The derivative of eˣ · The exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ראינו ש- $e$ הוא הבסיס היחיד שעבורו שיפוע המשיק לגרף של $a^x$ בנקודה $(0,1)$ הוא בדיוק $1$ . עכשיו נזיז את הנקודה לאורך הגרף של $e^x$ ונמדוד את שיפוע המשיק בכל מקום. הזיזו את $x$ והשוו בין שני המספרים: הגובה $y$ של הנקודה והשיפוע $m$ של המשיק.

(e^x)' = e^x

הנגזרת של $e^x$ היא הפונקציה עצמה

\left(e^{f(x)}\right)' = f'(x)\cdot e^{f(x)}

כלל השרשרת: משאירים את $e^{f(x)}$ כמו שהוא, וכופלים בנגזרת של המעריך

שלוש נגזרות

בכל אחת בודקים מה נמצא במעריך. בשלישית יש גם מכפלה של שתי פונקציות, ולכן צריך גם את כלל המכפלה.

\begin{aligned}\left(e^{3x}\right)' &= 3 \cdot e^{3x} \\ &= 3e^{3x}\end{aligned}

המעריך הוא $3x$ , והנגזרת שלו היא $3$

\left(e^{x^2}\right)' = 2x \cdot e^{x^2}

המעריך הוא $x^2$ , והנגזרת שלו היא $2x$

\begin{aligned}\left(x e^x\right)' &= 1 \cdot e^x + x \cdot e^x \\ &= (x+1)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה: $(uv)' = u'v + uv'$

מהי הנגזרת של $e^{-x}$ ? האם היא חיובית או שלילית?

Show the answer and the solution

$(e^{-x})' = -1 \cdot e^{-x} = -e^{-x}$ . הנגזרת שלילית לכל $x$ , כי $e^{-x} > 0$ . לכן הפונקציה $e^{-x}$ יורדת בכל התחום.

שלוש טעויות נפוצות בגזירה של $e$ בחזקה.

\left(e^{x^2}\right)' = e^{x^2}

\left(e^{x^2}\right)' = 2x \cdot e^{x^2}

הנגזרת של $e^x$ היא $e^x$ עצמה, אבל רק כשהמעריך הוא $x$ לבד. כשבמעריך יש ביטוי אחר, כופלים בנגזרת של המעריך.

(e^x)^2 = e^{x^2}

(e^x)^2 = e^{2x}

בחזקה של חזקה כופלים את המעריכים: $x \cdot 2 = 2x$ . למשל עבור $x = 3$ : $(e^3)^2 = e^6$ , ולא $e^9$ .

\left(3e^{2x}\right)' = 3e^{2x}

\begin{aligned}\left(3e^{2x}\right)' &= 3 \cdot 2e^{2x} \\ &= 6e^{2x}\end{aligned}

המקדם $3$ נשאר, אבל צריך גם לכפול בנגזרת של המעריך $2x$ , שהיא $2$ .

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{3x}$ . חשבו את $f'(0)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f'(x) = 3e^{3x}

כלל השרשרת: הנגזרת של המעריך $3x$ היא $3$

\begin{aligned}f'(0) &= 3e^{0} \\ &= 3 \cdot 1 \\ &= 3\end{aligned}

$f'(0) = 3$ : בנקודה שבה $x = 0$ שיפוע המשיק הוא $3$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x) = x e^x$ . חשבו את $f'(1)$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 5.437

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 1 \cdot e^x + x \cdot e^x \\ &= (x+1)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

f'(1) = 2e \approx 5.437

$f'(1) = 2e$ , כלומר בערך $5.437$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{x^2-1}$ . חשבו את $f'(1)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f'(x) = 2x \cdot e^{x^2-1}

כלל השרשרת: הנגזרת של המעריך $x^2 - 1$ היא $2x$

\begin{aligned}f'(1) &= 2 \cdot e^{0} \\ &= 2\end{aligned}

$f'(1) = 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{x}$ . חשבו את $f'(1)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} \\ &= \frac{(x-1)e^x}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

\begin{aligned}f'(1) &= \frac{0 \cdot e}{1} \\ &= 0\end{aligned}

$f'(1) = 0$ : בנקודה שבה $x = 1$ המשיק לגרף אופקי.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $f(x) = x^2 e^{-x}$ . חשבו את $f'(1)$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.368

Worked solution:

\left(e^{-x}\right)' = -e^{-x}

כלל השרשרת

\begin{aligned}f'(x) &= 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \left(-e^{-x}\right) \\ &= (2x - x^2)e^{-x}\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(1) &= (2 - 1)e^{-1} \\ &= \frac{1}{e} \approx 0.368\end{aligned}

$f'(1) = \frac{1}{e}$ , כלומר בערך $0.368$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

רוצים לגזור את $f(x) = e^{x^2}$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

u = x^2

u' = 2x

f'(x) = e^{x^2}

Show the answer and the solution

Answer: $f'(x) = e^{x^2}$ → $f'(x) = u' \cdot e^{u} = 2x \cdot e^{x^2}$

Worked solution:

\left(e^{u}\right)' = u' \cdot e^{u}

כלל השרשרת

f'(x) = 2x \cdot e^{x^2}

מציבים $u = x^2$ ו- $u' = 2x$

השורה $f'(x) = e^{x^2}$ שגויה: היא שוכחת לכפול בנגזרת של המעריך, $2x$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

מהי הנגזרת של $5e^{2x}$ ?

$2e^{2x}$
$10e^{x}$
$5e^{2x}$
$10e^{2x}$

Show the answer and the solution

Answer: D $10e^{2x}$

Worked solution:

\left(e^{2x}\right)' = 2e^{2x}

כלל השרשרת

\begin{aligned}\left(5e^{2x}\right)' &= 5 \cdot 2e^{2x} \\ &= 10e^{2x}\end{aligned}

המקדם $5$ נשאר

התשובה היא $10e^{2x}$ . התשובה $5e^{2x}$ שוכחת את הנגזרת של המעריך, והתשובה $10e^{x}$ משנה את המעריך עצמו.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{-x} + x$ . חשבו את $f'(0)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

f'(x) = -e^{-x} + 1

הנגזרת של $e^{-x}$ היא $-e^{-x}$ , והנגזרת של $x$ היא $1$

\begin{aligned}f'(0) &= -e^{0} + 1 \\ &= -1 + 1 \\ &= 0\end{aligned}

$f'(0) = 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4x$ . מצאו את הערך של $x$ שעבורו $f'(x) = 0$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.347

Worked solution:

f'(x) = 2e^{2x} - 4

\begin{aligned}2e^{2x} &= 4 \Rightarrow e^{2x} \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}2x &= \ln 2 \Rightarrow x \\ &= \frac{\ln 2}{2} \approx 0.347\end{aligned}

מפעילים $\ln$ על שני האגפים

$x = \frac{\ln 2}{2}$ , כלומר בערך $0.347$ . זה הפתרון היחיד, כי $e^{2x}$ היא פונקציה עולה.

Check the answer on elev

Exercise 10

מהי הנגזרת של $(e^x)^2$ ?

$2xe^{x^2}$
$2e^x$
$e^{2x}$
$2e^{2x}$

Show the answer and the solution

Answer: D $2e^{2x}$

Worked solution:

(e^x)^2 = e^{2x}

בחזקה של חזקה כופלים את המעריכים

\left(e^{2x}\right)' = 2e^{2x}

כלל השרשרת

התשובה היא $2e^{2x}$ . אפשר לבדוק גם בכלל השרשרת: $2e^x \cdot e^x = 2e^{2x}$ . התשובה $2xe^{x^2}$ היא הנגזרת של $e^{x^2}$ , וזו פונקציה אחרת.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev