The exponential function · Powers and the exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

פונקציה מעריכית היא $f(x)=a^x$ . הבסיס $a$ הוא מספר חיובי ושונה מ- $1$ .

ההבדל מ- $y=x^2$ : שם $x$ הוא הבסיס. כאן $x$ נמצא במעריך.

2^{-2}=\frac{1}{4}

$x=-2$

2^{-1}=\frac{1}{2}

$x=-1$

2^{0}=1

$x=0$

2^{1}=2

$x=1$

2^{3}=8

$x=3$

למה דורשים $a>0$ ? ולמה $a \neq 1$ ?

Show the answer and the solution

עם בסיס שלילי החזקה לא תמיד מוגדרת: $(-4)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-4}$ לא קיים. ועם $a=1$ מקבלים $1^x=1$ לכל $x$ : פונקציה קבועה, לא מעריכית.

שני סוגים של גרפים

f(x)=2^x

עולה, ו-

g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x

יורדת. שני הגרפים עוברים ב-

(0,1)

, ושניהם מתקרבים לציר ה-

x

בלי לגעת בו.

a>1

הפונקציה עולה בכל התחום. למשל $2^x$ , $3^x$ , $1.5^x$

0<a<1

הפונקציה יורדת בכל התחום. למשל $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ , $0.3^x$

האם $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ עולה או יורדת? ומה עם $y=3^{-x}$ ?

Show the answer and the solution

שתיהן יורדות, וזו אותה פונקציה: $3^{-x}=\left(3^{-1}\right)^x=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ .

התכונות המשותפות

x \in \mathbb{R}

תחום ההגדרה: כל $x$

a^x>0

הגרף כולו מעל ציר ה- $x$ , ואין חיתוך איתו

(0,\,1)

החיתוך עם ציר ה- $y$ , כי $a^0=1$

y=0

אסימפטוטה אופקית: משמאל כאשר $a>1$ , מימין כאשר $0<a<1$

Interactive activity

איזה גרף מתאר את $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ ?

בדקו שלוש תכונות: האם הגרף עולה או יורד, האם הוא חיובי תמיד, ומה הערך ב- $x=-1$ . ואז לחצו על הגרף המתאים.

Show the answer and the solution

לא. הגרף I עולה. הבסיס $\frac{1}{2}$ קטן מ- $1$ , ולכן הפונקציה יורדת.

נכון. הגרף יורד, תמיד מעל ציר ה- $x$ , עובר ב- $(0,1)$ , וב- $x=-1$ הערך הוא $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2$ .

לא. זה ישר, והוא חותך את ציר ה- $x$ ב- $(2,0)$ . פונקציה מעריכית חיובית תמיד ולא חותכת את ציר ה- $x$ .

כמעט. הגרף יורד ועובר ב- $(0,1)$ . אבל ב- $x=-1$ הערך שלו $4$ , ולא $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2$ . זה $y=\left(\frac{1}{4}\right)^x$ .

נכון. הגרף יורד, תמיד מעל ציר ה- $x$ , עובר ב- $(0,1)$ , וב- $x=-1$ הערך הוא $2$ .

שני גרפים יורדים עוברים ב- $(0,1)$ . נקודה נוספת מבדילה ביניהם.

Do the activity on elev

כמה נקודות חיתוך יש לגרף של $y=5^x$ עם ציר ה- $x$ ?

Show the answer and the solution

אף אחת. $5^x>0$ לכל $x$ , ולכן אין $x$ שבו $5^x=0$ . הגרף רק מתקרב לציר ה- $x$ .

להשוות חזקות לפי הגרף

כאשר $a>1$ הפונקציה עולה: מעריך גדול יותר נותן ערך גדול יותר. כאשר $0<a<1$ זה הפוך.

a>1:\ \ x_1<x_2 \iff a^{x_1}<a^{x_2} \qquad 0<a<1:\ \ x_1<x_2 \iff a^{x_1}>a^{x_2}

מה גדול יותר?

משווים את המעריכים, ובודקים את הבסיס.

0.7^{2.5} \ \ ? \ \ 0.7^{3}

הבסיס $0.7<1$ : הפונקציה יורדת

2.5<3 \ \Rightarrow \ 0.7^{2.5}>0.7^{3}

מעריך קטן יותר נותן ערך גדול יותר

\begin{aligned}4^{0.3} &= \left(2^2\right)^{0.3} \\ &= 2^{0.6}\end{aligned}

בזוג אחר: קודם אותו בסיס

0.5<0.6 \ \Rightarrow \ 2^{0.5}<2^{0.6}=4^{0.3}

הבסיס $2>1$ : הסדר נשמר

מה גדול יותר: $3^{-2}$ או $3^{-3}$ ?

Show the answer and the solution

$3^{-2}$ . הבסיס $3>1$ , ו- $-2>-3$ . ובמספרים: $\frac{1}{9}>\frac{1}{27}$ .

כל הגרפים של $y=a^x$ נפגשים בנקודה אחת: $(0,1)$ . זו הנקודה הראשונה שמסמנים בכל סקיצה.

שלוש טעויות שחוזרות.

2^{0}=0

2^{0}=1

הגרף חותך את ציר ה- $y$ ב- $(0,1)$ , לא בראשית.

2^{-3}<0

2^{-3}=\frac{1}{8}>0

מעריך שלילי נותן ערך קטן, אבל חיובי. הגרף לא יורד מתחת לציר.

0.5^{4}>0.5^{2}

0.5^{4}<0.5^{2}

בבסיס קטן מ- $1$ מעריך גדול נותן ערך קטן: $\frac{1}{16}<\frac{1}{4}$ .

Exercises

Exercise 1

איזו מהפונקציות היא פונקציה מעריכית יורדת?

$y=x^{\frac{2}{3}}$
$y=\left(\frac{3}{2}\right)^x$
$y=1^x$
$y=\left(\frac{2}{3}\right)^x$

Show the answer and the solution

Answer: D $y=\left(\frac{2}{3}\right)^x$

Worked solution:

0<\frac{2}{3}<1

בסיס בין $0$ ל- $1$ : יורדת

הנכונה: $\left(\frac{2}{3}\right)^x$ . $\left(\frac{3}{2}\right)^x$ עולה. $x^{\frac{2}{3}}$ היא חזקה של $x$ , לא פונקציה מעריכית. $1^x$ קבועה.

Check the answer on elev

Exercise 2

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה $y=1.2^x$ עולה בכל התחום.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

a=1.2>1

הבסיס גדול מ- $1$

הטענה נכונה. בסיס גדול מ- $1$ , גם אם הוא קרוב ל- $1$ , נותן פונקציה עולה. היא רק עולה לאט.

Check the answer on elev

Exercise 3

הגרף של $f(x)=a^x$ עובר בנקודה $(2,\,9)$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

a^2=9

מציבים $x=2$

a=3

$a=-3$ נפסל: הבסיס חיובי

$a=3$ . גם $(-3)^2=9$ , אבל בסיס של פונקציה מעריכית חייב להיות חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה $f(x)=a^x$ , ו- $f(3)=\frac{1}{8}$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

a^3=\frac{1}{8}

מציבים $x=3$

\begin{aligned}a &= \sqrt[3]{\frac{1}{8}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שורש שלישי

$a=0.5$ . מי שקיבל $-2$ בלבל: $(-2)^3=-8$ , לא $\frac{1}{8}$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $f(x)=4^x$ . השלימו.

החיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,$ ____ $)$ ; $f(-1)=$ ____ ; $f\left(\frac{1}{2}\right)=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: החיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,$ 1 $)$ ; $f(-1)=$ 0.25 ; $f\left(\frac{1}{2}\right)=$ 2

Worked solution:

4^0=1

החיתוך עם ציר ה- $y$

\begin{aligned}4^{-1} &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

מעריך שלילי

\begin{aligned}4^{\frac{1}{2}} &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

מעריך חצי: שורש

שלושה ערכים, שלושה חוקים. $f(-1)$ הוא $0.25$ , לא $-4$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

מיינו את הפונקציות: עולות או יורדות?

עולה
יורדת

$y=\left(\frac{1}{3}\right)^{-x}$
$y=\left(\frac{5}{4}\right)^x$
$y=0.4^x$
$y=10^{-x}$
$y=2^{-x}$
$y=3^x$

Show the answer and the solution

Answer: $y=3^x$ — עולה · $y=0.4^x$ — יורדת · $y=\left(\frac{5}{4}\right)^x$ — עולה · $y=2^{-x}$ — יורדת · $y=\left(\frac{1}{3}\right)^{-x}$ — עולה · $y=10^{-x}$ — יורדת

Worked solution:

\begin{aligned}2^{-x} &= \left(\frac{1}{2}\right)^x \qquad \left(\frac{1}{3}\right)^{-x} \\ &= 3^x\end{aligned}

כותבים כל פונקציה בצורה $a^x$

מינוס במעריך הופך את הבסיס: $10^{-x}=0.1^x$ יורדת, ו- $\left(\frac{1}{3}\right)^{-x}=3^x$ עולה.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה $f(x)=2^x$ . חשבו את $f(-3)+f(3)$ . כתבו מספר עשרוני.

Show the answer and the solution

Answer: 8.125

Worked solution:

\begin{aligned}f(-3) &= 2^{-3} \\ &= \frac{1}{8} \\ &= 0.125\end{aligned}

f(3)=8

0.125+8=8.125

$8.125$ . מי שקיבל $0$ חשב $f(-3)=-8$ : מעריך שלילי לא נותן ערך שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 8

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה $y=3^x$ ?

Show the answer and the solution

Answer: B I

Worked solution:

3>1

הפונקציה עולה

3^x>0

הגרף מעל ציר ה- $x$

3^0=1

עובר ב- $(0,1)$

הנכון: I. II יורד. III מתחת לציר. IV עובר בראשית ויורד מתחת לציר: זה $x^3$ , לא $3^x$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

הוכיחו או הפריכו: לכל $a>0$ , $a \neq 1$ , יש $x$ שבו $a^x=0$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

a^x>0

לכל $x$

הטענה לא נכונה. $a^x$ חיובי תמיד. הגרף רק מתקרב לישר $y=0$ , ולכן $y=0$ הוא אסימפטוטה.

Check the answer on elev

Exercise 10

סדרו מהקטן לגדול. רמז: כתבו הכול כחזקה של $2$ .

$\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$
$2^{-1}$
$2^{0.5}$
$2^{1.5}$
$4^{0}$

Show the answer and the solution

Answer: $2^{-1}$ · $4^{0}$ · $2^{0.5}$ · $2^{1.5}$ · $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$

Worked solution:

\begin{aligned}4^0 &= 2^0 \qquad \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \\ &= 2^{3}\end{aligned}

הכול בבסיס $2$

-1<0<0.5<1.5<3

הבסיס $2>1$ : הסדר של המעריכים הוא סדר המספרים

אין צורך במחשבון. בבסיס גדול מ- $1$ משווים רק את המעריכים.

Check the answer on elev

Exercise 11

מה נכון לגבי המספרים $0.6^{-2}$ ו- $0.6^{-1}$ ?

$0.6^{-2}<0.6^{-1}$
$0.6^{-2}>0.6^{-1}$
$0.6^{-2}=0.6^{-1}$
אי אפשר לדעת בלי מחשבון

Show the answer and the solution

Answer: B $0.6^{-2}>0.6^{-1}$

Worked solution:

0<0.6<1

הפונקציה $0.6^x$ יורדת

-2<-1 \ \Rightarrow \ 0.6^{-2}>0.6^{-1}

מעריך קטן יותר נותן ערך גדול יותר

הנכונה: $0.6^{-2}>0.6^{-1}$ . בדיקה: $\frac{1}{0.36}\approx 2.78$ ו- $\frac{1}{0.6}\approx 1.67$ .

Check the answer on elev

שני סוגים של גרפים

התכונות המשותפות

להשוות חזקות לפי הגרף

Exercises

Keep practising on elev