The graph of eˣ · The exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

לכל מספר $a > 1$ יש פונקציה מעריכית עולה $y = a^x$ . כל הגרפים האלה עוברים בנקודה $(0,1)$ , כי $a^0 = 1$ , אבל כל אחד מהם עולה בשיפוע אחר. יש בסיס אחד בלבד שהמשיק שלו בנקודה $(0,1)$ הוא בשיפוע $1$ בדיוק. הזיזו את $a$ ומצאו אותו.

e^x > 0

לכל $x$ : הגרף כולו מעל ציר ה- $x$

e^0 = 1

הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0,1)$

x_1 < x_2 \Rightarrow e^{x_1} < e^{x_2}

הפונקציה עולה בכל התחום

y = 0

אסימפטוטה אופקית כאשר $x \to -\infty$ בלבד

האם יש לגרף של $e^x$ נקודת חיתוך עם ציר ה- $x$ ?

Show the answer and the solution

לא. $e^x$ תמיד חיובית, ולכן הגרף לא מגיע ל- $y = 0$ . הוא רק מתקרב אליו כאשר $x \to -\infty$ .

הטעות של המעריך השלילי.

e^{-2} < 0

e^{-2} = \frac{1}{e^2} > 0

מעריך שלילי לא הופך את התוצאה לשלילית. כאן הוא נותן מספר בין $0$ ל- $1$ : $e^{-2} \approx 0.135$ .

Exercises

Exercise 1

מהו $e^0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

e^0 = 1

כל מספר חיובי בחזקת $0$ שווה $1$

Check the answer on elev

Exercise 2

$e^x > 0$ לכל $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

e \approx 2.718 > 0

הבסיס חיובי

e > 0 \Rightarrow e^x > 0

חזקה של מספר חיובי היא חיובית, לכל מעריך $x$

זה נכון גם למעריך שלילי, למשל $e^{-2} \approx 0.135$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

מהי האסימפטוטה של הגרף $y = e^x$ ?

$x=0$
$y=0$ כאשר $x \to -\infty$
אין לגרף אסימפטוטה
$y=0$ כאשר $x \to +\infty$

Show the answer and the solution

Answer: B $y=0$ כאשר $x \to -\infty$

Worked solution:

x \to -\infty \Rightarrow e^x \to 0

הגרף נצמד לציר ה- $x$

x \to +\infty \Rightarrow e^x \to \infty

הפונקציה גדלה בלי גבול, ואין שם אסימפטוטה

האסימפטוטה היא $y=0$ כאשר $x \to -\infty$ , ורק בצד הזה.

Check the answer on elev

Exercise 4

בעזרת המעבדה של השיעור: מהו שיפוע המשיק לגרף $y = 2^x$ בנקודה $(0,1)$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.69

Worked solution:

a = 2 \ \Rightarrow\ m \approx 0.693 \approx 0.69

מזיזים את $a$ ל- $2$ וקוראים את השיפוע

\begin{aligned}m &= \ln 2 \\ &= 0.6931\ldots\end{aligned}

ביחידה על המשוואות נכיר את $\ln$ , ונראה שהשיפוע הוא בדיוק $\ln 2$

השיפוע קטן מ- $1$ , כי $2 < e$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

$e^{-3}$ הוא מספר שלילי.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

e^{-3} = \frac{1}{e^3} \approx 0.0498 > 0

חזקה של $e$ היא תמיד חיובית

זה מספר קטן, בין $0$ ל- $1$ , אבל חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 6

סדרו מהקטן לגדול

$e^{-1}$
$e^{1}$
$e^{2}$
$e^0$

Show the answer and the solution

Answer: $e^{-1}$ · $e^0$ · $e^{1}$ · $e^{2}$

Worked solution:

e^{-1} \approx 0.368 < e^0 = 1 < e^1 \approx 2.718 < e^2 \approx 7.389

$e^x$ עולה, ולכן מעריך גדול יותר נותן ערך גדול יותר.

Check the answer on elev

Exercise 7

חשבו את $e^2$ ועגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 7.389

Worked solution:

e^2 = e \cdot e \approx 2.71828 \cdot 2.71828

\approx 7.389

Check the answer on elev

Exercise 8

לכל $x > 0$ מתקיים $3^x > e^x$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

3 > e \Rightarrow \frac{3}{e} > 1

הבסיס 3 גדול מ- $e$

\left(\frac{3}{e}\right)^x > 1 \Rightarrow 3^x > e^x

לכל $x > 0$

Check the answer on elev

Exercise 9

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה $y = e^x$ ?

גרף II
גרף III
גרף IV
גרף I

Show the answer and the solution

Answer: C גרף IV

Worked solution:

e^0 = 1

הגרף עובר בנקודה $(0,1)$ . בגרף III הוא עובר ב- $(0,2)$ : נפסל

e^x > 0

הגרף כולו מעל ציר ה- $x$ . גרף II מתחת לציר: נפסל

x_1 < x_2 \Rightarrow e^{x_1} < e^{x_2}

הפונקציה עולה. גרף I יורד: נפסל

גרף IV: עולה, חיובי, עובר ב- $(0,1)$ ומתקרב ל- $y = 0$ משמאל. גרף I הוא $e^{-x}$ : גם הוא עובר ב- $(0,1)$ , ולכן נקודה אחת לא מספיקה. צריך לבדוק גם את כיוון העלייה.

Check the answer on elev

Exercise 10

בציור הגרפים של $f(x) = e^x$ ושל $g(x) = 2^x$ . הגרף של $f$ נמצא מעל הגרף של $g$ לכל $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}f(0) &= g(0) \\ &= 1\end{aligned}

שני הגרפים נפגשים בנקודה $(0,1)$

\begin{aligned}x &= 1 : e^1 \approx 2.718 > 2^1 \\ &= 2\end{aligned}

מימין לנקודה $f$ מעל $g$

\begin{aligned}x &= -1 : e^{-1} \approx 0.368 < 2^{-1} \\ &= 0.5\end{aligned}

משמאל לנקודה $f$ מתחת ל- $g$

הטענה לא נכונה. בסיס גדול יותר נותן ערך גדול יותר רק כאשר $x > 0$ . כאשר $x < 0$ המעריך שלילי, ובסיס גדול יותר נותן ערך קטן יותר: $e^{-1} = \frac{1}{e} < \frac{1}{2}$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev