Shifts and stretches of eˣ · The exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כל גרף מהצורה $y = a \cdot e^{kx} + c$ נבנה מהגרף של $e^x$ . המספר $k$ במעריך קובע את קצב השינוי, המקדם $a$ מותח את הגרף או הופך אותו, והמספר $c$ מזיז אותו למעלה או למטה. הגרף עולה כש- $a$ ו- $k$ באותו סימן, ויורד כשהסימנים שונים. בחרו ערכים, ובדקו מה קורה לאסימפטוטה האופקית ולנקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ .

y = e^{-x}

פונקציה יורדת: הגרף של $e^x$ משתקף סביב ציר ה- $y$

y = a \cdot e^x \quad (a<0)

הפונקציה שלילית לכל $x$ : הגרף כולו מתחת לציר ה- $x$

y = e^x + c

הגרף כולו זז ב- $c$ בכיוון ציר ה- $y$ , והאסימפטוטה עוברת ל- $y = c$

y = e^{x-h}

הגרף זז ימינה ב- $h$ יחידות (כאשר $h > 0$ )

מהי האסימפטוטה האופקית של $y = 3e^{-x} - 1$ , ומהי נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $y$ ?

Show the answer and the solution

האסימפטוטה היא $y = -1$ , והגרף מתקרב אליה כאשר $x \to +\infty$ , בגלל $e^{-x}$ . המקדם $3$ לא מזיז את האסימפטוטה, אבל הוא משנה את נקודת החיתוך: $3 \cdot 1 - 1 = 2$ , כלומר $(0, 2)$ .

מספר שמחברים בתוך המעריך אינו מספר שמחברים לפונקציה.

e^{x+2} = e^x + 2

e^{x+2} = e^2 \cdot e^x

לפי חוקי החזקות, חיבור במעריך הוא כפל של חזקות. בדיקה ב- $x = 0$ : $e^{0+2} = e^2 \approx 7.389$ , ואילו $e^0 + 2 = 3$ .

Exercises

Exercise 1

הגרף של $y = 2e^x + 3$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה אחת. מהו שיעור ה- $y$ של הנקודה?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 2e^0 + 3\end{aligned}

בנקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ מציבים $x = 0$

\begin{aligned}y &= 2 \cdot 1 + 3 \\ &= 5\end{aligned}

נקודת החיתוך היא $(0, 5)$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

האסימפטוטה האופקית של $y = e^x - 4$ היא הישר $y = m$ . מהו $m$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

x \to -\infty \Rightarrow e^x \to 0

\begin{aligned}y &= e^x - 4 \to 0 - 4 \\ &= -4\end{aligned}

הגרף של $e^x$ ירד ב- $4$ , ואיתו האסימפטוטה

האסימפטוטה היא $y = -4$ , כאשר $x \to -\infty$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

הפונקציה $y = e^{-x}$ יורדת בכל תחום ההגדרה שלה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

e^{-x} = \frac{1}{e^x}

לפי חוקי החזקות, לכל $x$

x_1 < x_2 \Rightarrow e^{x_1} < e^{x_2} \Rightarrow \frac{1}{e^{x_1}} > \frac{1}{e^{x_2}}

המכנה עולה, ולכן השבר יורד

הגרף של $e^{-x}$ הוא השיקוף של $e^x$ סביב ציר ה- $y$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

דרך איזו נקודה עובר הגרף של $y = e^{x-2}$ ?

$(2,1)$
$(1,2)$
$(-2,1)$
$(0,1)$

Show the answer and the solution

Answer: A $(2,1)$

Worked solution:

\begin{aligned}x &= 2 \Rightarrow y \\ &= e^{2-2} \\ &= e^0 \\ &= 1\end{aligned}

הנקודה $(2,1)$ נמצאת על הגרף

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= e^{-2} \approx 0.135 \neq 1\end{aligned}

הנקודה $(0,1)$ נמצאת על הגרף של $e^x$ , אבל לא על הגרף הזה

הגרף של $e^x$ זז ימינה ב- $2$ , ולכן הנקודה $(0,1)$ עוברת ל- $(2,1)$ . גם $(1,2)$ ו- $(-2,1)$ לא על הגרף: $e^{-1} \neq 2$ ו- $e^{-4} \neq 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

אילו ערכי $y$ מקבלת הפונקציה $y = 1 - e^x$ ?

כל המספרים הממשיים
$y>1$
$y>0$
$y<1$

Show the answer and the solution

Answer: D $y<1$

Worked solution:

e^x > 0 \Rightarrow -e^x < 0

1 - e^x < 1

הפונקציה לא מגיעה ל- $1$

x \to -\infty \Rightarrow y \to 1 \quad , \quad x \to +\infty \Rightarrow y \to -\infty

והיא מקבלת כל ערך שקטן מ- $1$

התשובה היא $y<1$ . התשובה $y>0$ נכונה עבור $e^x$ עצמה, לא עבור $1 - e^x$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

הגרף של $y = e^x - 1$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה אחת. מהו שיעור ה- $x$ של הנקודה?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

\begin{aligned}e^x - 1 &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 1\end{aligned}

בנקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ מציבים $y = 0$

\begin{aligned}e^x &= e^0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

נקודת החיתוך היא $(0, 0)$ : הגרף של $e^x$ ירד ב- $1$ , והנקודה $(0,1)$ ירדה לראשית הצירים.

Check the answer on elev

Exercise 7

חשבו את הערך של $y = e^{2x}$ בנקודה $x = 0.5$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 2.718

Worked solution:

e^{2 \cdot 0.5} = e^1

e^1 = e \approx 2.718

המקדם $2$ במעריך מכווץ את הגרף אופקית: בנקודה $x = 0.5$ הוא כבר מגיע לערך ש- $e^x$ מגיע אליו רק ב- $x = 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

התאימו כל פונקציה לתכונה שלה.

$e^{-x}$
$-e^x$
$e^x+2$
$e^{x-1}$

אסימפטוטה אופקית $y=2$
חיובית ויורדת
עוברת דרך $(1,1)$
שלילית לכל $x$

Show the answer and the solution

Answer: $e^{-x}$ — חיובית ויורדת · $-e^x$ — שלילית לכל $x$ · $e^x+2$ — אסימפטוטה אופקית $y=2$ · $e^{x-1}$ — עוברת דרך $(1,1)$

Worked solution:

e^{-x} = \frac{1}{e^x} > 0

חיובית, ויורדת כי המכנה עולה

-e^x < 0

מינוס כפול מספר חיובי

x \to -\infty \Rightarrow e^x + 2 \to 2

האסימפטוטה עלתה ב- $2$

\begin{aligned}x &= 1 \Rightarrow e^{1-1} \\ &= e^0 \\ &= 1\end{aligned}

גם $-e^x$ יורדת, ולכן התכונה של $e^{-x}$ היא חיובית ויורדת.

Check the answer on elev

Exercise 9

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה $y = 2 - e^{-x}$ ?

גרף III
גרף II
גרף IV
גרף I

Show the answer and the solution

Answer: D גרף I

Worked solution:

x \to +\infty : e^{-x} \to 0 \Rightarrow y \to 2

האסימפטוטה $y = 2$ נמצאת מימין. בגרף II היא משמאל: נפסל

\begin{aligned}x &= 0 : y \\ &= 2 - 1 \\ &= 1\end{aligned}

הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0,1)$ . גרף III עובר ב- $(0,3)$ , וגרף IV ב- $(0,-1)$ : נפסלים

x_1 < x_2 \Rightarrow e^{-x_1} > e^{-x_2} \Rightarrow 2 - e^{-x_1} < 2 - e^{-x_2}

הפונקציה עולה

גרף I: עולה, עובר ב- $(0,1)$ , ומתקרב מלמטה ל- $y = 2$ כאשר $x \to +\infty$ . גם בגרף II האסימפטוטה היא $y = 2$ והחיתוך הוא $(0,1)$ . מה שמבדיל ביניהם הוא הצד של האסימפטוטה, שנקבע לפי הסימן של המעריך.

Check the answer on elev

Exercise 10

הגרף של $y = 3 - 2e^{x+1}$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה אחת. מהו שיעור ה- $y$ של הנקודה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: -2.437

Worked solution:

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 3 - 2e^{0+1} \\ &= 3 - 2e\end{aligned}

בנקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ מציבים $x = 0$

3 - 2 \cdot 2.71828 \approx 3 - 5.437 = -2.437

שיעור ה- $y$ הוא $3 - 2e \approx -2.437$ . הטעות הנפוצה: $e^{0+1}$ אינו $e^0 + 1 = 2$ . ה- $1$ שבמעריך נותן $e^1 = e$ , ואז $3 - 2 \cdot 2 = -1$ היא תשובה שגויה.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev