Half-life and doubling time

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

זמן מחצית חיים הוא הזמן שבו כמות בדעיכה נעשית חצי ממה שהייתה.

והדבר המפתיע: הזמן הזה קבוע. מ-100100 ל-5050 עובר אותו זמן כמו מ-5050 ל-2525.

אחרי 3 זמני מחצית חיים, איזה חלק מהכמות נשאר?

Show the answer and the solution

12⋅12⋅12=18\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}. לא 00, וגם לא 16\frac{1}{6}.

t=Tt=T

נשאר 12\frac{1}{2}

t=2Tt=2T

נשאר 14\frac{1}{4}

t=3Tt=3T

נשאר 18\frac{1}{8}

מציאת זמן מחצית החיים

מחפשים את הזמן TT שבו qT=12q^T=\frac{1}{2}. הכמות ההתחלתית לא משתתפת: היא מצטמצמת.

T=log⁡0.5log⁡qT=\frac{\log 0.5}{\log q}

תרופה בדם

כמות של תרופה בדם קטנה ב-6%6\% בכל שעה. מהו זמן מחצית החיים של התרופה?

q=0.94q=0.94

ירידה של 6%6\%

f(0)⋅0.94T=0.5⋅f(0) ⇒ 0.94T=0.5\begin{aligned}f(0)\cdot 0.94^T &= 0.5\cdot f(0) \ \Rightarrow \ 0.94^T \\ &= 0.5\end{aligned}

f(0)f(0) מצטמצם

T=log⁡0.5log⁡0.94≈11.20T=\frac{\log 0.5}{\log 0.94}\approx 11.20

שעות

האם זמן מחצית החיים של התרופה תלוי במנה שנלקחה?

Show the answer and the solution

לא. בכל מנה f(0)f(0) מצטמצם. מנה גדולה או קטנה — אותו T≈11.2T\approx 11.2 שעות.

מזמן מחצית החיים אל qq

יודעים את TT? אז qT=12q^T=\frac{1}{2}, ולכן q=0.51Tq=0.5^{\frac{1}{T}}.

בכמה אחוזים בשנה?

זמן מחצית החיים של חומר הוא 5 שנים. בכמה אחוזים קטנה כמות החומר בכל שנה?

q5=0.5q^5=0.5

אחרי 5 שנים נשאר חצי

q=0.515≈0.8706q=0.5^{\frac{1}{5}}\approx 0.8706

שורש חמישי

1−0.8706=0.12941-0.8706=0.1294

ירידה של 12.94%12.94\% בשנה

הטעות של החלוקה.

q=1−0.55=0.9\begin{aligned}q &= 1-\frac{0.5}{5} \\ &= 0.9\end{aligned}
q=0.515≈0.8706q=0.5^{\frac{1}{5}}\approx 0.8706

חלוקה של 50%50\% ב-55 היא חשיבה של חיבור. בדיקה: 0.95≈0.590.9^5\approx 0.59, ולא 0.50.5.

נוסחה נוחה: אחרי tt יחידות זמן נשאר f(t)=f(0)⋅0.5tTf(t)=f(0)\cdot 0.5^{\frac{t}{T}}. המעריך tT\frac{t}{T} סופר כמה זמני מחצית חיים עברו.

T=5T=5 שנים. איזה חלק נשאר אחרי 15 שנים?

Show the answer and the solution

0.5155=0.53=180.5^{\frac{15}{5}}=0.5^3=\frac{1}{8}.

זמן הכפלה

בגדילה שואלים את השאלה ההפוכה: כעבור כמה זמן הכמות תוכפל? זה זמן ההכפלה.

D=log⁡2log⁡qD=\frac{\log 2}{\log q}

ריבית של 7%7\%

כסף מופקד בריבית של 7%7\% בשנה. כעבור כמה שנים הוא יוכפל?

1.07D=21.07^D=2
D=log⁡2log⁡1.07≈10.24D=\frac{\log 2}{\log 1.07}\approx 10.24

שנים

גם זמן ההכפלה קבוע: מ-10001000 ל-20002000, ומ-20002000 ל-40004000, עוברות אותן 10.2410.24 שנים.

האם ריבית של 14%14\% מכפילה את הכסף בדיוק בחצי מהזמן, כלומר ב-5.125.12 שנים?

Show the answer and the solution

לא בדיוק. log⁡2log⁡1.14≈5.29\frac{\log 2}{\log 1.14}\approx 5.29. קרוב, אבל כפל האחוז לא חותך את הזמן בדיוק לחצי.

Exercises

Exercise 1

כמות של חומר קטנה ב-10%10\% בכל יום. מהו זמן מחצית החיים של החומר, בימים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 6.58

Worked solution:

0.9T=0.50.9^T=0.5
T=log⁡0.5log⁡0.9≈6.58T=\frac{\log 0.5}{\log 0.9}\approx 6.58

ימים

התשובה לא 55 (50%:10%50\%:10\%): בכל יום ה-10%10\% נלקחים מכמות שכבר קטנה, ולכן לוקח יותר זמן להגיע לחצי.

Check the answer on elev

Exercise 2

זמן מחצית החיים של חומר הוא 8 ימים. בהתחלה יש 400400 גרם. כמה גרם יישארו אחרי 24 ימים?

  1. 00
  2. 133.33133.33
  3. 5050
  4. 100100
Show the answer and the solution

Answer: C 5050

Worked solution:

248=3\frac{24}{8}=3

שלושה זמני מחצית חיים

400⋅0.53=50400\cdot 0.5^3=50

גרם

5050 גרם. 133.33133.33 הוא 400:3400:3 — חלוקה לשלושה, לא חצי של חצי של חצי. ו-00 לא מתקבל לעולם.

Check the answer on elev

Exercise 3

זמן מחצית החיים של תרופה הוא 4 שעות. בכמה אחוזים קטנה כמות התרופה בכל שעה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 15.91

Worked solution:

q4=0.5q^4=0.5
q=0.514≈0.8409q=0.5^{\frac{1}{4}}\approx 0.8409

שורש רביעי

1−0.8409≈0.15911-0.8409\approx 0.1591

15.91%15.91\%

התשובה לא 12.512.5 (50:450:4): זו חלוקה של חיבור. בדיקה: 0.8754≈0.5860.875^4\approx 0.586, יותר מחצי.

Check the answer on elev

Exercise 4

קבעו אם הטענה נכונה: זמן מחצית החיים של חומר הוא 3 שנים, ולכן אחרי 6 שנים לא נשאר ממנו כלום.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

63=2\frac{6}{3}=2

שני זמני מחצית חיים

0.52=140.5^2=\frac{1}{4}

נשאר רבע

הטענה לא נכונה. שני חצאים הם לא שלם: בפעם השנייה נעלם חצי ממה שנשאר, ולא עוד חצי מההתחלה.

Check the answer on elev

Exercise 5

אוכלוסייה גדלה ב-12%12\% בכל שנה. כעבור כמה שנים היא תוכפל? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 6.12

Worked solution:

1.12D=21.12^D=2
D=log⁡2log⁡1.12≈6.12D=\frac{\log 2}{\log 1.12}\approx 6.12

שנים

התשובה לא 8.338.33 (100:12100:12). מי שחילק חשב שכל שנה מוסיפה 12%12\% מההתחלה. בכפל מגיעים ל-22 מהר יותר.

Check the answer on elev

Exercise 6

זמן מחצית החיים של חומר הוא 10 שנים. בהתחלה יש 640640 גרם. השלימו.

אחרי 10 שנים: ____ גרם. אחרי 20 שנים: ____ גרם. אחרי 30 שנים: ____ גרם.

Show the answer and the solution

Answer: אחרי 10 שנים: 320 גרם. אחרי 20 שנים: 160 גרם. אחרי 30 שנים: 80 גרם.

Worked solution:

640⋅0.5=320640\cdot 0.5=320
320⋅0.5=160320\cdot 0.5=160
160⋅0.5=80160\cdot 0.5=80

כל 10 שנים מחלקים ב-22. מי שהוריד 320320 בכל פעם הגיע ל-00 אחרי 20 שנים: זו ירידה בחיבור.

Check the answer on elev

Exercise 7

אחרי 6 שעות נשאר רבע מכמות של חומר. מהו זמן מחצית החיים שלו, בשעות?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

14=(12)2\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^2

שני זמני מחצית חיים

2T=6 ⇒ T=3\begin{aligned}2T &= 6 \ \Rightarrow \ T \\ &= 3\end{aligned}

שעות

מי שענה 1.51.5 חשב שרבע הוא ארבעה חצאים. רבע הוא חצי של חצי: שני זמני מחצית חיים.

Check the answer on elev

Exercise 8

לאיזה מהתהליכים זמן מחצית החיים הקצר ביותר?

  1. f(t)=900⋅0.95tf(t)=900\cdot 0.95^t
  2. f(t)=500⋅0.9tf(t)=500\cdot 0.9^t
  3. f(t)=50⋅0.99tf(t)=50\cdot 0.99^t
  4. f(t)=100⋅0.8tf(t)=100\cdot 0.8^t
Show the answer and the solution

Answer: D f(t)=100⋅0.8tf(t)=100\cdot 0.8^t

Worked solution:

log⁡0.5log⁡0.8≈3.11\frac{\log 0.5}{\log 0.8}\approx 3.11

הקצר ביותר

log⁡0.5log⁡0.9≈6.58\frac{\log 0.5}{\log 0.9}\approx 6.58
log⁡0.5log⁡0.99≈68.97\frac{\log 0.5}{\log 0.99}\approx 68.97

הארוך ביותר

q=0.8q=0.8. הכמות ההתחלתית לא משנה את זמן מחצית החיים. רק qq קובע: ככל ש-qq קטן יותר, הדעיכה מהירה יותר.

Check the answer on elev

Exercise 9

זמן מחצית החיים של חומר רדיואקטיבי הוא 30 שנים. כמה אחוזים מהחומר יישארו אחרי 45 שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 35.36

Worked solution:

tT=4530=1.5\begin{aligned}\frac{t}{T} &= \frac{45}{30} \\ &= 1.5\end{aligned}

זמן מחצית חיים וחצי

0.51.5≈0.35360.5^{1.5}\approx 0.3536
35.36%35.36\%

התשובה לא 25%25\%, וגם לא 37.5%37.5\% (באמצע בין 5050 ל-2525): הירידה היא עקומה, לא קו ישר.

Check the answer on elev

Exercise 10

לכל תהליך: האם שואלים על זמן מחצית חיים או על זמן הכפלה?

  • זמן מחצית חיים
  • זמן הכפלה
  • q=0.5q=0.5
  • q=0.9q=0.9
  • q=0.99q=0.99
  • q=1.01q=1.01
  • q=1.1q=1.1
  • q=3q=3
Show the answer and the solution

Answer: q=0.9q=0.9 — זמן מחצית חיים · q=1.1q=1.1 — זמן הכפלה · q=0.5q=0.5 — זמן מחצית חיים · q=3q=3 — זמן הכפלה · q=0.99q=0.99 — זמן מחצית חיים · q=1.01q=1.01 — זמן הכפלה

Worked solution:

0<q<10<q<1

דעיכה: זמן מחצית חיים

q>1q>1

גדילה: זמן הכפלה

בגדילה הכמות לא תגיע לחצי, ובדעיכה היא לא תוכפל. log⁡0.5log⁡1.1\frac{\log 0.5}{\log 1.1} יוצא שלילי: זה הזמן בעבר.

Check the answer on elev

Exercise 11

סכום כסף מוכפל כל 6 שנים. מהי הריבית השנתית, באחוזים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 12.25

Worked solution:

q6=2q^6=2
q=216≈1.1225q=2^{\frac{1}{6}}\approx 1.1225

שורש שישי

+12.25%+12.25\%

התשובה לא 16.6716.67 (100:6100:6): בריבית דריבית מגיעים להכפלה עם אחוז קטן יותר.

Check the answer on elev

Exercise 12

מיכל חישבה את זמן מחצית החיים של חומר שקטן ב-15%15\% בכל שנה. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

q=1−0.15=0.85\begin{aligned}q &= 1-0.15 \\ &= 0.85\end{aligned}
0.85T=0.50.85^T=0.5
T=log⁡0.85log⁡0.5≈0.23T=\frac{\log 0.85}{\log 0.5}\approx 0.23
Show the answer and the solution

Answer: T=log⁡0.85log⁡0.5≈0.23T=\frac{\log 0.85}{\log 0.5}\approx 0.23 → T=log⁡0.5log⁡0.85≈4.27T=\frac{\log 0.5}{\log 0.85}\approx 4.27

Worked solution:

T⋅log⁡0.85=log⁡0.5T\cdot\log 0.85=\log 0.5

המעריך יורד

T=log⁡0.5log⁡0.85≈4.27T=\frac{\log 0.5}{\log 0.85}\approx 4.27

שנים

בשורה 3 המנה הפוכה. בדיקת היגיון: 0.850.230.85^{0.23} קרוב ל-11, לא לחצי. ירידה של 15%15\% בשנה לא מורידה חצי בפחות משנה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade