלו −1-1: ____ ; אחוז התלמידים שקוראים פחות מ-4646 דקות: ____%

Show the answer and the solution

Answer: ציון התקן של 4646 דקות: 1.5 ; הנתון שציון התקן שלו −1-1: 36 ; אחוז התלמידים שקוראים פחות מ-4646 דקות: 93%

Worked solution:

z=46−404=1.5\begin{aligned}z &= \frac{46 - 40}{4} \\ &= 1.5\end{aligned}
x=40−4=36\begin{aligned}x &= 40 - 4 \\ &= 36\end{aligned}
50+19+15+9=9350 + 19 + 15 + 9 = 93

אחרי שמוצאים את zz, האחוז נקרא מהעקומה.

Check the answer on elev

Exercise 8

נכון או לא נכון: נתון שציון התקן שלו 00 שווה לממוצע.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

0=x−xˉS⇒x=xˉ\begin{aligned}0 &= \frac{x - \bar{x}}{S} \Rightarrow x \\ &= \bar{x}\end{aligned}

נכון. המונה מתאפס רק כאשר x=xˉx = \bar{x}.

Check the answer on elev

Exercise 9

התאימו כל ציון תקן לתיאור שלו.

  • z=0z = 0
  • z=2z = 2
  • z=−1z = -1
  • z=0.5z = 0.5
  • חצי סטיית תקן מעל הממוצע
  • סטיית תקן אחת מתחת לממוצע
  • שווה לממוצע
  • שתי סטיות תקן מעל הממוצע
Show the answer and the solution

Answer: z=0z = 0 — שווה לממוצע · z=2z = 2 — שתי סטיות תקן מעל הממוצע · z=−1z = -1 — סטיית תקן אחת מתחת לממוצע · z=0.5z = 0.5 — חצי סטיית תקן מעל הממוצע

Worked solution:

z=מספר סטיות התקןz = \text{מספר סטיות התקן}

הסימן אומר את הכיוון

המספר אומר כמה, והסימן אומר לאיזה צד.

Check the answer on elev

Exercise 10

בהתפלגות עם ממוצע 8080, לציון 9090 יש ציון תקן 22. מהי סטיית התקן?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

2=90−80S2 = \frac{90 - 80}{S}
S=102=5\begin{aligned}S &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

S=5S = 5.

Check the answer on elev

Exercise 11

זמן נסיעה: ממוצע 4545 דקות, סטיית תקן 66. רוצים את ציון התקן של נסיעה בת 3636 דקות. איזו שורה שגויה?

z=36−456z = \frac{36 - 45}{6}
z=96z = \frac{9}{6}
z=1.5z = 1.5
Show the answer and the solution

Answer: z=96z = \frac{9}{6} → z=−96=−1.5z = \frac{-9}{6} = -1.5

Worked solution:

36−45=−936 - 45 = -9

הנתון קטן מהממוצע

בשורה השנייה הסימן אבד. 36<4536 < 45, לכן ציון התקן שלילי: −1.5-1.5.

Check the answer on elev

Exercise 12

מיינו את התלמידים: מי מעל ממוצע הכיתה, ומי מתחתיו?

  • מעל הממוצע
  • מתחת לממוצע
  • אורי, z=1.2z = 1.2
  • ליה, z=−2z = -2
  • מאיה, z=−0.5z = -0.5
  • שחר, z=0.3z = 0.3
  • תום, z=2.4z = 2.4
Show the answer and the solution

Answer: אורי, z=1.2z = 1.2 — מעל הממוצע · מאיה, z=−0.5z = -0.5 — מתחת לממוצע · שחר, z=0.3z = 0.3 — מעל הממוצע · ליה, z=−2z = -2 — מתחת לממוצע · תום, z=2.4z = 2.4 — מעל הממוצע

Worked solution:

z>0⇒x>xˉz > 0 \Rightarrow x > \bar{x}

הסימן של zz מספיק כדי לדעת באיזה צד של הממוצע נמצא הנתון.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade