Solving together · Growth and decay · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח שאלת הגדילה והדעיכה בבגרות. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל חישוב כותבים את המודל של כל תהליך: $f(0)$ , $q$ , ומה היחידה של $t$ . רוב הטעויות נולדות בשורה הזאת.

1 — שתי מדידות, ואחר כך הזמן

Interactive activity

מספר המשתמשים באפליקציה גדל באחוז קבוע בכל חודש. אחרי חודש אחד היו $2400$ משתמשים, ואחרי 3 חודשים היו $3456$ . א. מצאו את אחוז הגדילה החודשי. ב. כמה משתמשים היו בהתחלה? ג. כעבור כמה חודשים מההתחלה יהיו $10{,}000$ משתמשים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

\begin{aligned}f(1) &= 2400 \\ \quad f(3) &= 3456\end{aligned}

לחצו «להתחיל». סעיף א פותח את השאלה: בלי $q$ אין התחלה ואין זמן.

א. מנה

\begin{aligned}q^2 &= \frac{3456}{2400} \\ &= 1.44\end{aligned}

בין חודש 1 לחודש 3 עברו שני חודשים.

א. שורש

\begin{aligned}q &= \sqrt{1.44} \\ &= 1.2\end{aligned}

גדילה של $20\%$ בחודש.

ב. אחורה

\begin{aligned}f(0) &= \frac{2400}{1.2} \\ &= 2000\end{aligned}

חודש אחד אחורה: מחלקים ב- $q$ פעם אחת.

ג. משוואה

\begin{aligned}2000\cdot 1.2^t &= 10{,}000 \ \Rightarrow \ 1.2^t \\ &= 5\end{aligned}

המודל המלא: $f(t)=2000\cdot 1.2^t$ .

ג. לוגריתם

t=\frac{\log 5}{\log 1.2}\approx 8.83

חודשים מההתחלה.

סעיף ב נתן את $f(0)$ שסעיף ג צריך. מי שפתר את ג מ- $2400$ מדד את הזמן מחודש 1, ולא מההתחלה.

Do the activity on elev

אם בסעיף ג שואלים « כעבור כמה חודשים מהמדידה הראשונה », מה התשובה?

Show the answer and the solution

מחסירים חודש אחד: $8.83-1=7.83$ . או ישר: $2400\cdot 1.2^s=10{,}000$ , ו- $s=\frac{\log\frac{25}{6}}{\log 1.2}\approx 7.83$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — שתי מכוניות: מתי שוות, ומתי אחת זולה יותר

Interactive activity

שתי מכוניות

מכונית א׳ נקנתה ב- $150{,}000$ ש״ח, וערכה יורד ב- $15\%$ בכל שנה. מכונית ב׳ נקנתה באותו יום ב- $90{,}000$ ש״ח, וערכה יורד ב- $8\%$ בכל שנה. א. כעבור כמה שנים יהיה ערך המכוניות שווה? ב. מאיזו שנה שלמה ערך מכונית א׳ נמוך מערך מכונית ב׳?

איזו משוואה מתארת את סעיף א?

$150{,}000\cdot 0.85^t=90{,}000\cdot 0.92^t$

Show the answer and the solution

כל מכונית עם המודל שלה.

$150{,}000\cdot 0.15^t=90{,}000\cdot 0.08^t$

Show the answer and the solution

$0.15$ הוא החלק שהולך. המכפיל הוא מה שנשאר: $0.85$ .

150{,}000\cdot 0.85^t=90{,}000\cdot 0.92^t

המשוואה.

איך מעבירים לצורה $a^t=c$ ?

מחלקים ב- $150{,}000$ וב- $0.92^t$

Show the answer and the solution

החזקות לצד אחד, המספרים לצד השני.

מחסירים $0.92^t$ משני האגפים

Show the answer and the solution

שני האגפים הם מכפלות. חיסור לא יפריד את $t$ .

\begin{aligned}\left(\frac{0.85}{0.92}\right)^t &= \frac{90{,}000}{150{,}000} \\ &= 0.6\end{aligned}

מנה של חזקות עם אותו מעריך.

מה הזמן?

$t=\frac{\log 0.6}{\log\frac{0.85}{0.92}}\approx 6.45$

Show the answer and the solution

שני הלוגריתמים שליליים: המנה חיובית.

$t=\frac{\log 0.6}{\log 0.07}\approx 0.19$

Show the answer and the solution

חיסרו את המכפילים ( $0.92-0.85$ ). מחלקים אותם.

t\approx 6.45

סעיף א: כעבור $6.45$ שנים בערך.

סעיף ב: « א׳ נמוך מ-ב׳ ». מה הכיוון אחרי החילוק ב- $\log\frac{0.85}{0.92}$ ?

$t<6.45$

Show the answer and the solution

ב- $t=0$ מכונית א׳ יקרה יותר. אי-השוויון לא יכול להתקיים בהתחלה.

$t>6.45$

Show the answer and the solution

$\frac{0.85}{0.92}<1$ , ולכן הלוגריתם שלו שלילי והכיוון מתהפך.

\left(\frac{0.85}{0.92}\right)^t<0.6 \ \Rightarrow \ t>6.45

מהשנה השלמה הראשונה אחרי $6.45$ : שנה 7.

Show the answer and the solution

א. כעבור $6.45$ שנים. ב. מהשנה ה-7. בדיקה: אחרי 6 שנים א׳ שווה $56{,}572$ וב׳ $54{,}572$ ; אחרי 7 שנים א׳ $48{,}087$ וב׳ $50{,}206$ .

Do the activity on elev

למה מכונית א׳, שיקרה יותר, נעשית בסוף זולה יותר?

Show the answer and the solution

כי היא מאבדת אחוז גדול יותר בכל שנה. אחוז גדול מנצח, עם הזמן, כל הפרש בהתחלה.

השאלות התאומות: שאלה 2 ושאלה 3 ברשימה למטה.

3 — זמן מחצית חיים

Interactive activity

זמן מחצית החיים של חומר הוא 6 שנים. בהתחלה יש $800$ גרם. א. מצאו את $q$ השנתי (ארבע ספרות אחרי הנקודה). ב. כמה גרם יישארו אחרי 10 שנים? ג. כעבור כמה שנים יישארו $50$ גרם?

\begin{aligned}T &= 6 \\ \quad f(0) &= 800\end{aligned}

לחצו «להתחיל». שימו לב לסעיף ג: אפשר לפתור אותו בלי לוגריתם.

א.

\begin{aligned}q^6 &= 0.5 \ \Rightarrow \ q \\ &= 0.5^{\frac{1}{6}}\approx 0.8909\end{aligned}

ירידה של כ- $10.9\%$ בשנה.

ב.

f(10)=800\cdot 0.5^{\frac{10}{6}}\approx 251.98

עדיף $0.5^{\frac{t}{T}}$ מאשר $q$ המעוגל.

ג. יחס

\begin{aligned}\frac{50}{800} &= \frac{1}{16} \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^4\end{aligned}

ארבעה זמני מחצית חיים.

ג.

\begin{aligned}t &= 4\cdot 6 \\ &= 24\end{aligned}

שנים. ובדרך הלוגריתם: $\frac{\log\frac{1}{16}}{\log 0.8909}\approx 24$ ✓

בסעיף ב, מי שהציב $q=0.89$ קיבל $249.45$ : עיגול של $q$ מזיז את התוצאה. משאירים את $q$ במחשבון.

Do the activity on elev

כמה גרם יישארו אחרי 12 שנים, בלי מחשבון?

Show the answer and the solution

12 שנים הן שני זמני מחצית חיים: $800\cdot\frac{1}{4}=200$ גרם.

השאלות התאומות: שאלה 4 ושאלה 5 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

מספר החברים במועדון גדל באחוז קבוע בכל שנה. אחרי שנה אחת היו $1250$ חברים, ואחרי 3 שנים היו $1953.125$ (לפי המודל). השלימו. עגלו את הזמן לשתי ספרות אחרי הנקודה.

אחוז הגדילה השנתי: ____ . בהתחלה היו ____ חברים. כעבור ____ שנים מההתחלה יהיו $5000$ חברים.

Show the answer and the solution

Answer: אחוז הגדילה השנתי: 25 . בהתחלה היו 1000 חברים. כעבור 7.21 שנים מההתחלה יהיו $5000$ חברים.

Worked solution:

\begin{aligned}q^2 &= \frac{1953.125}{1250} \\ &= 1.5625 \ \Rightarrow \ q \\ &= 1.25\end{aligned}

\begin{aligned}f(0) &= \frac{1250}{1.25} \\ &= 1000\end{aligned}

\begin{aligned}1.25^t &= 5 \ \Rightarrow \ t \\ &= \frac{\log 5}{\log 1.25}\approx 7.21\end{aligned}

הזמן נמדד מההתחלה, ולכן משתמשים ב- $f(0)=1000$ . מי שהתחיל מ- $1250$ קיבל $6.21$ : שנה אחת פחות.

Check the answer on elev

Exercise 2

מכונה א׳ נקנתה ב- $200{,}000$ ש״ח, וערכה יורד ב- $12\%$ בכל שנה. מכונה ב׳ נקנתה באותו יום ב- $100{,}000$ ש״ח, וערכה יורד ב- $5\%$ בכל שנה. כעבור כמה שנים יהיה ערכן שווה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 9.06

Worked solution:

200{,}000\cdot 0.88^t=100{,}000\cdot 0.95^t

\left(\frac{0.88}{0.95}\right)^t=0.5

t=\frac{\log 0.5}{\log\frac{0.88}{0.95}}\approx 9.06

שנים

אם יצא זמן שלילי, המנה נכתבה הפוך באחד הצדדים: $\left(\frac{0.95}{0.88}\right)^t$ שווה ל- $2$ , ולא ל- $0.5$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

אותן שתי מכונות ( $200{,}000\cdot 0.88^t$ ו- $100{,}000\cdot 0.95^t$ ). מאיזו שנה שלמה ערך מכונה א׳ נמוך מערך מכונה ב׳?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

\left(\frac{0.88}{0.95}\right)^t<0.5

t>9.06

הכיוון מתהפך

t=10

מי שכתב $t<9.06$ שכח שהלוגריתם של $\frac{0.88}{0.95}$ שלילי. ב- $t=0$ מכונה א׳ יקרה פי 2, ולכן התשובה לא יכולה להיות « מההתחלה ».

Check the answer on elev

Exercise 4

זמן מחצית החיים של תרופה הוא 8 שעות. בדם יש $960$ מ״ג. כמה מ״ג יישארו אחרי 20 שעות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 169.71

Worked solution:

\frac{20}{8}=2.5

זמני מחצית חיים

960\cdot 0.5^{2.5}\approx 169.71

מ״ג

התשובה לא $240$ (שני חצאים) ולא $120$ (שלושה). $2.5$ זמני מחצית חיים: בין שני המספרים, בחזקה $2.5$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

אותה תרופה: זמן מחצית חיים 8 שעות, ובהתחלה $960$ מ״ג. כעבור כמה שעות יישארו $60$ מ״ג?

Show the answer and the solution

Answer: 32

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{60}{960} &= \frac{1}{16} \\ &= 0.5^4\end{aligned}

ארבעה זמני מחצית חיים

\begin{aligned}t &= 4\cdot 8 \\ &= 32\end{aligned}

שעות

מי שענה $16$ חשב ש- $\frac{1}{16}$ הוא שני חצאים. $\frac{1}{16}$ הוא $\frac{1}{2}$ בחזקת 4.

Check the answer on elev

1 — שתי מדידות, ואחר כך הזמן

2 — שתי מכוניות: מתי שוות, ומתי אחת זולה יותר

3 — זמן מחצית חיים

Exercises

Keep practising on elev