A locus that is a circle · Circles and loci · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

גם מעגל יכול להיות מקום גאומטרי, גם כשלא כתוב «מרחק מנקודה». דוגמה ראשונה: הזווית $APB$ ישרה.

כשהיחס בין המרחקים קבוע

התנאי $PA = PB$ נתן ישר. מה קורה כש- $PA = 2PB$ ? מנחשים: הנקודות קרובות יותר ל- $B$ .

האם הנקודה $(1, 0)$ על המעגל? בדקו גם בתנאי המקורי.

Show the answer and the solution

$(1 - 5)^2 = 16$ : כן. $PA = 4$ , $PB = 2$ .

אמצעים של קטעים

$A(6, 0)$ קבועה, $Q$ נעה על $x^2 + y^2 = 16$ , ו- $M$ אמצע $AQ$ . מסמנים $M(x, y)$ , ואז $Q = (2x - 6,\ 2y)$ .

\begin{aligned}(2x - 6)^2 + (2y)^2 &= 16 \Rightarrow (x - 3)^2 + y^2 \\ &= 4\end{aligned}

מעגל: מרכז $(3, 0)$ , רדיוס $2$

הסימן של מעגל: אחרי הפישוט נשארים $x^2$ ו- $y^2$ עם אותו מקדם, ואין $xy$ .

Exercises

Exercise 1

$A(-3, 0)$ , $B(3, 0)$ . מהו המקום הגאומטרי של הנקודות שבהן $\angle APB = 90^\circ$ ?

$x^2 + y^2 = 36$
הישר $x = 0$
$x^2 + y^2 = 3$
$x^2 + y^2 = 9$ , בלי $A$ ו- $B$

Show the answer and the solution

Answer: D $x^2 + y^2 = 9$ , בלי $A$ ו- $B$

Worked solution:

\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0

x^2 - 9 + y^2 = 0

מעגל שקוטרו $AB$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

$A(-3, 0)$ , $B(3, 0)$ . המקום הגאומטרי של הנקודות ש- $PA = 2PB$ הוא מעגל. מהו הרדיוס שלו?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

(x - 5)^2 + y^2 = 16

$4$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

באותו מקום גאומטרי, $PA = 2PB$ , מהו שיעור ה- $x$ של המרכז?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

x^2 - 10x + y^2 + 9 = 0

$5$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

$A(-3, 0)$ , $B(3, 0)$ . הנקודה $(9, 0)$ מקיימת $PA = 2PB$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}PA &= 12 \ ; \ PB \\ &= 6\end{aligned}

נכון.

Check the answer on elev

Exercise 5

המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מ- $(2, -1)$ הוא $3$ הוא $x^2 + y^2 - 4x + 2y + E = 0$ . מהו $E$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9

E = 4 + 1 - 9

$E = -4$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

$A(6, 0)$ , $Q$ על $x^2 + y^2 = 16$ , ו- $M$ אמצע $AQ$ . המקום הגאומטרי של $M$ הוא מעגל. מהו הרדיוס שלו?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

(2x - 6)^2 + 4y^2 = 16

(x - 3)^2 + y^2 = 4

$2$ : חצי מהרדיוס.

Check the answer on elev

Exercise 7

באותה שאלה, מהו מרכז המקום הגאומטרי של $M$ ?

$(6,\ 0)$
$(2,\ 0)$
$(3,\ 0)$
$(0,\ 0)$

Show the answer and the solution

Answer: C $(3,\ 0)$

Worked solution:

\text{אמצע } (0, 0) \text{ ו-} (6, 0)

$(3, 0)$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

$A(-3, 0)$ , $B(3, 0)$ . המקום הגאומטרי של הנקודות ש- $PA^2 + PB^2 = 26$ הוא מעגל. מהו הרדיוס שלו?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

2x^2 + 2y^2 + 18 = 26

x^2 + y^2 = 4

$2$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

$A(-3, 0)$ , $B(3, 0)$ . מיינו כל תנאי לפי המקום הגאומטרי שהוא נותן.

ישר
מעגל

$\angle APB = 90^\circ$
$PA = 2PB$
$PA = PB$
$PA^2 - PB^2 = 12$
$PA^2 + PB^2 = 26$

Show the answer and the solution

Answer: $PA = PB$ — ישר · $PA = 2PB$ — מעגל · $\angle APB = 90^\circ$ — מעגל · $PA^2 + PB^2 = 26$ — מעגל · $PA^2 - PB^2 = 12$ — ישר

Worked solution:

PA^2 - PB^2 = 12x

$x^2$ ו- $y^2$ מתבטלים

כשהריבועים מתבטלים: ישר. כשהם נשארים עם אותו מקדם: מעגל.

Check the answer on elev

Exercise 10

$A(0, 0)$ , $B(6, 8)$ . המקום הגאומטרי של הנקודות שבהן $\angle APB = 90^\circ$ הוא מעגל. מהו הרדיוס שלו?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

AB = 10

קוטר

$5$ .

Check the answer on elev

כשהיחס בין המרחקים קבוע

אמצעים של קטעים

Exercises

Keep practising on elev