Equations with eˣ · The exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

$\ln a$ הוא המספר $t$ שעבורו $e^t = a$ . כלומר, $\ln a$ עונה על השאלה: באיזו חזקה צריך להעלות את $e$ כדי לקבל $a$ ? למשל $\ln 1 = 0$ , כי $e^0 = 1$ . מכיוון ש- $e^t$ תמיד חיובי, $\ln a$ מוגדר רק עבור $a > 0$ . בעזרת $\ln$ אפשר לפתור משוואה שבה הנעלם נמצא במעריך.

\begin{aligned}e^t &= a \iff t \\ &= \ln a \quad (a>0)\end{aligned}

ההגדרה של הלוגריתם הטבעי

e^{\ln a} = a

עבור $a > 0$ : $e$ בחזקת $\ln a$ מחזיר את $a$

\ln(e^t) = t

$\ln$ מבטל את החזקה של $e$ , לכל $t$

\ln 1 = 0

כי $e^0 = 1$

Interactive activity

משוואה ריבועית בתחפושת

e^{2x} - 5e^x + 6 = 0

לחצו «להתחיל». יש כאן גם $e^{2x}$ וגם $e^x$ . שימו לב ש- $e^{2x} = (e^x)^2$ , ולכן זו משוואה ריבועית.

מציבים

\begin{aligned}t &= e^x \Rightarrow e^{2x} \\ &= t^2\end{aligned}

מסמנים $t = e^x$ . מכיוון ש- $e^x$ תמיד חיובי, גם $t > 0$ , ונזדקק לזה בסוף.

משוואה ריבועית

t^2 - 5t + 6 = 0

אחרי ההצבה נשארת משוואה ריבועית רגילה במשתנה $t$ .

פותרים

\begin{aligned}(t-2)(t-3) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 2 \quad \\ \quad t &= 3\end{aligned}

שני הפתרונות חיוביים, ולכן שניהם מתאימים.

חוזרים ל-x

\begin{aligned}e^x &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2 \approx 0.693\end{aligned}

הפתרון הראשון: מפעילים $\ln$ על שני האגפים.

ועוד פתרון

\begin{aligned}e^x &= 3 \Rightarrow x \\ &= \ln 3 \approx 1.099\end{aligned}

הפתרון השני. למשוואה יש שני פתרונות.

אותה דרך עובדת על כל משוואה מהצורה $e^{2x} + b e^x + c = 0$ : מציבים $t = e^x$ , פותרים משוואה ריבועית, בודקים ש- $t > 0$ , וחוזרים ל- $x$ בעזרת $\ln$ .

Do the activity on elev

למה אין פתרון למשוואה $e^x = -2$ ?

Show the answer and the solution

כי $e^x$ תמיד חיובית, לכל $x$ . אין חזקה של $e$ ששווה למספר שלילי, ולכן גם $\ln(-2)$ לא מוגדר.

שוכחים לבדוק את $t$ אחרי ההצבה.

\begin{aligned}t &= 2 \ \\ \ t &= -1 \Rightarrow x \\ &= \ln 2 \ \\ \ x &= \ln(-1)\end{aligned}

\begin{aligned}t &= e^x > 0 \Rightarrow t \neq -1 \Rightarrow x \\ &= \ln 2\end{aligned}

במשוואה $e^{2x} - e^x - 2 = 0$ ההצבה $t = e^x$ נותנת $t = 2$ או $t = -1$ . הפתרון $t = -1$ נפסל, כי $t = e^x > 0$ : אין $x$ שעבורו $e^x = -1$ . נשאר רק $t = 2$ , ולמשוואה יש פתרון אחד: $x = \ln 2$ .

Exercises

Exercise 1

פתרו את המשוואה $e^x = 5$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.609

Worked solution:

\begin{aligned}e^x &= 5 \Rightarrow x \\ &= \ln 5\end{aligned}

מפעילים $\ln$ על שני האגפים

\ln 5 \approx 1.609

בדיקה: $e^{1.609} \approx 5$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו את המשוואה $e^{2x-1} = 3$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.049

Worked solution:

2x - 1 = \ln 3

מפעילים $\ln$ על שני האגפים

2x = 1 + \ln 3

x = \frac{1 + \ln 3}{2} \approx \frac{2.0986}{2} \approx 1.049

Check the answer on elev

Exercise 3

למשוואה $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$ יש שני פתרונות. מצאו את הפתרון הגדול מביניהם, ועגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.099

Worked solution:

\begin{aligned}t &= e^x \Rightarrow t^2 - 5t + 6 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}(t-2)(t-3) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 2 \quad \\ \quad t &= 3\end{aligned}

שני הפתרונות חיוביים

\begin{aligned}x &= \ln 2 \approx 0.693 \quad \\ \quad x &= \ln 3 \approx 1.099\end{aligned}

3 > 2 \Rightarrow \ln 3 > \ln 2

$\ln$ היא פונקציה עולה

הפתרון הגדול הוא $x = \ln 3 \approx 1.099$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו את המשוואה $e^{2x} - e^x - 2 = 0$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.693

Worked solution:

\begin{aligned}t &= e^x \Rightarrow t^2 - t - 2 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}(t-2)(t+1) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 2 \quad \\ \quad t &= -1\end{aligned}

t = e^x > 0 \Rightarrow t \neq -1

הפתרון $t = -1$ נפסל, כי $e^x > 0$ לכל $x$

\begin{aligned}e^x &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2 \approx 0.693\end{aligned}

למשוואה יש פתרון אחד בלבד: $x = \ln 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

למשוואה $e^x = -2$ יש פתרון.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

e^x > 0 > -2

לכל $x$ האגף השמאלי חיובי, והאגף הימני שלילי

\Rightarrow e^x \neq -2

אין $x$ שמקיים את המשוואה

הביטוי $\ln(-2)$ לא מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 6

פתרו את המשוואה $3e^x - 2 = 10$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.386

Worked solution:

3e^x = 12

מעבירים את $2$ לאגף השני

e^x = 4

מחלקים ב- $3$

x = \ln 4 \approx 1.386

קודם מבודדים את $e^x$ , ורק אחר כך מפעילים $\ln$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

למשוואה $e^{x^2-1} = 1$ יש שני פתרונות. מהו הפתרון החיובי?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}1 &= e^0 \Rightarrow e^{x^2-1} \\ &= e^0\end{aligned}

x^2 - 1 = 0

חזקות שוות של $e$ נותנות מעריכים שווים

\begin{aligned}x &= 1 \quad \\ \quad x &= -1\end{aligned}

הפתרון החיובי הוא $x = 1$

Check the answer on elev

Exercise 8

לאיזה תנאי שקול אי-השוויון $e^x > 3$ ?

$x > 3$
$x > \ln 3$
$x < \ln 3$
$x > e^3$

Show the answer and the solution

Answer: B $x > \ln 3$

Worked solution:

3 = e^{\ln 3}

e^x > e^{\ln 3} \iff x > \ln 3

$e^x$ היא פונקציה עולה, ולכן כיוון אי-השוויון נשמר

התשובה היא $x > \ln 3$ , כלומר $x > 1.099$ בערך. התשובה $x > 3$ לא נכונה: למשל $x = 2$ מקיים $e^2 \approx 7.389 > 3$ , אבל $2 < 3$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

פתרו את המשוואה $e^{-x} = \frac{1}{e^2}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\frac{1}{e^2} = e^{-2}

\begin{aligned}e^{-x} &= e^{-2} \Rightarrow -x \\ &= -2\end{aligned}

חזקות שוות של $e$ נותנות מעריכים שווים

x = 2

Check the answer on elev

Exercise 10

פתרו את המשוואה $e^x \cdot e^{x+1} = e^5$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

e^x \cdot e^{x+1} = e^{2x+1}

בכפל חזקות עם אותו בסיס מחברים את המעריכים

2x + 1 = 5

x = 2

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev