Studying an exponential function · The exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בבחינה מבקשים לחקור פונקציה בכמה סעיפים. בשיעור הזה נחקור אותם תמיד באותו סדר. חלק מהסעיפים נשענים על אלה שלפניהם: למשל, אי אפשר לחפש אסימפטוטה אנכית בלי לדעת את תחום ההגדרה, ואי אפשר לסרטט סקיצה בלי כל השאר. נחקור כך את הפונקציה $f(x) = (x-1)e^x$ .

1

תחום ההגדרה

2

אסימפטוטות המאונכות לצירים

3

נקודות החיתוך עם הצירים

4

תחומי עלייה וירידה

5

נקודות קיצון וסוגן

6

נקודת פיתול

7

סקיצה של גרף הפונקציה

Interactive activity

תחום ההגדרה: $e^x$ מוגדרת לכל $x$ , וגם $x-1$ מוגדר לכל $x$ . אין מכנה שיכול להתאפס ואין שורש, ולכן גם המכפלה $(x-1)e^x$ מוגדרת לכל $x$ .

אסימפטוטות: אין אסימפטוטה אנכית, כי הפונקציה מוגדרת לכל $x$ . כאשר $x\to-\infty$ , $e^x$ שואפת ל- $0$ מהר יותר מש- $x-1$ גדל בערכו המוחלט, ולכן המכפלה שואפת ל- $0$ : אסימפטוטה $y=0$ משמאל. כאשר $x\to+\infty$ שני הגורמים גדלים בלי גבול, ולכן מימין אין אסימפטוטה.

נקודות החיתוך: $e^x > 0$ לכל $x$ , ולכן $f(x) = 0$ רק כאשר $x-1 = 0$ , כלומר בנקודה $(1, 0)$ . עם ציר ה- $y$ מציבים $x = 0$ : $f(0) = (0-1)e^0 = -1$ , כלומר הנקודה $(0, -1)$ .

עלייה וירידה: לפי כלל המכפלה $f'(x) = e^x + (x-1)e^x = xe^x$ . הגורם $e^x$ תמיד חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $x$ : כאשר $x<0$ הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת, וכאשר $x>0$ הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

קיצון: $f'(0) = 0$ , והנגזרת עוברת בנקודה הזאת משלילית לחיובית: הפונקציה יורדת עד $x=0$ ואחר כך עולה. לכן $(0, -1)$ היא נקודת מינימום.

נקודת פיתול: $f''(x) = e^x + xe^x = (x+1)e^x$ . שוב $e^x > 0$ , ולכן $f''$ מחליפה סימן רק כאשר $x = -1$ : משמאל לנקודה יש לגרף קעירות כלפי מטה, ומימין לה קעירות כלפי מעלה. $f(-1) = -\frac{2}{e} \approx -0.736$ .

סקיצה: מחברים את כל התוצאות. משמאל הגרף קרוב לאסימפטוטה $y=0$ ומתחתיה, יורד, עובר בנקודת הפיתול שבה $x=-1$ , מגיע למינימום $(0,-1)$ , ואז עולה, חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(1,0)$ וממשיך לעלות בלי גבול.

מההתחלה

הפונקציה היא $f(x) = (x-1)e^x$ . כל לחיצה מוסיפה לציור סעיף אחד של החקירה. הטבלה שבפינה היא טבלת הסימנים של $f'$ : הסימן בכל צד של הקיצון מחושב מהנגזרת.

Do the activity on elev

עכשיו פונקציה אחרת: לפונקציה $f(x) = xe^{-x}$ יש אסימפטוטה $y=0$ . באיזה צד היא נמצאת, ולמה?

Show the answer and the solution

מימין. כאשר $x\to+\infty$ , $e^{-x}$ שואפת ל- $0$ מהר יותר מש- $x$ גדל, ולכן $f(x) \to 0$ . כאשר $x\to-\infty$ , $e^{-x}$ גדלה בלי גבול ו- $x$ שלילי, ולכן $f(x) \to -\infty$ : משמאל אין אסימפטוטה.

Interactive activity

תחום ההגדרה: $x$ ו- $e^{-x}$ מוגדרים לכל $x$ , ולכן גם המכפלה $f(x) = xe^{-x}$ מוגדרת לכל $x$ .

אסימפטוטות: אין אסימפטוטה אנכית, כי $f$ מוגדרת לכל $x$ . כאשר $x\to+\infty$ , $e^{-x}$ שואפת ל- $0$ מהר יותר מש- $x$ גדל, ולכן $f(x)\to 0$ : אסימפטוטה $y=0$ מימין. כאשר $x\to-\infty$ המכפלה שואפת ל- $-\infty$ , ולכן משמאל אין אסימפטוטה.

נקודות החיתוך: $e^{-x} > 0$ לכל $x$ , ולכן $f(x) = 0$ רק כאשר $x = 0$ . גם $f(0) = 0$ , ולכן הגרף חותך את שני הצירים באותה נקודה: ראשית הצירים $(0, 0)$ .

עלייה וירידה: $f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$ . הסימן של $f'$ הוא הסימן של $1-x$ : כאשר $x<1$ הנגזרת חיובית והפונקציה עולה, וכאשר $x>1$ הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.

קיצון: $f'(1) = 0$ , והנגזרת עוברת בנקודה הזאת מחיובית לשלילית: הפונקציה עולה ואחר כך יורדת. לכן $\left(1, \frac{1}{e}\right) \approx (1, 0.368)$ היא נקודת מקסימום.

נקודת פיתול: $f''(x) = -e^{-x} - (1-x)e^{-x} = (x-2)e^{-x}$ . הסימן של $f''$ הוא הסימן של $x-2$ , ולכן הוא מתחלף רק כאשר $x = 2$ : משמאל לנקודה יש לגרף קעירות כלפי מטה, ומימין לה קעירות כלפי מעלה. $f(2) = \frac{2}{e^2} \approx 0.271$ .

סקיצה: משמאל הגרף מגיע מלמטה, עולה, עובר בראשית הצירים ומגיע למקסימום כאשר $x=1$ . אחר כך הוא יורד, עובר בנקודת הפיתול שבה $x=2$ , ומתקרב מלמעלה לאסימפטוטה $y=0$ .

מההתחלה

הפונקציה היא $f(x) = xe^{-x}$ . כאן הסימנים בטבלה הפוכים: $f'$ חיובית לפני הקיצון ושלילית אחריו, ולכן זו נקודת מקסימום.

Do the activity on elev

הטעות של האסימפטוטה בשני הצדדים.

x \to \pm\infty \Rightarrow (x-1)e^x \to 0

x \to -\infty \Rightarrow (x-1)e^x \to 0 \quad , \quad x \to +\infty \Rightarrow (x-1)e^x \to +\infty

האסימפטוטה $y=0$ משני הצדדים היא טעות. לגרף של $e^x$ יש אסימפטוטה $y=0$ משמאל בלבד, והכפל ב- $x-1$ לא מוסיף אחת מימין. בודקים כל צד בנפרד.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

$x>0$
$x>-1$
כל $x$
$x \ne -1$

Show the answer and the solution

Answer: C כל $x$

Worked solution:

g(x) = (x+1) \cdot e^x

מכפלה של $x+1$ ושל $e^x$ . שני הגורמים מוגדרים לכל $x$ , ואין מכנה ואין שורש

\begin{aligned}g(-1) &= 0 \cdot e^{-1} \\ &= 0\end{aligned}

גם כאשר $x=-1$ הפונקציה מוגדרת: היא מתאפסת שם

תחום ההגדרה הוא כל $x$ . התשובה $x \ne -1$ מבלבלת בין נקודה שבה הפונקציה מתאפסת לבין נקודה שבה היא לא מוגדרת.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . מהו שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $x$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

\begin{aligned}g(x) &= 0 \Rightarrow (x+1)e^x \\ &= 0\end{aligned}

על ציר ה- $x$ הערך של הפונקציה הוא $0$

\begin{aligned}e^x > 0 \quad \\ \quad (x+1)e^x &= 0 \Rightarrow x + 1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

$e^x$ אף פעם לא מתאפסת

הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(-1, 0)$ , ושיעור ה- $x$ שלה הוא $-1$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . מהו שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $y$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}g(0) &= (0+1)e^0 \\ &= 1 \cdot 1 \\ &= 1\end{aligned}

על ציר ה- $y$ מציבים $x=0$

הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0, 1)$ , ושיעור ה- $y$ שלה הוא $1$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . לפונקציה יש נקודת מינימום אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה?

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

\begin{aligned}g'(x) &= e^x + (x+1)e^x \\ &= (x+2)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}g'(x) &= 0 \Rightarrow x + 2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

כי $e^x > 0$

x < -2 : g' < 0 \quad , \quad x > -2 : g' > 0

הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: מינימום

נקודת המינימום נמצאת כאשר $x = -2$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . לפונקציה יש נקודת מינימום אחת. מהו שיעור ה- $y$ של נקודת המינימום? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: -0.135

Worked solution:

\begin{aligned}g'(x) &= (x+2)e^x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

שיעור ה- $x$ של נקודת המינימום

\begin{aligned}g(-2) &= (-2+1)e^{-2} \\ &= -e^{-2} \\ &= -\frac{1}{e^2} \approx -0.135\end{aligned}

מציבים בפונקציה עצמה, לא בנגזרת

נקודת המינימום היא $\left(-2, -\frac{1}{e^2}\right)$ , ושיעור ה- $y$ שלה הוא בערך $-0.135$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . לגרף הפונקציה יש נקודת פיתול אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה?

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

g'(x) = (x+2)e^x

הנגזרת הראשונה

\begin{aligned}g''(x) &= e^x + (x+2)e^x \\ &= (x+3)e^x\end{aligned}

גוזרים שוב, לפי כלל המכפלה

\begin{aligned}g''(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

כי $e^x > 0$

x < -3 : g'' < 0 \quad , \quad x > -3 : g'' > 0

$g''$ מחליפה סימן, ולכן זו נקודת פיתול

נקודת הפיתול נמצאת כאשר $x = -3$ : משמאל לה יש לגרף קעירות כלפי מטה, ומימין לה קעירות כלפי מעלה.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . מהי האסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה?

אין לגרף אסימפטוטה אופקית
$y=0$ כאשר $x \to -\infty$
$y=0$ כאשר $x \to +\infty$
$y=1$

Show the answer and the solution

Answer: B $y=0$ כאשר $x \to -\infty$

Worked solution:

x \to -\infty \Rightarrow (x+1)e^x \to 0

$e^x$ שואפת ל- $0$ מהר יותר מש- $x+1$ גדל בערכו המוחלט

x \to +\infty \Rightarrow (x+1)e^x \to +\infty

שני הגורמים גדלים בלי גבול

האסימפטוטה האופקית היא $y=0$ כאשר $x \to -\infty$ , ורק בצד הזה. $y=1$ הוא שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ , ולא אסימפטוטה.

Check the answer on elev

Exercise 8

חוקרים את הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . סדרו את סעיפי החקירה לפי הסדר שבו חקרנו בשיעור הזה.

אסימפטוטות המאונכות לצירים
נקודות החיתוך עם הצירים
נקודות קיצון וסוגן
נקודת פיתול
סקיצה של גרף הפונקציה
תחום ההגדרה
תחומי עלייה וירידה

Show the answer and the solution

Answer: תחום ההגדרה · אסימפטוטות המאונכות לצירים · נקודות החיתוך עם הצירים · תחומי עלייה וירידה · נקודות קיצון וסוגן · נקודת פיתול · סקיצה של גרף הפונקציה

Worked solution:

\begin{aligned}x \in \mathbb{R} \ ; \ y &= 0 \ (x \to -\infty) \ ; \ (-1, 0) \\ (0, 1)\end{aligned}

קודם מה שקוראים מהפונקציה עצמה: תחום ההגדרה, האסימפטוטה ונקודות החיתוך

g'(x) = (x+2)e^x \ ; \ \min \left(-2, -\frac{1}{e^2}\right)

אחר כך הנגזרת: עלייה, ירידה והקיצון

\begin{aligned}g''(x) &= (x+3)e^x \ ; \ g''(-3) \\ &= 0\end{aligned}

הנגזרת השנייה: נקודת הפיתול

x \to -\infty : g(x) \to 0 \quad , \quad x \to +\infty : g(x) \to +\infty

הסקיצה משתמשת בכל התוצאות, ולכן היא אחרונה

הסדר הוא: תחום ההגדרה, אסימפטוטות, נקודות חיתוך, עלייה וירידה, קיצון, פיתול, סקיצה. זה הסדר שבו חקרנו בשיעור. חלק ממנו הכרחי: תחום ההגדרה לפני האסימפטוטה האנכית, והסקיצה בסוף. חלק ממנו הרגל: אפשר גם למצוא את נקודות הקיצון לפני שכותבים את תחומי העלייה והירידה.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ , שחקרנו בתרגילים הקודמים. איזה מבין הגרפים הוא הסקיצה שלה?

גרף IV
גרף III
גרף I
גרף II

Show the answer and the solution

Answer: C גרף I

Worked solution:

g(0) = 1

הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0,1)$ . גרפים III ו-IV עוברים ב- $(0,-1)$ : נפסלים

x \to -\infty : g(x) \to 0

האסימפטוטה $y = 0$ נמצאת משמאל. בגרף II היא מימין: נפסל

\min \left(-2, -\frac{1}{e^2}\right) \approx (-2, -0.135)

ובגרף I יש מינימום קטן מתחת לציר, כאשר $x = -2$

גרף I. הסקיצה משתמשת בכל הסעיפים: חיתוך עם ציר ה- $y$ , הצד של האסימפטוטה ונקודת הקיצון. המינימום קרוב מאוד לציר, $-0.135$ , ולכן קל לפספס אותו בסקיצה.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . בתחום $-3 < x < -2$ הפונקציה עולה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

g'(x) = (x+2)e^x

הנגזרת, לפי כלל המכפלה

-3 < x < -2 \Rightarrow x + 2 < 0 \Rightarrow g'(x) < 0

כי $e^x > 0$

g''(x) = (x+3)e^x > 0 \quad (x > -3)

בתחום הזה הקעירות כלפי מעלה, אבל זה לא אומר שהפונקציה עולה

הטענה לא נכונה: בתחום הזה $g' < 0$ , והפונקציה יורדת עד המינימום ב- $x = -2$ . עלייה וירידה נקבעות לפי הסימן של $g'$ . הסימן של $g''$ קובע רק את הקעירות.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev