Show that, prove that

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בבחינה כמעט כל שאלה על exe^x מבקשת מכם לבדוק משהו שכבר כתוב בשאלה: «הראו כי f′(x)=…f'(x) = \dots», או «הוכיחו כי f′(x)<0f'(x) < 0 בכל תחום ההגדרה». התשובה כבר נתונה. מה שבודקים הוא הדרך: איך מגיעים מ-ff אל הביטוי הנתון, שלב אחרי שלב, בלי לדלג ובלי לרמות.

להראות שהנגזרת שווה לביטוי נתון

הכלל הראשון: מתחילים מ-ff, ולא מהתשובה. גוזרים את ff (כלל המכפלה, כלל המנה, כלל השרשרת), ואחר כך מסדרים: מוציאים גורם משותף, מביאים למכנה משותף, מפרקים לגורמים. ממשיכים עד שמקבלים בדיוק את הביטוי שבשאלה. השורה האחרונה בפתרון היא הביטוי הנתון.

אחרי השלב «גורם משותף» קיבלנו e−x(2x−x2+3)e^{-x}(2x - x^2 + 3). זה שווה לביטוי שבשאלה. האם אפשר לעצור כאן?

Show the answer and the solution

לא כדאי. הביטוי נכון, אבל השאלה ביקשה צורה מסוימת. צריך להראות שהשניים שווים: לפרק את 2x−x2+32x - x^2 + 3 לגורמים, או לפתוח את הסוגריים של −(x−3)(x+1)-(x-3)(x+1) ולקבל אותו טרינום. בלי השורה הזאת, הבודק לא רואה שהגעתם לביטוי הנתון.

לא הצלחתם להגיע לביטוי? אל תעצרו את השאלה. הביטוי הנתון נכון, ומותר להשתמש בו בסעיפים הבאים: לחפש איפה f′(x)=0f'(x) = 0, לבנות טבלת עלייה וירידה. מאבדים רק את הנקודות של הסעיף הזה, ולא את כל השאלה.

שתי כתיבות של אותה פונקציה

לפעמים מבקשים להראות ששני ביטויים שווים: שתי כתיבות שונות של אותה פונקציה. גם כאן מתחילים מאגף אחד בלבד, ומשנים אותו עד שמקבלים את האגף השני. שני כלים חוזרים כל הזמן: מכנה משותף, וכפל המונה והמכנה באותו ביטוי, למשל ב-exe^{x} או ב-e−xe^{-x}.

הראו כי 1ex+1+1e−x+1=1\frac{1}{e^x + 1} + \frac{1}{e^{-x} + 1} = 1 לכל xx

מתחילים מאגף שמאל. השבר השני מכיל e−xe^{-x}, ולכן כופלים את המונה והמכנה שלו ב-exe^x.

1e−x+1=1⋅ex(e−x+1)⋅ex=ex1+ex\begin{aligned}\frac{1}{e^{-x} + 1} &= \frac{1 \cdot e^x}{(e^{-x} + 1) \cdot e^x} \\ &= \frac{e^x}{1 + e^x}\end{aligned}

e−x⋅ex=e0=1e^{-x} \cdot e^x = e^0 = 1. הערך של השבר לא השתנה, כי כפלנו את המונה ואת המכנה באותו מספר, שאינו 00.

1ex+1+exex+1=1+exex+1\frac{1}{e^x + 1} + \frac{e^x}{e^x + 1} = \frac{1 + e^x}{e^x + 1}

עכשיו לשני השברים יש אותו מכנה, ומחברים את המונים.

=1✓= 1 \quad \checkmark

המונה שווה למכנה, ו-ex+1>0e^x + 1 > 0, ולכן השבר שווה ל-11. הגענו לאגף ימין.

הראו כי exex+1=11+e−x\frac{e^x}{e^x + 1} = \frac{1}{1 + e^{-x}}. באיזה ביטוי כדאי לכפול?

Show the answer and the solution

ב-e−xe^{-x}, את המונה ואת המכנה של אגף שמאל: ex⋅e−x(ex+1)e−x=11+e−x\frac{e^x \cdot e^{-x}}{(e^x + 1)e^{-x}} = \frac{1}{1 + e^{-x}}. מתחילים מאגף אחד, ומגיעים לאגף השני.

להוכיח סימן בכל תחום ההגדרה

«הוכיחו כי f′(x)<0f'(x) < 0 בכל תחום ההגדרה» היא טענה על כל xx, ולכן אי אפשר להוכיח אותה בהצבה של מספרים. הדרך: כותבים את f′f' כמכפלה או מנה של גורמים, שהסימן של כל אחד מהם ידוע. ואז קובעים את הסימן של כולו.

eu>0e^{u} > 0

חזקה של ee חיובית תמיד, יהיה המעריך אשר יהיה.

(… )2≥0(\dots)^2 \ge 0

ריבוע אינו שלילי. הוא יכול להיות 00.

(ex−a)2>0(e^x - a)^2 > 0

ריבוע במכנה חיובי ממש: איפה שהוא מתאפס, הפונקציה לא מוגדרת.

−3<0-3 < 0

מספר קבוע: הסימן שלו ידוע.

נתונה f(x)=(x2+1)e−xf(x) = (x^2 + 1)e^{-x}, ומתקבל f′(x)=−(x−1)2e−xf'(x) = -(x - 1)^2 e^{-x}. האם נכון לכתוב f′(x)<0f'(x) < 0 לכל xx?

Show the answer and the solution

לא. (x−1)2≥0(x - 1)^2 \ge 0, והוא מתאפס ב-x=1x = 1. לכן f′(1)=0f'(1) = 0, והטענה הנכונה היא f′(x)≤0f'(x) \le 0. ובכל זאת ff יורדת בכל הישר: הנגזרת מתאפסת בנקודה אחת בלבד, ולא מחליפה שם סימן.

שתי «הוכחות» שאינן הוכחות.

4ex(ex+3)2=4ex(ex+3)2⇒f′(x)=4ex(ex+3)2\begin{aligned}\frac{4e^x}{(e^x+3)^2} &= \frac{4e^x}{(e^x+3)^2} \Rightarrow f'(x) \\ &= \frac{4e^x}{(e^x+3)^2}\end{aligned}
f′(x)=ex(ex+3)−(ex−1)ex(ex+3)2=4ex(ex+3)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^x(e^x+3) - (e^x-1)e^x}{(e^x+3)^2} \\ &= \frac{4e^x}{(e^x+3)^2}\end{aligned}

עבור f(x)=ex−1ex+3f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 3}. הטעות המעגלית: מתחילים מהביטוי שצריך להוכיח, מציבים אותו, ו«מגיעים» ל-0=00 = 0 או לשוויון של ביטוי לעצמו. זה לא מוכיח דבר. ההוכחה הנכונה מתחילה מ-ff וגוזרת אותה.

f′(0)=14 1e0+3=14⇒f′(x)=1ex+3\begin{aligned}f'(0) &= \frac{1}{4} \\ \ \frac{1}{e^0 + 3} &= \frac{1}{4} \Rightarrow f'(x) \\ &= \frac{1}{e^x + 3}\end{aligned}
x=ln⁡3: 4⋅3(3+3)2=13≠16=13+3\begin{aligned}x &= \ln 3 :\ \frac{4 \cdot 3}{(3+3)^2} \\ &= \frac{1}{3} \ne \frac{1}{6} \\ &= \frac{1}{3+3}\end{aligned}

בדיקה בנקודה אחת: שני ביטויים שונים יכולים להיות שווים ב-x=0x = 0. ב-x=ln⁡3x = \ln 3 רואים שהם שונים. בדיקה בנקודה יכולה רק לפסול ביטוי, לעולם לא להוכיח שהוא נכון.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=ex+2ex−1f(x) = \frac{e^x + 2}{e^x - 1}. צריך להראות כי f′(x)=−3ex(ex−1)2f'(x) = \frac{-3e^x}{(e^x - 1)^2}. מהו השלב הראשון הנכון?

  1. f′(x)=ex(ex+2)−(ex−1)ex(ex−1)2f'(x) = \frac{e^x(e^x + 2) - (e^x - 1)e^x}{(e^x - 1)^2}
  2. f′(x)=ex(ex−1)−(ex+2)exex−1f'(x) = \frac{e^x(e^x - 1) - (e^x + 2)e^x}{e^x - 1}
  3. f′(x)=ex(ex−1)−(ex+2)ex(ex−1)2f'(x) = \frac{e^x(e^x - 1) - (e^x + 2)e^x}{(e^x - 1)^2}
  4. f′(x)=exex=1f'(x) = \frac{e^x}{e^x} = 1
Show the answer and the solution

Answer: C f′(x)=ex(ex−1)−(ex+2)ex(ex−1)2f'(x) = \frac{e^x(e^x - 1) - (e^x + 2)e^x}{(e^x - 1)^2}

Worked solution:

(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

כלל המנה: נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה.

u=ex+2 u′=exv=ex−1 v′=ex\begin{aligned}u &= e^x + 2 \\ \ u' &= e^x \qquad v \\ &= e^x - 1 \\ \ v' &= e^x\end{aligned}

מזהים את המונה ואת המכנה ואת הנגזרות שלהם.

f′(x)=ex(ex−1)−(ex+2)ex(ex−1)2=−3ex(ex−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^x(e^x - 1) - (e^x + 2)e^x}{(e^x - 1)^2} \\ &= \frac{-3e^x}{(e^x - 1)^2}\end{aligned}

פותחים סוגריים: e2xe^{2x} מתבטל, ונשאר −ex−2ex=−3ex-e^x - 2e^x = -3e^x.

הטעות הנפוצה היא להחליף את הסדר במונה, u′vu'v ו-uv′uv': אז יוצא אותו ביטוי עם סימן הפוך. גם המכנה בריבוע הוא חלק מהכלל. ומנה אינה נגזרת המונה חלקי נגזרת המכנה.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=(x2+x)e−xf(x) = (x^2 + x)e^{-x}. איזה מהביטויים שווה ל-f′(x)f'(x)?

  1. −e−x(x2−x−1)-e^{-x}(x^2 - x - 1)
  2. (2x+1)e−x(2x + 1)e^{-x}
  3. e−x(x2+3x+1)e^{-x}(x^2 + 3x + 1)
  4. −e−x(x2+x−1)-e^{-x}(x^2 + x - 1)
Show the answer and the solution

Answer: A −e−x(x2−x−1)-e^{-x}(x^2 - x - 1)

Worked solution:

f′(x)=(2x+1)e−x+(x2+x)(−e−x)f'(x) = (2x + 1)e^{-x} + (x^2 + x)(-e^{-x})

כלל המכפלה. הנגזרת של e−xe^{-x} היא −e−x-e^{-x}.

=e−x(2x+1−x2−x)=e−x(−x2+x+1)= e^{-x}(2x + 1 - x^2 - x) = e^{-x}(-x^2 + x + 1)

מוציאים e−xe^{-x} כגורם משותף.

=−e−x(x2−x−1)= -e^{-x}(x^2 - x - 1)

מוציאים −1-1 מהסוגריים: כל הסימנים בפנים מתהפכים.

הביטוי e−x(x2+3x+1)e^{-x}(x^2 + 3x + 1) שוכח את המינוס של (e−x)′(e^{-x})'. הביטוי (2x+1)e−x(2x + 1)e^{-x} גוזר רק גורם אחד. ובביטוי −e−x(x2+x−1)-e^{-x}(x^2 + x - 1) הוציאו −1-1 אבל הפכו רק חלק מהסימנים.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=ex+3ex−1f(x) = \frac{e^x + 3}{e^x - 1}. סדרו את שורות ההוכחה של הטענה: f′(x)<0f'(x) < 0 בכל תחום ההגדרה.

  • −4<0-4 < 0, ex>0e^x > 0, וגם (ex−1)2>0(e^x - 1)^2 > 0 לכל x≠0x \ne 0
  • f′(x)=−4ex(ex−1)2f'(x) = \frac{-4e^x}{(e^x - 1)^2}
  • f′(x)=ex(ex−1)−(ex+3)ex(ex−1)2f'(x) = \frac{e^x(e^x - 1) - (e^x + 3)e^x}{(e^x - 1)^2}
  • x≠0x \ne 0 כי ex−1=0e^x - 1 = 0 רק כאשר x=0x = 0
  • לכן f′(x)<0f'(x) < 0 בכל תחום ההגדרה
Show the answer and the solution

Answer: x≠0x \ne 0 כי ex−1=0e^x - 1 = 0 רק כאשר x=0x = 0 · f′(x)=ex(ex−1)−(ex+3)ex(ex−1)2f'(x) = \frac{e^x(e^x - 1) - (e^x + 3)e^x}{(e^x - 1)^2} · f′(x)=−4ex(ex−1)2f'(x) = \frac{-4e^x}{(e^x - 1)^2} · −4<0-4 < 0, ex>0e^x > 0, וגם (ex−1)2>0(e^x - 1)^2 > 0 לכל x≠0x \ne 0 · לכן f′(x)<0f'(x) < 0 בכל תחום ההגדרה

Worked solution:

x≠0x \ne 0

תחום ההגדרה קודם: בלעדיו אי אפשר לדעת שהמכנה חיובי ממש.

f′(x)=e2x−ex−e2x−3ex(ex−1)2=−4ex(ex−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^{2x} - e^x - e^{2x} - 3e^x}{(e^x - 1)^2} \\ &= \frac{-4e^x}{(e^x - 1)^2}\end{aligned}

כלל המנה, ואחריו פתיחת סוגריים.

(−)(+)(+)<0\frac{(-)(+)}{(+)} < 0

סימן כל גורם, ואז המסקנה.

המסקנה באה אחרונה. מי שכותב «f′(x)<0f'(x) < 0» בשורה הראשונה ואחר כך «מוכיח» אותה, מתחיל מהתשובה, וזו טעות מעגלית.

Check the answer on elev

Exercise 4

תלמיד הציב x=0x = 0 בנגזרת של ff שחישב, וגם בביטוי שבשאלה, וקיבל אותו מספר. הוא כתב: «לכן הראיתי כי f′(x)f'(x) שווה לביטוי שבשאלה». האם ההוכחה שלו נכונה?

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f′(x)=4ex(ex+3)2g(x)=1ex+3\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4e^x}{(e^x+3)^2} \\ \quad g(x) &= \frac{1}{e^x+3}\end{aligned}

דוגמה: שני ביטויים שונים.

f′(0)=416=14=g(0)\begin{aligned}f'(0) &= \frac{4}{16} \\ &= \frac{1}{4} \\ &= g(0)\end{aligned}

ב-x=0x = 0 הם שווים.

f′(ln⁡3)=1236=13≠16=g(ln⁡3)\begin{aligned}f'(\ln 3) &= \frac{12}{36} \\ &= \frac{1}{3} \ne \frac{1}{6} \\ &= g(\ln 3)\end{aligned}

ב-x=ln⁡3x = \ln 3 הם שונים.

שוויון בנקודה אחת לא מוכיח שוויון לכל xx. הבדיקה בנקודה טובה רק כדי לגלות טעות. הוכחה מתחילה מ-ff, גוזרת, ומסדרת עד שמקבלים את הביטוי.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=(x2−3)e−xf(x) = (x^2 - 3)e^{-x}, וידוע כי f′(x)=−(x−3)(x+1)e−xf'(x) = -(x - 3)(x + 1)e^{-x}. חשבו את f′(0)f'(0) בשתי דרכים: מהביטוי הנתון, ומהנגזרת לפי כלל המכפלה. מה הערך?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(0)=−(0−3)(0+1)e0=−(−3)(1)(1)=3\begin{aligned}f'(0) &= -(0 - 3)(0 + 1)e^{0} \\ &= -(-3)(1)(1) \\ &= 3\end{aligned}

מהביטוי הנתון.

f′(x)=2xe−x−(x2−3)e−xf'(x) = 2xe^{-x} - (x^2 - 3)e^{-x}

כלל המכפלה.

f′(0)=0−(0−3)⋅1=3\begin{aligned}f'(0) &= 0 - (0 - 3) \cdot 1 \\ &= 3\end{aligned}

מהנגזרת שחישבנו: אותו ערך.

שתי הדרכים נותנות 33, וזו בדיקה טובה לחישוב. אבל זכרו: ההתאמה בנקודה אחת לא מוכיחה שהביטויים שווים. היא רק לא מצאה טעות.

Check the answer on elev

Exercise 6

ידוע כי f′(x)=−5ex(ex−1)2f'(x) = \frac{-5e^x}{(e^x - 1)^2}, ותחום ההגדרה של ff הוא x≠0x \ne 0. איזה נימוק מוכיח כי f′(x)<0f'(x) < 0 בכל התחום?

  1. הצבנו x=1x = 1 ו-x=−1x = -1, ובשתי הנקודות יצא מספר שלילי.
  2. −5<0-5 < 0, ex>0e^x > 0 לכל xx, ו-(ex−1)2>0(e^x - 1)^2 > 0 לכל x≠0x \ne 0. לכן המנה שלילית.
  3. המונה −5ex-5e^x שלילי, ולכן כל השבר שלילי.
  4. (ex−1)2≥0(e^x - 1)^2 \ge 0 ו-ex>0e^x > 0, ולכן f′(x)≤0f'(x) \le 0.
Show the answer and the solution

Answer: B −5<0-5 < 0, ex>0e^x > 0 לכל xx, ו-(ex−1)2>0(e^x - 1)^2 > 0 לכל x≠0x \ne 0. לכן המנה שלילית.

Worked solution:

−5<0-5 < 0

גורם קבוע שלילי.

ex>0e^x > 0

חזקה של ee חיובית תמיד.

(ex−1)2>0(x≠0)(e^x - 1)^2 > 0 \quad (x \ne 0)

ריבוע שמתאפס רק ב-x=0x = 0, נקודה שאינה בתחום.

f′(x)=(−)(+)(+)<0f'(x) = \frac{(-)(+)}{(+)} < 0

המסקנה.

הצבה של שתי נקודות לא מכסה את כל התחום. נימוק על המונה בלבד שוכח שגם המכנה יכול היה להיות שלילי. והנימוק עם ≥0\ge 0 מוכיח רק f′(x)≤0f'(x) \le 0: הוא לא משתמש בכך ש-x=0x = 0 מחוץ לתחום, ולכן לא מגיע לאי-שוויון חזק.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה f(x)=(x2+1)e−xf(x) = (x^2 + 1)e^{-x}, ו-f′(x)=−(x−1)2e−xf'(x) = -(x - 1)^2 e^{-x}. נכון או לא נכון: f′(x)<0f'(x) < 0 לכל xx.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f′(x)=2xe−x−(x2+1)e−x=−e−x(x2−2x+1)=−(x−1)2e−x\begin{aligned}f'(x) &= 2xe^{-x} - (x^2 + 1)e^{-x} \\ &= -e^{-x}(x^2 - 2x + 1) \\ &= -(x - 1)^2 e^{-x}\end{aligned}

הנגזרת, כדי לוודא שהביטוי נכון.

f′(1)=−(0)2e−1=0\begin{aligned}f'(1) &= -(0)^2 e^{-1} \\ &= 0\end{aligned}

ב-x=1x = 1 הנגזרת מתאפסת.

f′(x)≤0f'(x) \le 0

הטענה הנכונה: קטן או שווה לאפס.

(x−1)2(x - 1)^2 הוא ריבוע, והוא יכול להיות 00. לכן אי-השוויון הוא ≤\le, ולא <<. בכל זאת ff יורדת בכל הישר, כי f′f' מתאפסת בנקודה אחת בלבד ולא מחליפה בה סימן.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה g(x)=5ex+1+5e−x+1g(x) = \frac{5}{e^x + 1} + \frac{5}{e^{-x} + 1}. הראו שהביטוי הוא מספר קבוע, ומצאו את g(7)g(7) בלי מחשבון.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

5e−x+1=5ex(e−x+1)ex=5ex1+ex\begin{aligned}\frac{5}{e^{-x} + 1} &= \frac{5e^x}{(e^{-x} + 1)e^x} \\ &= \frac{5e^x}{1 + e^x}\end{aligned}

כופלים את המונה ואת המכנה של השבר השני ב-exe^x.

g(x)=5+5exex+1=5(1+ex)ex+1=5\begin{aligned}g(x) &= \frac{5 + 5e^x}{e^x + 1} \\ &= \frac{5(1 + e^x)}{e^x + 1} \\ &= 5\end{aligned}

מכנה משותף, ואז מצמצמים.

g(7)=5g(7) = 5

הפונקציה קבועה, ולכן גם g(7)=5g(7) = 5.

מי שמציב x=7x = 7 ישירות צריך את e7e^7, ומקבל תשובה מקורבת. כשמפשטים קודם, מגלים ש-gg קבועה, והתשובה מדויקת.

Check the answer on elev

Exercise 9

רוצים להראות כי ex−e−xex+e−x=e2x−1e2x+1\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}. מהו המעבר הנכון?

  1. מצמצמים את exe^x במונה עם exe^x במכנה, ונשאר −e−xe−x\frac{-e^{-x}}{e^{-x}}
  2. כופלים רק את המונה של אגף שמאל ב-exe^x
  3. כופלים את המונה ואת המכנה של אגף שמאל ב-e−xe^{-x}
  4. כופלים את המונה ואת המכנה של אגף שמאל ב-exe^x
Show the answer and the solution

Answer: D כופלים את המונה ואת המכנה של אגף שמאל ב-exe^x

Worked solution:

(ex−e−x)ex(ex+e−x)ex\frac{(e^x - e^{-x})e^x}{(e^x + e^{-x})e^x}

כופלים את המונה ואת המכנה באותו ביטוי: הערך לא משתנה.

=e2x−e0e2x+e0=e2x−1e2x+1✓= \frac{e^{2x} - e^{0}}{e^{2x} + e^{0}} = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} \quad \checkmark

ex⋅ex=e2xe^x \cdot e^x = e^{2x}, ו-e−x⋅ex=1e^{-x} \cdot e^x = 1.

כפל של המונה בלבד משנה את הערך של השבר. כפל ב-e−xe^{-x} נותן 1−e−2x1+e−2x\frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}}, שזה נכון אבל לא האגף השני. ו«צמצום» של איברים בתוך סכום אסור: מצמצמים רק גורמים.

Check the answer on elev

Exercise 10

צריך להראות כי f′(x)=4ex(ex+4)2f'(x) = \frac{4e^x}{(e^x + 4)^2} עבור f(x)=exex+4f(x) = \frac{e^x}{e^x + 4}. איזו מהדרכים היא הוכחה?

  1. מציירים את הגרף של ff ורואים שהוא עולה.
  2. גוזרים את ff בכלל המנה, פותחים סוגריים, ומקבלים 4ex(ex+4)2\frac{4e^x}{(e^x + 4)^2}.
  3. כותבים f′(x)=4ex(ex+4)2f'(x) = \frac{4e^x}{(e^x + 4)^2}, כופלים את שני האגפים ב-(ex+4)2(e^x + 4)^2, ומקבלים 4ex=4ex4e^x = 4e^x.
  4. מציבים x=0x = 0 בשני הביטויים, ומקבלים בשניהם 425\frac{4}{25}.
Show the answer and the solution

Answer: B גוזרים את ff בכלל המנה, פותחים סוגריים, ומקבלים 4ex(ex+4)2\frac{4e^x}{(e^x + 4)^2}.

Worked solution:

f′(x)=ex(ex+4)−ex⋅ex(ex+4)2f'(x) = \frac{e^x(e^x + 4) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 4)^2}

כלל המנה. מתחילים מ-ff.

=e2x+4ex−e2x(ex+4)2=4ex(ex+4)2✓= \frac{e^{2x} + 4e^x - e^{2x}}{(e^x + 4)^2} = \frac{4e^x}{(e^x + 4)^2} \quad \checkmark

e2xe^{2x} מתבטל.

הדרך עם 4ex=4ex4e^x = 4e^x היא מעגלית: היא מתחילה מהשוויון שצריך להוכיח, ולכן היא מניחה אותו. הצבה בנקודה אחת לא מכסה את כל ה-xx. וגרף עולה מראה רק ש-f′≥0f' \ge 0, לא מהו f′f'.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה f(x)=e2xex+1f(x) = \frac{e^{2x}}{e^x + 1}. נכון או לא נכון: f′(x)=e2x(ex+2)(ex+1)2f'(x) = \frac{e^{2x}(e^x + 2)}{(e^x + 1)^2}.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f′(x)=2e2x(ex+1)−e2x⋅ex(ex+1)2f'(x) = \frac{2e^{2x}(e^x + 1) - e^{2x} \cdot e^x}{(e^x + 1)^2}

כלל המנה. הנגזרת של e2xe^{2x} היא 2e2x2e^{2x}, לפי כלל השרשרת.

=e2x(2(ex+1)−ex)(ex+1)2= \frac{e^{2x}\left(2(e^x + 1) - e^x\right)}{(e^x + 1)^2}

מוציאים e2xe^{2x} כגורם משותף מהמונה.

=e2x(ex+2)(ex+1)2= \frac{e^{2x}(e^x + 2)}{(e^x + 1)^2}

2ex+2−ex=ex+22e^x + 2 - e^x = e^x + 2.

נכון. המלכודת היא לגזור את e2xe^{2x} ל-e2xe^{2x} ולשכוח את ה-22 של כלל השרשרת. אז המונה יוצא e2x⋅1e^{2x} \cdot 1, ולא מגיעים לביטוי.

Check the answer on elev

Exercise 12

נתונה f(x)=ex+2ex−1f(x) = \frac{e^x + 2}{e^x - 1}, וידוע כי f′(x)=−3ex(ex−1)2f'(x) = \frac{-3e^x}{(e^x - 1)^2}. חשבו את f′(ln⁡2)f'(\ln 2).

Show the answer and the solution

Answer: -6

Worked solution:

eln⁡2=2e^{\ln 2} = 2

לפי ההגדרה של ln⁡\ln.

f′(ln⁡2)=−3⋅2(2−1)2=−61=−6\begin{aligned}f'(\ln 2) &= \frac{-3 \cdot 2}{(2 - 1)^2} \\ &= \frac{-6}{1} \\ &= -6\end{aligned}

מציבים ex=2e^x = 2 בביטוי הנתון.

גם מי שלא הצליח להראות את הביטוי בסעיף הקודם, משתמש בו כאן: הוא נתון. הטעות הנפוצה היא להציב ln⁡2\ln 2 במקום eln⁡2e^{\ln 2}, ולא 22.

Check the answer on elev

Exercise 13

נתונה פונקציה gg המוגדרת לכל xx, ו-g′(x)=(ex−2)2e−xg'(x) = (e^x - 2)^2 e^{-x}. מה נכון?

  1. ל-gg יש נקודת קיצון ב-x=ln⁡2x = \ln 2, כי שם g′(x)=0g'(x) = 0.
  2. g′(x)≥0g'(x) \ge 0, והיא מתאפסת רק ב-x=ln⁡2x = \ln 2. לכן gg עולה בכל הישר.
  3. g′(x)>0g'(x) > 0 לכל xx, כי ריבוע תמיד חיובי.
  4. אי אפשר לדעת את הסימן של g′g' בלי טבלה.
Show the answer and the solution

Answer: B g′(x)≥0g'(x) \ge 0, והיא מתאפסת רק ב-x=ln⁡2x = \ln 2. לכן gg עולה בכל הישר.

Worked solution:

(ex−2)2≥0,e−x>0(e^x - 2)^2 \ge 0 ,\quad e^{-x} > 0

ריבוע אינו שלילי, ו-e−xe^{-x} חיובי.

g′(ln⁡2)=(2−2)2⋅12=0\begin{aligned}g'(\ln 2) &= (2 - 2)^2 \cdot \tfrac{1}{2} \\ &= 0\end{aligned}

הריבוע מתאפס רק כאשר ex=2e^x = 2.

g′(x)>0(x≠ln⁡2)g'(x) > 0 \quad (x \ne \ln 2)

משני צידי ln⁡2\ln 2 הנגזרת חיובית: אין החלפת סימן.

ריבוע יכול להיות 00, ולכן g′(x)>0g'(x) > 0 לכל xx שגוי. ונקודה שבה g′=0g' = 0 היא קיצון רק אם g′g' מחליפה בה סימן. כאן היא לא מחליפה סימן, ולכן אין קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 14

סדרו את שורות ההוכחה: 1ex+1+1e−x+1=1\frac{1}{e^x + 1} + \frac{1}{e^{-x} + 1} = 1 לכל xx.

  • המונה שווה למכנה, ולכן הסכום שווה ל-11
  • כופלים את המונה ואת המכנה של השבר השני ב-exe^x: ex1+ex\frac{e^x}{1 + e^x}
  • לשני השברים יש מכנה משותף: 1+exex+1\frac{1 + e^x}{e^x + 1}
  • מתחילים מאגף שמאל: 1ex+1+1e−x+1\frac{1}{e^x + 1} + \frac{1}{e^{-x} + 1}
Show the answer and the solution

Answer: מתחילים מאגף שמאל: 1ex+1+1e−x+1\frac{1}{e^x + 1} + \frac{1}{e^{-x} + 1} · כופלים את המונה ואת המכנה של השבר השני ב-exe^x: ex1+ex\frac{e^x}{1 + e^x} · לשני השברים יש מכנה משותף: 1+exex+1\frac{1 + e^x}{e^x + 1} · המונה שווה למכנה, ולכן הסכום שווה ל-11

Worked solution:

1e−x+1=ex1+ex\frac{1}{e^{-x} + 1} = \frac{e^x}{1 + e^x}

e−x⋅ex=1e^{-x} \cdot e^x = 1.

1ex+1+exex+1=1+exex+1=1\begin{aligned}\frac{1}{e^x + 1} + \frac{e^x}{e^x + 1} &= \frac{1 + e^x}{e^x + 1} \\ &= 1\end{aligned}

מחברים מונים, ומצמצמים.

ההוכחה מתחילה באגף שמאל ומסתיימת ב-11. שורה שמתחילה ב«=1= 1» ועובדת לאחור מניחה את מה שצריך להוכיח.

Check the answer on elev

Exercise 15

נתונה f(x)=exex+4f(x) = \frac{e^x}{e^x + 4}, וידוע כי f′(x)=4ex(ex+4)2f'(x) = \frac{4e^x}{(e^x + 4)^2}. חשבו את f′(1)f'(1). עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.241

Worked solution:

f′(1)=4e(e+4)2f'(1) = \frac{4e}{(e + 4)^2}

מציבים x=1x = 1, ו-e1=ee^1 = e.

≈10.87345.135≈0.241\approx \frac{10.873}{45.135} \approx 0.241

e≈2.718e \approx 2.718.

מציבים בביטוי הנתון, לא בביטוי שחישבתם בעצמכם: אם טעיתם בגזירה, הביטוי הנתון עדיין נכון. ושימו לב לסוגריים: (e+4)2(e + 4)^2, ולא e+42e + 4^2.

Check the answer on elev

Exercise 16

בסעיף א התבקשתם להראות כי f′(x)=−3ex(ex−2)2f'(x) = \frac{-3e^x}{(e^x - 2)^2}, ולא הצלחתם. נכון או לא נכון: בסעיף ב, שבו מבקשים את תחומי העלייה והירידה, מותר להשתמש בביטוי הזה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f′(x)=−3ex(ex−2)2f'(x) = \frac{-3e^x}{(e^x - 2)^2}

הביטוי נתון בשאלה, ולכן הוא נכון.

(−)(+)(+)<0(x≠ln⁡2)\frac{(-)(+)}{(+)} < 0 \quad (x \ne \ln 2)

ממנו מקבלים את הסימן של f′f'.

x<ln⁡2,x>ln⁡2x < \ln 2 ,\quad x > \ln 2

ff יורדת בכל אחד משני התחומים.

נכון. ביטוי שכתוב בשאלה אחרי «הראו כי» הוא עובדה לשאר השאלה. מי שמוותר על סעיף ב כי לא הצליח בסעיף א מפסיד נקודות בלי סיבה.

Check the answer on elev

Exercise 17

נתונה k(x)=ex−1ex+1k(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}. הראו כי k′(x)=2ex(ex+1)2k'(x) = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}, וחשבו את k′(0)k'(0).

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

k′(x)=ex(ex+1)−(ex−1)ex(ex+1)2k'(x) = \frac{e^x(e^x + 1) - (e^x - 1)e^x}{(e^x + 1)^2}

כלל המנה.

=e2x+ex−e2x+ex(ex+1)2=2ex(ex+1)2= \frac{e^{2x} + e^x - e^{2x} + e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}

פותחים סוגריים. שימו לב: −(ex−1)ex=−e2x+ex-(e^x - 1)e^x = -e^{2x} + e^x.

k′(0)=2(1+1)2=24=0.5\begin{aligned}k'(0) &= \frac{2}{(1 + 1)^2} \\ &= \frac{2}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

מציבים e0=1e^0 = 1.

הטעות הנפוצה היא בסימן: −(ex−1)ex-(e^x - 1)e^x נפתח ל-−e2x+ex-e^{2x} + e^x, ולא ל-−e2x−ex-e^{2x} - e^x. מי שטועה כאן מקבל מונה 00, ולא יכול להגיע לביטוי הנתון.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade