Tangents and extrema · The exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הנגזרת נותנת את שיפוע המשיק. כדי לכתוב את משוואת המשיק לגרף של $f$ בנקודה שבה $x = x_0$ , צריך שני דברים: נקודה על המשיק, $(x_0, f(x_0))$ , והשיפוע שלו, $f'(x_0)$ . בנקודה שבה $f'(x_0) = 0$ המשיק אופקי, ושם יכולה להיות נקודת קיצון.

y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)

משוואת המשיק בנקודה שבה $x = x_0$

המשיק לגרף של $y = e^x$ בנקודה שבה $x = 1$

מוצאים את $f(1)$ ואת $f'(1)$ , ומציבים בנוסחה.

\begin{aligned}f(1) &= e \quad \\ \quad f'(x) &= e^x \Rightarrow f'(1) \\ &= e\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

y - e = e(x - 1)

מציבים בנוסחה

\begin{aligned}y &= ex - e + e \\ &= ex\end{aligned}

מבודדים את $y$

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= e \cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

המשיק עובר דרך ראשית הצירים

לפונקציה $f(x) = e^x - 2x$ יש נקודת קיצון. באיזה $x$ היא נמצאת, והאם זו נקודת מינימום או מקסימום?

Show the answer and the solution

$f'(x) = e^x - 2$ , ו- $f'(x) = 0$ כאשר $e^x = 2$ , כלומר $x = \ln 2$ . משמאל לנקודה הנגזרת שלילית, ומימין לה חיובית. לכן זו נקודת מינימום.

נקודת קיצון: פותרים $f'(x) = 0$ , ובודקים שהסימן של $f'$ מתחלף בנקודה. משיק אופקי: הערך של $f'$ בנקודה הוא $0$ , ולא הערך של $f$ . למשל לגרף של $e^x - 2x$ יש משיק אופקי בנקודה שבה $x = \ln 2$ , אבל הערך של הפונקציה שם הוא $2 - 2\ln 2 \approx 0.614$ , ולא $0$ .

Exercises

Exercise 1

מהי משוואת המשיק לגרף של $y = e^x$ בנקודה שבה $x = 0$ ?

$y=x$
$y=ex$
$y=1$
$y=x+1$

Show the answer and the solution

Answer: D $y=x+1$

Worked solution:

\begin{aligned}f(0) &= e^0 \\ &= 1 \quad \\ \quad f'(0) &= e^0 \\ &= 1\end{aligned}

הנקודה $(0, 1)$ והשיפוע

\begin{aligned}y - 1 &= 1 \cdot (x - 0) \Rightarrow y \\ &= x + 1\end{aligned}

מציבים בנוסחה

המשיק הוא $y = x + 1$ . הישר $y = x$ לא עובר דרך הנקודה $(0, 1)$ , והישר $y = ex$ הוא המשיק בנקודה שבה $x = 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

מהי משוואת המשיק לגרף של $y = e^{2x}$ בנקודה שבה $x = 0$ ?

$y=2x$
$y=x+1$
$y=2x+2$
$y=2x+1$

Show the answer and the solution

Answer: D $y=2x+1$

Worked solution:

\begin{aligned}f(0) &= e^0 \\ &= 1 \quad \\ \quad f'(x) &= 2e^{2x} \Rightarrow f'(0) \\ &= 2\end{aligned}

כלל השרשרת

\begin{aligned}y - 1 &= 2(x - 0) \Rightarrow y \\ &= 2x + 1\end{aligned}

מציבים בנוסחה

המשיק הוא $y = 2x + 1$ . הישר $y = x + 1$ שוכח לכפול בנגזרת של המעריך, $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

המשיק לגרף של $y = e^x$ בנקודה שבה $x = 1$ עובר דרך ראשית הצירים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}f(1) &= e \quad \\ \quad f'(1) &= e\end{aligned}

\begin{aligned}y - e &= e(x - 1) \Rightarrow y \\ &= ex\end{aligned}

משוואת המשיק

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 0\end{aligned}

הטענה נכונה: המשיק הוא $y = ex$ , והנקודה $(0, 0)$ נמצאת עליו.

Check the answer on elev

Exercise 4

על הגרף של $y = e^x$ יש נקודה שבה המשיק מקביל לישר $y = 3x + 1$ . מהו שיעור ה- $x$ של הנקודה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.099

Worked solution:

m = 3

לישרים מקבילים יש אותו שיפוע

\begin{aligned}f'(x) &= e^x \\ &= 3\end{aligned}

x = \ln 3 \approx 1.099

מפעילים $\ln$ על שני האגפים

$x = \ln 3$ , כלומר בערך $1.099$ . זו הנקודה היחידה, כי $e^x$ היא פונקציה עולה.

Check the answer on elev

Exercise 5

לפונקציה $f(x) = x e^{-x}$ יש נקודת מקסימום אחת. מהו שיעור ה- $y$ שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.368

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x} - x e^{-x} \\ &= (1 - x)e^{-x}\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow 1 - x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

כי $e^{-x} > 0$

x < 1 : f' > 0 \quad , \quad x > 1 : f' < 0

הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית: מקסימום

\begin{aligned}f(1) &= 1 \cdot e^{-1} \\ &= \frac{1}{e} \approx 0.368\end{aligned}

נקודת המקסימום היא $(1, \frac{1}{e})$ , ושיעור ה- $y$ שלה הוא בערך $0.368$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו הערך המינימלי של הפונקציה $f(x) = e^x - x$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f'(x) = e^x - 1

\begin{aligned}e^x - 1 &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

x < 0 : f' < 0 \quad , \quad x > 0 : f' > 0

הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: מינימום

\begin{aligned}f(0) &= e^0 - 0 \\ &= 1\end{aligned}

הערך המינימלי של הפונקציה הוא $1$ , והוא מתקבל כאשר $x = 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

לפונקציה $f(x) = (x-2)e^x$ יש נקודת מינימום אחת. מהו שיעור ה- $y$ שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: -2.718

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 1 \cdot e^x + (x-2)e^x \\ &= (x-1)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x - 1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

כי $e^x > 0$

x < 1 : f' < 0 \quad , \quad x > 1 : f' > 0

הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: מינימום

\begin{aligned}f(1) &= (1-2)e^1 \\ &= -e \approx -2.718\end{aligned}

נקודת המינימום היא $(1, -e)$ , ושיעור ה- $y$ שלה הוא בערך $-2.718$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

מהי משוואת המשיק לגרף של $y = e^{x-1}$ בנקודה שבה $x = 1$ ?

$y=x+1$
$y=x$
$y=1$
$y=ex$

Show the answer and the solution

Answer: B $y=x$

Worked solution:

\begin{aligned}f(1) &= e^0 \\ &= 1 \quad \\ \quad f'(x) &= e^{x-1} \Rightarrow f'(1) \\ &= 1\end{aligned}

הנגזרת של המעריך $x - 1$ היא $1$

\begin{aligned}y - 1 &= 1 \cdot (x - 1) \Rightarrow y \\ &= x\end{aligned}

מציבים בנוסחה

המשיק הוא $y = x$ . הישר $y = 1$ עובר דרך הנקודה $(1, 1)$ , אבל הוא אופקי, ושיפוע המשיק הוא $1$ ולא $0$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

מעבירים משיק לגרף של $y = e^x$ בנקודה שבה $x = 2$ . המשיק חותך את ציר ה- $y$ בנקודה אחת. מהו שיעור ה- $y$ שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: -7.389

Worked solution:

\begin{aligned}f(2) &= e^2 \quad \\ \quad f'(x) &= e^x \Rightarrow f'(2) \\ &= e^2\end{aligned}

הנקודה $(2, e^2)$ והשיפוע

y - e^2 = e^2(x - 2)

מציבים בנוסחת המשיק

\begin{aligned}y &= e^2 x - 2e^2 + e^2 \\ &= e^2 x - e^2\end{aligned}

מבודדים את $y$

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= -e^2 \approx -7.389\end{aligned}

החיתוך של המשיק עם ציר ה- $y$

שיעור ה- $y$ הוא $-e^2 \approx -7.389$ . התשובה $e^2 \approx 7.389$ היא שיעור ה- $y$ של נקודת ההשקה, ולא של החיתוך של המשיק עם ציר ה- $y$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

לפונקציה $f(x) = e^x + x$ יש נקודת קיצון.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f'(x) = e^x + 1

הנגזרת

e^x > 0 \Rightarrow f'(x) > 1 > 0

הנגזרת חיובית לכל $x$

\begin{aligned}e^x + 1 &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= -1\end{aligned}

אין פתרון: $e^x$ תמיד חיובית

הטענה לא נכונה: הנגזרת לא מתאפסת אף פעם, ולכן הפונקציה עולה בכל התחום, ואין לה משיק אופקי. השוו ל- $e^x - x$ : שם הנגזרת היא $e^x - 1$ , והיא מתאפסת ב- $x = 0$ . הסימן שלפני $x$ קובע.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev