Set 2 — medium

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות. בכל שאלה שני שלבים: קודם וקטור או משוואה, ואחר כך התשובה.

פרמטר אחד בשאלה: כותבים את התנאי (אורך, מאונך, מקביל) כמשוואה ב-kk, ופותרים.

Exercises

Exercise 1

נתון A(1, 2, 3)A(1,\,2,\,3), B(k, 4, 9)B(k,\,4,\,9), k>1k>1, ו-∣AB→∣=7|\overrightarrow{AB}|=7. מצאו את kk.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

AB→=(k−1, 2, 6)\overrightarrow{AB}=(k-1,\,2,\,6)
(k−1)2+4+36=49 ⇒ (k−1)2=9\begin{aligned}(k-1)^2+4+36 &= 49 \ \Rightarrow \ (k-1)^2 \\ &= 9\end{aligned}
k−1=3 ⇒ k=4\begin{aligned}k-1 &= 3 \ \Rightarrow \ k \\ &= 4\end{aligned}

k>1k>1, ולכן k−1=−3k-1=-3 נפסל

מעלים בריבוע את כל הרכיב k−1k-1, לא רק את kk.

Check the answer on elev

Exercise 2

ABCDABCD היא מקבילית. A(3, 0, −1)A(3,\,0,\,-1), B(5, 2, 1)B(5,\,2,\,1), C(4, 6, 0)C(4,\,6,\,0). מצאו את שיעורי DD.

x=x= ____ ; y=y= ____ ; z=z= ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x= 2 ; y=y= 4 ; z=z= -2

Worked solution:

BC→=(−1, 4, −1)\overrightarrow{BC}=(-1,\,4,\,-1)
D=A+BC→=(2, 4, −2)\begin{aligned}D &= A+\overrightarrow{BC} \\ &= (2,\,4,\,-2)\end{aligned}

במקבילית ABCDABCD, AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}. בודקים: DC→=(2, 2, 2)=AB→\overrightarrow{DC}=(2,\,2,\,2)=\overrightarrow{AB} ✓

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון משולש A(2, 1, 0)A(2,\,1,\,0), B(4, 3, 1)B(4,\,3,\,1), C(0, 3, 1)C(0,\,3,\,1). מצאו את גודל הזווית BACBAC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 83.62

Worked solution:

AB→=(2, 2, 1)AC→=(−2, 2, 1)\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (2,\,2,\,1) \\ \quad \overrightarrow{AC} &= (-2,\,2,\,1)\end{aligned}
AB→⋅AC→=−4+4+1=1\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= -4+4+1 \\ &= 1\end{aligned}
cos⁡A=13⋅3 ⇒ A≈83.62∘\cos A=\frac{1}{3\cdot 3} \ \Rightarrow \ A\approx 83.62^\circ

שני הווקטורים מ-AA. המשולש שווה שוקיים (∣AB→∣=∣AC→∣=3|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=3), אבל צריך את הזווית בין השוקיים.

Check the answer on elev

Exercise 4

באותו משולש ABCABC, חשבו את השטח. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 4.47

Worked solution:

S=12⋅3⋅3⋅sin⁡83.62∘≈4.47S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot\sin 83.62^\circ\approx 4.47

סינוס של הזווית, לא קוסינוס. sin⁡A=1−181\sin A=\sqrt{1-\frac{1}{81}}.

Check the answer on elev

Exercise 5

מצאו את kk, אם (3, −2, 1)⊥(−2, 4, k)(3,\,-2,\,1)\perp(-2,\,4,\,k).

Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

3⋅(−2)+(−2)⋅4+1⋅k=03\cdot(-2)+(-2)\cdot 4+1\cdot k=0
−6−8+k=0 ⇒ k=14\begin{aligned}-6-8+k &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 14\end{aligned}

שתי המכפלות הראשונות שליליות: −6−8=−14-6-8=-14. מי שענה 22 כתב −6+8-6+8.

Check the answer on elev

Exercise 6

u‾=(2, 0, 1)\underline{u}=(2,\,0,\,1), v‾=(0, 1, −1)\underline{v}=(0,\,1,\,-1). נתון w‾=(−2, 3, −4)=αu‾+βv‾\underline{w}=(-2,\,3,\,-4)=\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}. מצאו את α\alpha ואת β\beta.

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____

Show the answer and the solution

Answer: α=\alpha= -1 ; β=\beta= 3

Worked solution:

x: 2α=−2 ⇒ α=−1\begin{aligned}x:\ 2\alpha &= -2 \ \Rightarrow \ \alpha \\ &= -1\end{aligned}
y: β=3y:\ \beta=3
z: −1−3=−4 ✓z:\ -1-3=-4\ \checkmark

בדיקה

שתי משוואות קלות, והשלישית בודקת. בלי הבדיקה אי אפשר לדעת שהצירוף קיים.

Check the answer on elev

Exercise 7

הנקודות P(2, −1, 3)P(2,\,-1,\,3), Q(4, 0, 1)Q(4,\,0,\,1), R(8, 2, −3)R(8,\,2,\,-3) נמצאות על ישר אחד.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

PQ→=(2, 1, −2)PR→=(6, 3, −6)=3PQ→\begin{aligned}\overrightarrow{PQ} &= (2,\,1,\,-2) \\ \quad \overrightarrow{PR} &= (6,\,3,\,-6) \\ &= 3\overrightarrow{PQ}\end{aligned}

שני וקטורים מקבילים מאותה נקודה PP: שלוש הנקודות על ישר אחד.

Check the answer on elev

Exercise 8

הווקטור (k, 3, −1)(k,\,3,\,-1) מקביל לווקטור (4, −6, 2)(4,\,-6,\,2). מצאו את kk.

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

(k, 3, −1)=t(4, −6, 2)(k,\,3,\,-1)=t(4,\,-6,\,2)
y: t=−12z: −1=−12⋅2 ✓\begin{aligned}y:\ t &= -\frac{1}{2} \qquad z:\ -1 \\ &= -\frac{1}{2}\cdot 2\ \checkmark\end{aligned}
k=−12⋅4=−2\begin{aligned}k &= -\frac{1}{2}\cdot 4 \\ &= -2\end{aligned}

מוצאים את tt מרכיב ידוע, ובודקים ברכיב השני. tt יכול להיות שבר ושלילי.

Check the answer on elev

Exercise 9

שורה אחת שגויה — מצאו אותה. (M(1, 3, −2)M(1,\,3,\,-2) אמצע ABAB, ו-A(4, 1, 0)A(4,\,1,\,0). מחפשים את BB.)

AM→=(−3, 2, −2)\overrightarrow{AM}=(-3,\,2,\,-2)
B=A−AM→B=A-\overrightarrow{AM}
B=(7, −1, 2)B=(7,\,-1,\,2)
Show the answer and the solution

Answer: B=A−AM→B=A-\overrightarrow{AM} → B=M+AM→=(−2, 5, −4)B=M+\overrightarrow{AM}=(-2,\,5,\,-4)

Worked solution:

B=M+AM→=(1−3, 3+2, −2−2)=(−2, 5, −4)\begin{aligned}B &= M+\overrightarrow{AM} \\ &= (1-3,\,3+2,\,-2-2) \\ &= (-2,\,5,\,-4)\end{aligned}

ממשיכים מ-MM באותו כיוון

מ-MM ממשיכים עוד AM→\overrightarrow{AM}. A−AM→A-\overrightarrow{AM} הולך אחורה, לצד השני של AA.

Check the answer on elev

Exercise 10

מיינו לפי סוג הזווית בין u‾=(1, 2, −1)\underline{u}=(1,\,2,\,-1) לבין כל וקטור.

  • זווית חדה
  • זווית קהה
  • (−1, 0, 1)(-1,\,0,\,1)
  • (2, −2, 1)(2,\,-2,\,1)
  • (2, 1, 3)(2,\,1,\,3)
  • (3, 1, 2)(3,\,1,\,2)
Show the answer and the solution

Answer: (2, 1, 3)(2,\,1,\,3) — זווית חדה · (3, 1, 2)(3,\,1,\,2) — זווית חדה · (−1, 0, 1)(-1,\,0,\,1) — זווית קהה · (2, −2, 1)(2,\,-2,\,1) — זווית קהה

Worked solution:

(1, 2, −1)⋅(2, 1, 3)=1(1,\,2,\,-1)\cdot(2,\,1,\,3)=1
(1, 2, −1)⋅(3, 1, 2)=3(1,\,2,\,-1)\cdot(3,\,1,\,2)=3
(1, 2, −1)⋅(−1, 0, 1)=−2(1,\,2,\,-1)\cdot(-1,\,0,\,1)=-2
(1, 2, −1)⋅(2, −2, 1)=−3(1,\,2,\,-1)\cdot(2,\,-2,\,1)=-3

מספיק הסימן של המכפלה הסקלרית: חיובי לזווית חדה, שלילי לזווית קהה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade