How to tackle an exam question · Circles and loci · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלת «מעגל ומקום גאומטרי» בבגרות עוברת בדרך כלל על אותם צעדים: מרכז ורדיוס, משיק, מקום גאומטרי, ולבסוף שטח או אורך.

Interactive activity

מעגל שמרכזו על הישר $y = x$ עובר ב- $A(4, 0)$ וב- $B(0, 2)$

M(a, a) \ ; \ MA = MB

לחצו «להתחיל». המרכז שווה מרחק משתי הנקודות.

המרכז

\begin{aligned}(a - 4)^2 + a^2 &= a^2 + (a - 2)^2 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

המרכז $M(3, 3)$ .

הרדיוס

\begin{aligned}R^2 &= (3 - 4)^2 + 3^2 \\ &= 10\end{aligned}

$(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 10$ .

משיק ב-A

\begin{aligned}m_{MA} &= -3 \Rightarrow m \\ &= \tfrac{1}{3}\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס.

המשוואה

\begin{aligned}y &= \tfrac{1}{3}(x - 4) \Leftrightarrow x - 3y - 4 \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה

\begin{aligned}d(M) &= \frac{|3 - 9 - 4|}{\sqrt{10}} \\ &= \sqrt{10} \\ &= R\end{aligned}

המרחק מהמרכז שווה לרדיוס.

מרכז, רדיוס, משיק, בדיקה.

Do the activity on elev

המרכז על ישר נתון? מסמנים אותו בפרמטר אחד, כאן $(a, a)$ , ומשווים מרחקים.

Exercises

Exercise 1

מרכז המעגל על $y = x$ , והמעגל עובר ב- $A(4, 0)$ וב- $B(0, 2)$ . מהו שיעור ה- $x$ של המרכז?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

(a - 4)^2 + a^2 = a^2 + (a - 2)^2

$3$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

באותו מעגל, מהו $R^2$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

(3 - 4)^2 + 3^2

$10$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

מהי משוואת המשיק ל- $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 10$ בנקודה $A(4, 0)$ ?

$x + 3y - 4 = 0$
$y = -3x + 12$
$x - 3y - 4 = 0$
$3x - y - 12 = 0$

Show the answer and the solution

Answer: C $x - 3y - 4 = 0$

Worked solution:

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{0 - 3}{4 - 3} \\ &= -3\end{aligned}

m = \tfrac{1}{3}

$x - 3y - 4 = 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

המרחק מ- $(3, 3)$ לישר $x - 3y - 4 = 0$ שווה ל- $\sqrt{10}$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\frac{|3 - 9 - 4|}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}}

נכון: לכן הישר משיק.

Check the answer on elev

Exercise 5

סדרו את שלבי שאלת מעגל טיפוסית.

מקום גאומטרי
מרכז ורדיוס
משוואת המעגל
משיק בנקודה
שטח או אורך

Show the answer and the solution

Answer: מרכז ורדיוס · משוואת המעגל · משיק בנקודה · מקום גאומטרי · שטח או אורך

Worked solution:

\to

מהמעגל אל המידות.

Check the answer on elev

Exercise 6

חשבו את אורך המשיק מ- $P(7, 3)$ אל $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 10$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 2.449

Worked solution:

PM^2 - R^2 = 16 - 10

פיתגורס

$\sqrt 6 \approx 2.449$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

חשבו את אורך המיתר שציר ה- $x$ חותך מ- $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 10$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}(x - 3)^2 + 9 &= 10 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \ 4\end{aligned}

$2$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

איפה הנקודה $(5, 5)$ ביחס ל- $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 10$ ?

על המעגל
מחוץ למעגל
במרכז
בתוך המעגל

Show the answer and the solution

Answer: D בתוך המעגל

Worked solution:

4 + 4 = 8 < 10

בתוך המעגל.

Check the answer on elev

Exercise 9

$M(3, 3)$ , $A(4, 0)$ , $B(0, 2)$ . חשבו את שטח המשולש $MAB$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\tfrac{1}{2}|1 \cdot (-1) - (-3)(-3)|

$\overrightarrow{MA} = (1, -3)$ , $\overrightarrow{MB} = (-3, -1)$

$5$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

חשבו את הזווית $AMB$ , במעלות, כש- $M(3, 3)$ , $A(4, 0)$ , $B(0, 2)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 90

Worked solution:

(1, -3) \cdot (-3, -1) = 0

$90^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev