Two processes: when are they equal?

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשאלת הבגרות יש בדרך כלל שני תהליכים. אחד גדל ואחד קטן, או ששניהם גדלים באחוזים שונים.

השאלה שחוזרת: מתי הם שווים? ואחריה: מי גדול יותר, ומתי אחד גדול פי כמה מהשני.

שני גרפים, נקודת חיתוך אחת

באגם א׳ יש 12001200 דגים, ומספרם קטן ב-10%10\% בכל שבוע. באגם ב׳ יש 300300 דגים, ומספרם גדל ב-20%20\% בכל שבוע.

שני אגמים
0123456780200400600800100012001400שבועותדגים
  • אגם א׳: A(t)=1200⋅0.9tA(t)=1200\cdot 0.9^t
  • אגם ב׳: B(t)=300⋅1.2tB(t)=300\cdot 1.2^t
הגרפים נחתכים כעבור קצת פחות מ-5 שבועות. לפני החיתוך יש יותר דגים באגם א׳, ואחריו באגם ב׳.

איזה גרף מתאר את אגם ב׳? איך יודעים בלי לקרוא את המקרא?

Show the answer and the solution

הגרף העולה, שיוצא מ-300300: q=1.2>1q=1.2>1, ו-B(0)=300B(0)=300.

מתי שווים? משוואה אחת

משווים את שני הביטויים. מעבירים את החזקות לצד אחד ואת המספרים לצד השני.

חזקות עם אותו מעריך מתחלקות יחד: ptrt=(pr)t\frac{p^t}{r^t}=\left(\frac{p}{r}\right)^t.

a⋅pt=b⋅rt ⇒ (pr)t=ba\begin{aligned}a\cdot p^t &= b\cdot r^t \ \Rightarrow \ \left(\frac{p}{r}\right)^t \\ &= \frac{b}{a}\end{aligned}

מתי באגמים מספר שווה של דגים?

A(t)=1200⋅0.9tA(t)=1200\cdot 0.9^t ו-B(t)=300⋅1.2tB(t)=300\cdot 1.2^t.

1200⋅0.9t=300⋅1.2t1200\cdot 0.9^t=300\cdot 1.2^t

משווים

1200300=1.2t0.9t ⇒ 4=(43)t\begin{aligned}\frac{1200}{300} &= \frac{1.2^t}{0.9^t} \ \Rightarrow \ 4 \\ &= \left(\frac{4}{3}\right)^t\end{aligned}

מחלקים ב-300300 וב-0.9t0.9^t

t=log⁡4log⁡43≈4.82t=\frac{\log 4}{\log\frac{4}{3}}\approx 4.82

שבועות

כמה דגים יש בכל אגם ברגע השוויון?

Show the answer and the solution

מציבים באחד מהם: 1200⋅0.94.82≈7221200\cdot 0.9^{4.82}\approx 722. בשני האגמים אותו מספר, וזו דרך טובה לבדוק את tt.

שתי טעויות בשוויון.

(1.2−0.9)t=4\left(1.2-0.9\right)^t=4
(1.20.9)t=4\left(\frac{1.2}{0.9}\right)^t=4

חזקות עם אותו מעריך מחלקים, לא מחסירים.

20%+10%=30% ⇒ 1.3t=4\begin{aligned}20\%+10\% &= 30\% \ \Rightarrow \ 1.3^t \\ &= 4\end{aligned}
1.20.9=43\frac{1.2}{0.9}=\frac{4}{3}

הפער בין התהליכים הוא מנה של המכפילים, לא סכום של אחוזים.

פי kk

« מתי באגם ב׳ יהיו פי 2 דגים מאשר באגם א׳? » כותבים B(t)=2⋅A(t)B(t)=2\cdot A(t). ה-22 מכפיל את הכמות הקטנה.

פי 2

מתי באגם ב׳ יהיו פי 2 דגים מאשר באגם א׳?

300⋅1.2t=2⋅1200⋅0.9t300\cdot 1.2^t=2\cdot 1200\cdot 0.9^t
(43)t=2400300=8\begin{aligned}\left(\frac{4}{3}\right)^t &= \frac{2400}{300} \\ &= 8\end{aligned}
t=log⁡8log⁡43≈7.23t=\frac{\log 8}{\log\frac{4}{3}}\approx 7.23

שבועות

איפה שמים את ה-22?

2⋅300⋅1.2t=1200⋅0.9t2\cdot 300\cdot 1.2^t=1200\cdot 0.9^t
300⋅1.2t=2⋅1200⋅0.9t300\cdot 1.2^t=2\cdot 1200\cdot 0.9^t

« ב׳ פי 2 מ-א׳ » אומר שצריך להכפיל את א׳ כדי להגיע ל-ב׳.

תהליך בשני שלבים

לפעמים אותה כמות עולה בתקופה אחת, ויורדת בתקופה שאחריה. המכפילים מוכפלים זה בזה.

עלייה של 20%20\% ואחריה ירידה של 20%20\%. האם חזרנו לנקודת ההתחלה?

Show the answer and the solution

לא. 1.2⋅0.8=0.961.2\cdot 0.8=0.96: ירדנו ב-4%4\%. והסדר לא משנה: גם 0.8⋅1.2=0.960.8\cdot 1.2=0.96.

בתהליך של שני שלבים: f=f(0)⋅q1t1⋅q2t2f=f(0)\cdot q_1^{t_1}\cdot q_2^{t_2}. השלב השני מתחיל מהכמות שבסוף הראשון.

Exercises

Exercise 1

בעיר א׳ גרים 50005000 תושבים, ומספרם גדל ב-10%10\% בכל שנה. בעיר ב׳ גרים 80008000 תושבים, ומספרם גדל ב-5%5\% בכל שנה. כעבור כמה שנים יהיה מספר התושבים בשתי הערים שווה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 10.1

Worked solution:

5000⋅1.1t=8000⋅1.05t5000\cdot 1.1^t=8000\cdot 1.05^t
(1.11.05)t=1.6\left(\frac{1.1}{1.05}\right)^t=1.6
t=log⁡1.6log⁡1.11.05≈10.10t=\frac{\log 1.6}{\log\frac{1.1}{1.05}}\approx 10.10

שנים

מי שכתב 1.05t=1.61.05^t=1.6 חיסר את האחוזים (10%−5%10\%-5\%). הפער הוא המנה 1.11.05≈1.0476\frac{1.1}{1.05}\approx 1.0476, ולא 1.051.05.

Check the answer on elev

Exercise 2

A(t)=500⋅1.3tA(t)=500\cdot 1.3^t ו-B(t)=4500⋅1.1tB(t)=4500\cdot 1.1^t. איזו משוואה מתארת « AA גדול פי 3 מ-BB »?

  1. 500⋅1.3t=4500⋅1.13t500\cdot 1.3^t=4500\cdot 1.1^{3t}
  2. 500⋅1.3t+3=4500⋅1.1t500\cdot 1.3^t+3=4500\cdot 1.1^t
  3. 3⋅500⋅1.3t=4500⋅1.1t3\cdot 500\cdot 1.3^t=4500\cdot 1.1^t
  4. 500⋅1.3t=3⋅4500⋅1.1t500\cdot 1.3^t=3\cdot 4500\cdot 1.1^t
Show the answer and the solution

Answer: D 500⋅1.3t=3⋅4500⋅1.1t500\cdot 1.3^t=3\cdot 4500\cdot 1.1^t

Worked solution:

A(t)=3⋅B(t)A(t)=3\cdot B(t)

ה-33 מכפיל את BB

האפשרות הראשונה. האפשרות השנייה אומרת « BB פי 3 מ-AA ». « פי 3 » הוא כפל של הכמות, לא של הזמן ולא תוספת.

Check the answer on elev

Exercise 3

f(t)=800⋅0.8tf(t)=800\cdot 0.8^t ו-g(t)=200⋅1.25tg(t)=200\cdot 1.25^t. מצאו את הכמות ברגע שבו f(t)=g(t)f(t)=g(t).

Show the answer and the solution

Answer: 400

Worked solution:

(1.250.8)t=4 ⇒ 1.5625t=4\begin{aligned}\left(\frac{1.25}{0.8}\right)^t &= 4 \ \Rightarrow \ 1.5625^t \\ &= 4\end{aligned}
1.5625=1.252 ⇒ (1.25t)2=4 ⇒ 1.25t=2\begin{aligned}1.5625 &= 1.25^2 \ \Rightarrow \ (1.25^t)^2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ 1.25^t \\ &= 2\end{aligned}
g(t)=200⋅2=400\begin{aligned}g(t) &= 200\cdot 2 \\ &= 400\end{aligned}

וגם f(t)=800⋅12=400f(t)=800\cdot\frac{1}{2}=400 ✓

השאלה שואלת על הכמות, לא על הזמן (t≈3.11t\approx 3.11). אחרי שמוצאים tt חייבים להציב.

Check the answer on elev

Exercise 4

קבעו אם הטענה נכונה: AA גדל ב-20%20\% בכל שנה, ו-BB קטן ב-20%20\% בכל שנה. לכן היחס AB\frac{A}{B} גדל ב-40%40\% בכל שנה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

1.20.8=1.5\frac{1.2}{0.8}=1.5

המכפיל של היחס

1.5 ⇒ +50%1.5 \ \Rightarrow \ +50\%

הטענה לא נכונה. היחס גדל ב-50%50\% בכל שנה. אחוזים של שני תהליכים לא מחברים: מחלקים את המכפילים.

Check the answer on elev

Exercise 5

במפעל א׳ מייצרים 100100 יחידות בחודש, והייצור גדל ב-30%30\% בכל חודש. במפעל ב׳ מייצרים 900900 יחידות בחודש, והייצור גדל ב-10%10\% בכל חודש. כעבור כמה חודשים הייצור שווה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 13.15

Worked solution:

100⋅1.3t=900⋅1.1t100\cdot 1.3^t=900\cdot 1.1^t
(1.31.1)t=9\left(\frac{1.3}{1.1}\right)^t=9
t=log⁡9log⁡1.31.1≈13.15t=\frac{\log 9}{\log\frac{1.3}{1.1}}\approx 13.15

חודשים

מי שחישב log⁡(1.3−1.1)\log(1.3-1.1) חיסר מכפילים בתוך הלוגריתם, וקיבל מכנה שלילי. נכון: log⁡1.3−log⁡1.1\log 1.3-\log 1.1, כלומר log⁡1.31.1\log\frac{1.3}{1.1}.

Check the answer on elev

Exercise 6

בשני המפעלים מהשאלה הקודמת (100⋅1.3t100\cdot 1.3^t ו-900⋅1.1t900\cdot 1.1^t): מאיזה חודש שלם הייצור במפעל א׳ גדול מהייצור במפעל ב׳?

Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

(1.31.1)t>9\left(\frac{1.3}{1.1}\right)^t>9
t>13.15t>13.15

1.31.1>1\frac{1.3}{1.1}>1: הכיוון נשמר

t=14t=14

החודש השלם הראשון

התשובה 1414, ולא 1313: בחודש ה-13 מפעל ב׳ עוד מוביל. מאיזה חודש — מעגלים למעלה.

Check the answer on elev

Exercise 7

שני תהליכים
(0, 600)(2, 384)(0, 150)(2, 216)0123450100200300400500600700שבועותכמות
  • ff
  • gg

בגרף שני תהליכים, ff ו-gg, מהצורה c⋅qtc\cdot q^t. השלימו לפי הנקודות המסומנות.

ff קטן ב- ____ אחוז בכל שבוע. gg גדל ב- ____ אחוז בכל שבוע. f(0)=f(0)= ____ , g(0)=g(0)= ____

Show the answer and the solution

Answer: ff קטן ב- 20 אחוז בכל שבוע. gg גדל ב- 20 אחוז בכל שבוע. f(0)=f(0)= 600 , g(0)=g(0)= 150

Worked solution:

qf2=384600=0.64 ⇒ qf=0.8\begin{aligned}q_f^2 &= \frac{384}{600} \\ &= 0.64 \ \Rightarrow \ q_f \\ &= 0.8\end{aligned}

−20%-20\%

qg2=216150=1.44 ⇒ qg=1.2\begin{aligned}q_g^2 &= \frac{216}{150} \\ &= 1.44 \ \Rightarrow \ q_g \\ &= 1.2\end{aligned}

+20%+20\%

f(0)=600 g(0)=150\begin{aligned}f(0) &= 600 \\ \ g(0) &= 150\end{aligned}

החיתוך עם הציר האנכי

הנקודות נמצאות ב-t=2t=2, ולכן מוציאים שורש ריבועי. מי שחילק את 384600\frac{384}{600} ב-22 קיבל 0.320.32, מכפיל של ירידה של 68%68\%.

Check the answer on elev

Exercise 8

שני תהליכים
(0, 600)(2, 384)(0, 150)(2, 216)0123450100200300400500600700שבועותכמות
  • ff
  • gg

אלה אותם שני תהליכים: f(t)=600⋅0.8tf(t)=600\cdot 0.8^t ו-g(t)=150⋅1.2tg(t)=150\cdot 1.2^t. כעבור כמה שבועות f(t)=g(t)f(t)=g(t)?

  1. 1.51.5
  2. 44
  3. 22
  4. 3.423.42
Show the answer and the solution

Answer: D 3.423.42

Worked solution:

(1.20.8)t=600150 ⇒ 1.5t=4\begin{aligned}\left(\frac{1.2}{0.8}\right)^t &= \frac{600}{150} \ \Rightarrow \ 1.5^t \\ &= 4\end{aligned}
t=log⁡4log⁡1.5≈3.42t=\frac{\log 4}{\log 1.5}\approx 3.42

שבועות

3.423.42. t=2t=2 הוא רק הזמן של הנקודות המסומנות: שם 384>216384>216, ו-ff עוד מעל gg. 1.51.5 הוא המכפיל של היחס, לא הזמן.

Check the answer on elev

Exercise 9

נועה מחפשת מתי 2000⋅0.9t=500⋅1.1t2000\cdot 0.9^t=500\cdot 1.1^t. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

2000⋅0.9t=500⋅1.1t2000\cdot 0.9^t=500\cdot 1.1^t
2000500=1.1t0.9t\frac{2000}{500}=\frac{1.1^t}{0.9^t}
4=(1.1−0.9)t=0.2t\begin{aligned}4 &= (1.1-0.9)^t \\ &= 0.2^t\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 4=(1.1−0.9)t=0.2t4=(1.1-0.9)^t=0.2^t → 4=(1.10.9)t4=\left(\frac{1.1}{0.9}\right)^t

Worked solution:

1.1t0.9t=(1.10.9)t\frac{1.1^t}{0.9^t}=\left(\frac{1.1}{0.9}\right)^t

מנה של חזקות עם אותו מעריך

t=log⁡4log⁡1.10.9≈6.91t=\frac{\log 4}{\log\frac{1.1}{0.9}}\approx 6.91

בשורה 3 חיסרו את הבסיסים. סימן לטעות: 0.2t0.2^t קטן כש-tt גדל, ולא יכול להגיע ל-44.

Check the answer on elev

Exercise 10

מחיר של דירה היה 400400 אלף ש״ח. במשך שנתיים הוא עלה ב-25%25\% בכל שנה. אחר כך, במשך 3 שנים, הוא ירד ב-20%20\% בכל שנה. מה מחיר הדירה בסוף, באלפי ש״ח?

Show the answer and the solution

Answer: 320

Worked solution:

400⋅1.252=625400\cdot 1.25^2=625

אחרי שתי שנים של עלייה

625⋅0.83=320625\cdot 0.8^3=320

אחרי שלוש שנים של ירידה

המחיר לא חוזר ל-400400: 1.25⋅0.8=11.25\cdot 0.8=1, אבל היו שלוש שנות ירידה ורק שתיים של עלייה.

Check the answer on elev

Exercise 11

התאימו לכל שאלה את המשוואה או אי-השוויון שלה.

  • מתי AA ו-BB שווים?
  • מתי AA גדול פי 2 מ-BB?
  • מתי BB גדול פי 2 מ-AA?
  • מאיזה זמן AA גדול מ-BB?
  • A(t)=2B(t)A(t)=2B(t)
  • A(t)=B(t)A(t)=B(t)
  • A(t)>B(t)A(t)>B(t)
  • B(t)=2A(t)B(t)=2A(t)
Show the answer and the solution

Answer: מתי AA ו-BB שווים? — A(t)=B(t)A(t)=B(t) · מתי AA גדול פי 2 מ-BB? — A(t)=2B(t)A(t)=2B(t) · מתי BB גדול פי 2 מ-AA? — B(t)=2A(t)B(t)=2A(t) · מאיזה זמן AA גדול מ-BB? — A(t)>B(t)A(t)>B(t)

Worked solution:

A=2BA=2B

ה-22 מכפיל את הקטן

הבלבול הנפוץ: « AA פי 2 מ-BB » הוא A=2BA=2B, ולא 2A=B2A=B. הגדול שווה לקטן כפול 2.

Check the answer on elev

Exercise 12

A(t)=1000⋅1.2tA(t)=1000\cdot 1.2^t ו-B(t)=1000⋅0.8tB(t)=1000\cdot 0.8^t. פי כמה AA גדול מ-BB כעבור 5 שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 7.59

Worked solution:

A(5)B(5)=(1.20.8)5\frac{A(5)}{B(5)}=\left(\frac{1.2}{0.8}\right)^5

10001000 מצטמצם

1.55=7.593751.5^5=7.59375

התשובה לא 33 (1+5⋅0.41+5\cdot 0.4): היחס גדל פי 1.5 בכל שנה, ולכן 1.551.5^5.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade