When the exponent is a function · The exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד עכשיו המעריך היה כמעט תמיד ישר: $e^x$ , $e^{-x}$ , $e^{2x+1}$ . בבחינה מופיעות גם פונקציות כמו $e^{\frac{1}{x}}$ או $e^{-x^2}$ , שבהן המעריך הוא פונקציה בפני עצמה. נסמן את המעריך ב- $u(x)$ . הרעיון: חוקרים קודם את $u$ , ואז מתרגמים כל תכונה שלו לתכונה של $e^{u}$ .

מה המעריך עושה לפונקציה

u \to +\infty \Rightarrow e^u \to +\infty

מעריך גדול מאוד: הפונקציה גדולה מאוד

u \to -\infty \Rightarrow e^u \to 0^+

מעריך שלילי וגדול: הפונקציה מתקרבת ל- $0$ , ונשארת חיובית

u \to c \Rightarrow e^u \to e^c

מעריך שמתקרב למספר: הפונקציה מתקרבת ל- $e^c$

(e^u)' = u' \cdot e^u

$e^u > 0$ , ולכן לנגזרת יש אותו סימן כמו $u'$ : $e^u$ עולה איפה ש- $u$ עולה

מהי האסימפטוטה האופקית של $f(x) = e^{\frac{1}{x}}$ , ולמה היא אותה אסימפטוטה בשני הצדדים?

Show the answer and the solution

כאשר $x \to +\infty$ וגם כאשר $x \to -\infty$ , המעריך $\frac{1}{x}$ שואף ל- $0$ . לכן $f(x) \to e^0 = 1$ : האסימפטוטה היא $y = 1$ בשני הצדדים.

הפעמון: e בחזקת מינוס x בריבוע

ב- $f(x) = e^{-x^2}$ המעריך $u(x) = -x^2$ הוא פרבולה הפוכה. הוא הכי גדול ב- $x = 0$ , ושם $f(0) = e^0 = 1$ : זה המקסימום. בשני הצדדים $u \to -\infty$ , ולכן $f \to 0$ . ומכיוון ש- $(-x)^2 = x^2$ , מתקיים $f(-x) = f(x)$ : הפונקציה זוגית, והגרף סימטרי ביחס לציר ה- $y$ .

למה לגרף של $f'(x) = -2xe^{-x^2}$ יש סימטריה אחרת מזו של $f$ ?

Show the answer and the solution

$f'(-x) = -2(-x)e^{-x^2} = 2xe^{-x^2} = -f'(x)$ . הנגזרת היא פונקציה אי-זוגית: הגרף שלה סימטרי ביחס לראשית. זה תמיד כך: הנגזרת של פונקציה זוגית היא אי-זוגית.

לבדוק זוגיות: מציבים $-x$ במקום $x$ . אם יוצאת אותה פונקציה, היא זוגית. אם יוצאת מינוס הפונקציה, היא אי-זוגית. הפונקציה $e^{u(x)}$ חיובית תמיד, ולכן היא לעולם לא אי-זוגית.

הטעות של הצד האחד.

x \to 0 : e^{\frac{1}{x}} \to \infty

x \to 0^+ : e^{\frac{1}{x}} \to \infty ,\quad x \to 0^- : e^{\frac{1}{x}} \to 0

המעריך $\frac{1}{x}$ מתנהג אחרת משני צדי האפס, ולכן גם הפונקציה. בודקים כל צד בנפרד, וכותבים שהאסימפטוטה האנכית $x = 0$ היא רק מימין.

Exercises

Exercise 1

לפונקציה $f(x) = e^{\frac{1}{x}}$ יש אסימפטוטה אופקית $y = c$ . מצאו את $c$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

x \to \pm\infty : \frac{1}{x} \to 0

e^{\frac{1}{x}} \to e^0 = 1

$c = 1$ . האסימפטוטה האופקית היא $y = 1$ , לא $y = 0$ : המעריך שואף ל- $0$ , אבל $e^0 = 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{\frac{1}{x}}$ . למה שואפת $f(x)$ כאשר $x \to 0^-$ (משמאל)?

$e$
$+\infty$
$0$
$1$

Show the answer and the solution

Answer: C $0$

Worked solution:

x \to 0^- : \frac{1}{x} \to -\infty

מספר קטן ושלילי: ההפכי שלו שלילי וגדול

e^{-\infty} \to 0

$f(x) \to 0$ . מימין התשובה היא $+\infty$ : לכן בודקים כל צד בנפרד.

Check the answer on elev

Exercise 3

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה $f(x) = e^{\frac{1}{x}}$ ?

גרף III
גרף I
גרף IV
גרף II

Show the answer and the solution

Answer: D גרף II

Worked solution:

x \to 0^+ : e^{\frac{1}{x}} \to \infty

מימין לאפס הגרף עולה בלי גבול. בגרפים III ו-IV הוא יורד ל- $0$ מימין: נפסלים

x \to 0^- : e^{\frac{1}{x}} \to 0

משמאל לאפס הגרף שואף ל- $0$ . בגרף I הוא עולה בלי גבול גם משמאל: נפסל

גרף II. גרף I הוא $e^{\frac{1}{x^2}}$ : המעריך חיובי בשני הצדדים, ולכן הגרף עולה לאינסוף משני צדי האפס.

Check the answer on elev

Exercise 4

הפונקציה $f(x) = e^{-x^2}$ היא פונקציה זוגית.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}f(-x) &= e^{-(-x)^2} \\ &= e^{-x^2} \\ &= f(x)\end{aligned}

הטענה נכונה. שימו לב לסוגריים: $-(-x)^2 = -x^2$ , כי מעלים בריבוע לפני שמוסיפים את המינוס.

Check the answer on elev

Exercise 5

מצאו את הערך הגדול ביותר של הפונקציה $f(x) = e^{2x - x^2}$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 2.718

Worked solution:

\begin{aligned}u(x) &= 2x - x^2 \\ &= 1 - (x - 1)^2 \le 1\end{aligned}

המעריך הכי גדול ב- $x = 1$ , ושם $u = 1$

f_{\max} = e^1 \approx 2.718

$e^u$ גדלה כש- $u$ גדל, ולכן הערך הגדול ביותר של $f$ מתקבל כש- $u$ הכי גדול

$f_{\max} = e \approx 2.718$ . מספיק למצוא את המקסימום של המעריך.

Check the answer on elev

Exercise 6

לפונקציה $f(x) = e^{-(x-3)^2}$ יש נקודת מקסימום אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f'(x) = -2(x - 3)e^{-(x-3)^2}

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

$e^{\ldots} > 0$ , ולכן רק הגורם $x - 3$ יכול להתאפס

$x = 3$ . זה הפעמון של $e^{-x^2}$ , מוזז שלוש יחידות ימינה.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{\frac{1}{x}}$ , המוגדרת לכל $x \ne 0$ . מה נכון לגבי העלייה והירידה שלה?

יורדת בכל אחד מהתחומים $x < 0$ ו- $x > 0$
עולה כאשר $x < 0$ ויורדת כאשר $x > 0$
עולה בכל אחד מהתחומים $x < 0$ ו- $x > 0$
יורדת כאשר $x < 0$ ועולה כאשר $x > 0$

Show the answer and the solution

Answer: A יורדת בכל אחד מהתחומים $x < 0$ ו- $x > 0$

Worked solution:

f'(x) = -\frac{1}{x^2} \cdot e^{\frac{1}{x}}

כלל השרשרת: $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$

-\frac{1}{x^2} < 0 ,\; e^{\frac{1}{x}} > 0 \Rightarrow f'(x) < 0

$f$ יורדת בכל אחד משני התחומים, כמו המעריך $\frac{1}{x}$ . לא אומרים «יורדת לכל $x \ne 0$ »: משמאל לאפס היא קרובה ל- $0$ , ומימין גדולה מאוד.

Check the answer on elev

Exercise 8

לפונקציה $f(x) = e^{-x^2}$ יש שתי נקודות פיתול. מהו שיעור ה- $x$ החיובי מביניהן? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.707

Worked solution:

f'(x) = -2xe^{-x^2}

f''(x) = (4x^2 - 2)e^{-x^2}

כלל המכפלה

\begin{aligned}4x^2 - 2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707\end{aligned}

$x = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ . הנקודה השנייה סימטרית: $x \approx -0.707$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

לגרף של $f(x) = e^{\frac{1}{x}}$ יש אסימפטוטה אנכית $x = 0$ , והגרף מתקרב אליה משני הצדדים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x \to 0^+ : f \to \infty

מימין: אסימפטוטה אנכית

x \to 0^- : f \to 0

משמאל הגרף מתקרב לנקודה $(0,0)$ , ולא לקיר

הטענה לא נכונה: הגרף מתקרב לאסימפטוטה רק מימין.

Check the answer on elev

Exercise 10

לפונקציה $f(x) = e^{\frac{1}{x - 2}}$ יש אסימפטוטה אנכית $x = k$ . מצאו את $k$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}x - 2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

המעריך לא מוגדר ב- $x = 2$

x \to 2^+ : \frac{1}{x - 2} \to \infty \Rightarrow f \to \infty

מימין: קיר

$k = 2$ . זה הגרף של $e^{\frac{1}{x}}$ , מוזז שתי יחידות ימינה.

Check the answer on elev

Exercise 11

מהי הנגזרת של $f(x) = e^{\frac{1}{x}}$ ?

$-\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}$
$\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}$
$e^{\frac{1}{x}}$
$\frac{1}{x}e^{\frac{1}{x} - 1}$

Show the answer and the solution

Answer: A $-\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}$

Worked solution:

(e^u)' = u' \cdot e^u

\begin{aligned}u &= \frac{1}{x} \Rightarrow u' \\ &= -\frac{1}{x^2}\end{aligned}

$f'(x) = -\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}$ . כלל החזקה ( $x^n \to nx^{n-1}$ ) לא מתאים ל- $e$ בחזקת משהו.

Check the answer on elev

Exercise 12

לפונקציה $f(x) = xe^{-x^2}$ יש נקודת מקסימום. מהו שיעור ה- $y$ שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.429

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2} \\ &= (1 - 2x^2)e^{-x^2}\end{aligned}

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}

הנקודה עם $x > 0$ היא המקסימום

f\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \tfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{1}{2}} \approx 0.429

$y \approx 0.429$ . הפונקציה אי-זוגית: ב- $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ יש מינימום סימטרי.

Check the answer on elev

מה המעריך עושה לפונקציה

הפעמון: e בחזקת מינוס x בריבוע

Exercises

Keep practising on elev