Question 3 in exam format · Complex numbers · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלה בפורמט הבגרות על סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים. המנה $q$ היא מספר מרוכב, ולכן כל צעד בסדרה הוא סיבוב ומתיחה.

Exercises

Exercise 1

בסדרה הנדסית $z_1 = 1 + i$ ו- $z_4 = -8 + 8i$ . א. חשבו את $\frac{z_4}{z_1}$ .

$8$
$8i$
$-8$
$-8i$

Show the answer and the solution

Answer: B $8i$

Worked solution:

\frac{-8 + 8i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{16i}{2}

= 8i

$\frac{z_4}{z_1} = q^3$ : זה הצעד שמוביל אל $q$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

ב. כמה ערכים אפשריים יש ל- $q$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

q^3 = 8i

q = 2\,\text{cis}(30^\circ + 120^\circ k)

שלושה פתרונות

משוואה $q^3 = w$ : שלושה פתרונות.

Check the answer on elev

Exercise 3

ג. עבור $q = 2\,\text{cis}\,270^\circ = -2i$ , מהו החלק הממשי של $z_2$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}z_2 &= z_1 q \\ &= (1 + i)(-2i)\end{aligned}

= -2i - 2i^2 = 2 - 2i

$i^2 = -1$ , ולכן $-2i^2 = +2$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

ד. עבור $q = -2i$ , מהו $|z_6|$ ? עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: 45.25

Worked solution:

\begin{aligned}|z_6| &= |z_1| \cdot |q|^5 \\ &= \sqrt{2} \cdot 2^5\end{aligned}

= 32\sqrt{2} \approx 45.25

הערכים המוחלטים יוצרים סדרה הנדסית ממשית עם מנה $|q| = 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

ה. עבור $q = -2i$ , חשבו $z_1\bar{z}_1 + z_2\bar{z}_2 + z_3\bar{z}_3 + z_4\bar{z}_4$ .

Show the answer and the solution

Answer: 170

Worked solution:

z_k\bar{z}_k = |z_k|^2

|z_k|^2 = 2 \cdot 4^{k-1}

סדרה הנדסית עם מנה $4$

2(1 + 4 + 16 + 64) = 170

$z\bar{z}$ הוא $|z|^2$ : הסכום הוא סכום של סדרה הנדסית ממשית.

Check the answer on elev

Exercise 6

ו. עבור $q = -2i$ , כל איברי הסדרה נמצאים על שני ישרים מאונכים זה לזה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}\theta_1 &= 45^\circ \\ \ \theta_{k+1} &= \theta_k + 270^\circ\end{aligned}

45^\circ, 315^\circ, 225^\circ, 135^\circ, \ldots

הישרים $y = x$ ו- $y = -x$

כל צעד מסובב ב- $270^\circ$ , ולכן הזוויות חוזרות על ארבעה ערכים בלבד.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev