How long until? Solve with a logarithm

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עכשיו הזמן הוא הנעלם. הוא יושב במעריך, ולכן מורידים אותו בעזרת לוגריתם.

משוואה: כעבור כמה זמן?

שלושה צעדים: מבודדים את qtq^t, מפעילים log⁡\log על שני האגפים, ומחלקים.

qt=c ⇒ t=log⁡clog⁡q\begin{aligned}q^t &= c \ \Rightarrow \ t \\ &= \frac{\log c}{\log q}\end{aligned}
11

מבודדים את qtq^t: מחלקים ב-f(0)f(0)

22

לוגריתם: log⁡(qt)=t⋅log⁡q\log(q^t)=t\cdot\log q

33

מחלקים ב-log⁡q\log q

האם התשובה משתנה אם משתמשים ב-ln⁡\ln במקום ב-log⁡\log?

Show the answer and the solution

לא. ln⁡1.6ln⁡1.06=log⁡1.6log⁡1.06≈8.07\frac{\ln 1.6}{\ln 1.06}=\frac{\log 1.6}{\log 1.06}\approx 8.07. המנה של שני לוגריתמים לא תלויה בבסיס.

שתי טעויות של לוגריתם.

log⁡(5000⋅1.06t)=5000⋅t⋅log⁡1.06\log(5000\cdot 1.06^t)=5000\cdot t\cdot\log 1.06
log⁡(5000⋅1.06t)=log⁡5000+t⋅log⁡1.06\log(5000\cdot 1.06^t)=\log 5000+t\cdot\log 1.06

log⁡\log של מכפלה הוא סכום. הדרך הפשוטה: לבודד את 1.06t1.06^t לפני הלוגריתם.

t=log⁡1.61.06t=\log\frac{1.6}{1.06}
t=log⁡1.6log⁡1.06t=\frac{\log 1.6}{\log 1.06}

מחלקים שני לוגריתמים, ולא מחלקים מספרים בתוך לוגריתם אחד.

בדעיכה: log⁡q\log q שלילי

אם 0<q<10<q<1, אז log⁡q<0\log q<0. גם log⁡c\log c שלילי, כי c<1c<1. המנה של שני שליליים חיובית, והזמן יוצא חיובי.

כמה זמן עד שיישאר רבע?

חומר קטן ב-15%15\% בכל יום. בהתחלה יש 800800 גרם. כעבור כמה ימים יישארו 200200 גרם?

800⋅0.85t=200800\cdot 0.85^t=200

המודל

0.85t=0.250.85^t=0.25

מבודדים

t=log⁡0.25log⁡0.85=−0.602−0.0706≈8.53\begin{aligned}t &= \frac{\log 0.25}{\log 0.85} \\ &= \frac{-0.602}{-0.0706}\approx 8.53\end{aligned}

שני שליליים: מנה חיובית

q=0.5q=0.5. כעבור כמה תקופות יישאר רבע מהכמות?

Show the answer and the solution

0.5t=0.25 ⇒ t=20.5^t=0.25 \ \Rightarrow \ t=2. בלי מחשבון: חצי של חצי.

אי-שוויון: מאיזה זמן?

« מאיזו שנה הכמות תעלה על … ? » זו שאלה של אי-שוויון. פותרים כמו משוואה, ושמים לב לכיוון.

1.06t>1.6 ⇒ t>8.071.06^t>1.6 \ \Rightarrow \ t>8.07

גדילה: log⁡1.06>0\log 1.06>0, הכיוון נשמר

0.85t<0.25 ⇒ t>8.530.85^t<0.25 \ \Rightarrow \ t>8.53

דעיכה: מחלקים ב-log⁡0.85<0\log 0.85<0, הכיוון מתהפך

שאלה על זמן שלם (« מאיזה שבוע », « מאיזו שנה ») — מעגלים למעלה, ובודקים את שני המספרים השלמים שמסביב.

5000⋅1.06t>80005000\cdot 1.06^t>8000. מאיזו שנה שלמה?

Show the answer and the solution

t>8.07t>8.07, ולכן מהשנה ה-9. ב-t=8t=8 יש 5000⋅1.068≈79695000\cdot 1.06^8\approx 7969: עדיין פחות מ-80008000.

שתי טעויות של אי-שוויון.

0.85t<0.25 ⇒ t<8.530.85^t<0.25 \ \Rightarrow \ t<8.53
0.85t<0.25 ⇒ t>8.530.85^t<0.25 \ \Rightarrow \ t>8.53

בחילוק ב-log⁡q\log q של דעיכה הסימן מתהפך.

t>8.07 ⇒ 8t>8.07 \ \Rightarrow \ 8
t>8.07 ⇒ 9t>8.07 \ \Rightarrow \ 9

עיגול רגיל נותן 88, אבל ב-t=8t=8 התנאי עוד לא מתקיים.

Exercises

Exercise 1

בחשבון יש 20002000 ש״ח, והריבית 8%8\% בשנה. כעבור כמה שנים יהיו בו 50005000 ש״ח? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 11.91

Worked solution:

1.08t=2.51.08^t=2.5

מבודדים

t=log⁡2.5log⁡1.08t=\frac{\log 2.5}{\log 1.08}
t≈11.91t\approx 11.91

שנים

מי שחישב 30002000⋅0.08=18.75\frac{3000}{2000\cdot 0.08}=18.75 השתמש בריבית פשוטה. כאן הריבית נצברת, ולכן מגיעים מהר יותר.

Check the answer on elev

Exercise 2

מספר המכשירים מדגם ישן קטן ב-12%12\% בכל שנה. היום יש 60006000 מכשירים. כעבור כמה שנים יהיו 30003000? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 5.42

Worked solution:

6000⋅0.88t=30006000\cdot 0.88^t=3000
0.88t=0.50.88^t=0.5
t=log⁡0.5log⁡0.88≈5.42t=\frac{\log 0.5}{\log 0.88}\approx 5.42

שני הלוגריתמים שליליים

אם יצא זמן שלילי, אחד הלוגריתמים לקח מספר הפוך: log⁡2log⁡0.88\frac{\log 2}{\log 0.88} במקום log⁡0.5log⁡0.88\frac{\log 0.5}{\log 0.88}.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו הפתרון של המשוואה 400⋅1.25t=1000400\cdot 1.25^t=1000?

  1. t=log⁡2.51.25t=\log\frac{2.5}{1.25}
  2. t=log⁡2.5log⁡1.25t=\frac{\log 2.5}{\log 1.25}
  3. t=log⁡1000400⋅log⁡1.25t=\frac{\log 1000}{400\cdot\log 1.25}
  4. t=2.51.25t=\frac{2.5}{1.25}
Show the answer and the solution

Answer: B t=log⁡2.5log⁡1.25t=\frac{\log 2.5}{\log 1.25}

Worked solution:

1.25t=2.51.25^t=2.5

מבודדים

t⋅log⁡1.25=log⁡2.5t\cdot\log 1.25=\log 2.5

לוגריתם

t=log⁡2.5log⁡1.25≈4.11t=\frac{\log 2.5}{\log 1.25}\approx 4.11

האפשרות הרביעית מוציאה את 400400 מהלוגריתם, כאילו log⁡(400⋅x)=400log⁡x\log(400\cdot x)=400\log x. זה לא חוק: log⁡\log של מכפלה הוא סכום.

Check the answer on elev

Exercise 4

הופקדו 10,00010{,}000 ש״ח בריבית של 4%4\% בשנה. מאיזו שנה שלמה יעלה הסכום על 15,00015{,}000 ש״ח?

Show the answer and the solution

Answer: 11

Worked solution:

1.04t>1.51.04^t>1.5
t>log⁡1.5log⁡1.04≈10.34t>\frac{\log 1.5}{\log 1.04}\approx 10.34

הכיוון נשמר: log⁡1.04>0\log 1.04>0

10,000⋅1.0410≈14,80210{,}000\cdot 1.04^{10}\approx 14{,}802

בשנה 10 עוד לא

10,000⋅1.0411≈15,39510{,}000\cdot 1.04^{11}\approx 15{,}395

בשנה 11 כן

התשובה 1111, ולא 1010: עיגול רגיל של 10.3410.34 נותן שנה שבה הסכום עוד לא עבר את 15,00015{,}000.

Check the answer on elev

Exercise 5

קבעו אם הטענה נכונה: הפתרון של 0.9t<0.50.9^t<0.5 הוא t<6.58t<6.58.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

t⋅log⁡0.9<log⁡0.5t\cdot\log 0.9<\log 0.5
t>log⁡0.5log⁡0.9≈6.58t>\frac{\log 0.5}{\log 0.9}\approx 6.58

מחלקים ב-log⁡0.9<0\log 0.9<0: הסימן מתהפך

הטענה לא נכונה. הפתרון t>6.58t>6.58. בדיקה מהירה: ב-t=0t=0 יש 0.90=10.9^0=1, וזה לא קטן מ-0.50.5.

Check the answer on elev

Exercise 6

שווי של מניה יורד ב-9%9\% בכל חודש. היום שוויה 250250 ש״ח. מאיזה חודש שלם יהיה שוויה פחות מ-100100 ש״ח?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

250⋅0.91t<100250\cdot 0.91^t<100
0.91t<0.40.91^t<0.4
t>log⁡0.4log⁡0.91≈9.72t>\frac{\log 0.4}{\log 0.91}\approx 9.72

הסימן מתהפך

250⋅0.9110≈97.35250\cdot 0.91^{10}\approx 97.35

בחודש 10: פחות מ-100100

מי שהשאיר << אחרי החילוק קיבל t<9.72t<9.72. אבל היום (t=0t=0) השווי 250250, וזה לא פחות מ-100100.

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו את המשוואה 3⋅1.5t=183\cdot 1.5^t=18. השלימו.

t⋅log⁡t\cdot\log ____ =log⁡=\log ____ , t≈t\approx ____

Show the answer and the solution

Answer: t⋅log⁡t\cdot\log 1.5 =log⁡=\log 6 , t≈t\approx 4.42

Worked solution:

1.5t=61.5^t=6

מחלקים ב-33

t⋅log⁡1.5=log⁡6t\cdot\log 1.5=\log 6
t≈4.42t\approx 4.42

בתוך הלוגריתם השני 66, ולא 1818: קודם מחלקים ב-33, ורק אחר כך מפעילים log⁡\log.

Check the answer on elev

Exercise 8

רוני פתר: מאיזה זמן יישארו פחות מ-100100 גרם מ-500500 גרם, שקטנים ב-20%20\% בכל שעה. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

500⋅0.8t<100500\cdot 0.8^t<100
0.8t<0.20.8^t<0.2
t⋅log⁡0.8<log⁡0.2t\cdot\log 0.8<\log 0.2
t<log⁡0.2log⁡0.8≈7.21t<\frac{\log 0.2}{\log 0.8}\approx 7.21
Show the answer and the solution

Answer: t<log⁡0.2log⁡0.8≈7.21t<\frac{\log 0.2}{\log 0.8}\approx 7.21 → t>log⁡0.2log⁡0.8≈7.21t>\frac{\log 0.2}{\log 0.8}\approx 7.21

Worked solution:

log⁡0.8<0\log 0.8<0

מחלקים במספר שלילי

t>7.21t>7.21

הסימן מתהפך

בשורה 4 חילקו ב-log⁡0.8\log 0.8, מספר שלילי, ושכחו להפוך את הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 9

בכפר גרים היום 12001200 תושבים, ומספרם גדל ב-5%5\% בכל שנה. כעבור כמה שנים יגורו בו 20002000 תושבים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 10.47

Worked solution:

1.05t=20001200=53\begin{aligned}1.05^t &= \frac{2000}{1200} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}
t=log⁡53log⁡1.05≈10.47t=\frac{\log\frac{5}{3}}{\log 1.05}\approx 10.47

אם עיגלתם את 53\frac{5}{3} ל-1.71.7 קיבלתם 10.8810.88: עיגול באמצע הדרך מזיז את התשובה. מעגלים רק בסוף.

Check the answer on elev

Exercise 10

מהו הפתרון של אי-השוויון 0.7t>0.10.7^t>0.1?

  1. t>−6.46t>-6.46
  2. t<6.46t<6.46
  3. t>6.46t>6.46
  4. t<0.14t<0.14
Show the answer and the solution

Answer: B t<6.46t<6.46

Worked solution:

t⋅log⁡0.7>log⁡0.1t\cdot\log 0.7>\log 0.1
t<log⁡0.1log⁡0.7≈6.46t<\frac{\log 0.1}{\log 0.7}\approx 6.46

הסימן מתהפך

t<6.46t<6.46. בדעיכה, « יותר מ-0.10.1 » מתקיים רק בהתחלה, עד t≈6.46t\approx 6.46. אחר כך הכמות כבר קטנה יותר.

Check the answer on elev

Exercise 11

כמות גדלה ב-2%2\% בכל חודש. כעבור כמה חודשים היא תגדל ב-50%50\%? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 20.48

Worked solution:

1.02t=1.51.02^t=1.5

גדילה של 50%50\%: פי 1.51.5

t=log⁡1.5log⁡1.02≈20.48t=\frac{\log 1.5}{\log 1.02}\approx 20.48

חודשים

התשובה לא 2525 (50:250:2): זו התשובה של גדילה בחיבור. בגדילה בכפל מגיעים ל-50%50\% מהר יותר.

Check the answer on elev

Exercise 12

סדרו את שלבי הפתרון של המשוואה 800⋅1.1t=1200800\cdot 1.1^t=1200.

  • 1.1t=1.51.1^t=1.5
  • 800⋅1.1t=1200800\cdot 1.1^t=1200
  • t≈4.25t\approx 4.25
  • t⋅log⁡1.1=log⁡1.5t\cdot\log 1.1=\log 1.5
  • t=log⁡1.5log⁡1.1t=\frac{\log 1.5}{\log 1.1}
Show the answer and the solution

Answer: 800⋅1.1t=1200800\cdot 1.1^t=1200 · 1.1t=1.51.1^t=1.5 · t⋅log⁡1.1=log⁡1.5t\cdot\log 1.1=\log 1.5 · t=log⁡1.5log⁡1.1t=\frac{\log 1.5}{\log 1.1} · t≈4.25t\approx 4.25

Worked solution:

1.1t=1.51.1^t=1.5

מבודדים

t⋅log⁡1.1=log⁡1.5t\cdot\log 1.1=\log 1.5

לוגריתם

t≈4.25t\approx 4.25

מחלקים

הלוגריתם בא אחרי הבידוד. מי שמפעיל log⁡\log על 800⋅1.1t800\cdot 1.1^t צריך לזכור ש-log⁡800\log 800 מתווסף.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade