Functions with a parameter · The exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

לפעמים הפונקציה נתונה עם פרמטר: אות כמו $a$ או $k$ שמייצגת מספר קבוע שאנחנו לא יודעים מהו. חוקרים את הפונקציה בדיוק כמו פונקציה רגילה, ומתייחסים ל- $a$ כאל מספר. לפעמים התשובה תלויה בערך של $a$ , ולפעמים נתון נוסף מאפשר למצוא אותו.

חקירת $f(x) = \frac{e^x}{a - e^x}$ כאשר $a > 0$

מחפשים איפה המכנה מתאפס, ואחר כך בודקים כל צד בנפרד.

\begin{aligned}a - e^x &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= a \Rightarrow x \\ &= \ln a\end{aligned}

המכנה מתאפס רק כאשר $x = \ln a$ , ו- $\ln a$ קיים כי $a > 0$ . תחום ההגדרה: $x \ne \ln a$

x = \ln a

אסימפטוטה אנכית: שם המכנה מתאפס, והמונה שווה ל- $a$ ולא ל- $0$

x \to -\infty : \frac{e^x}{a - e^x} \to \frac{0}{a - 0} = 0

אסימפטוטה $y = 0$ כאשר $x \to -\infty$

\begin{aligned}x \to +\infty : \frac{e^x}{a - e^x} &= \frac{1}{ae^{-x} - 1} \to \frac{1}{0 - 1} \\ &= -1\end{aligned}

מחלקים את המונה ואת המכנה ב- $e^x$ : אסימפטוטה $y = -1$ כאשר $x \to +\infty$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^x(a - e^x) - e^x \cdot (-e^x)}{(a - e^x)^2} \\ &= \frac{ae^x}{(a - e^x)^2} > 0\end{aligned}

כלל המנה: המונה והמכנה חיוביים, ולכן הפונקציה עולה בכל אחד משני התחומים

ומה קורה כש- $a<0$ ? האם יש לגרף אסימפטוטה אנכית?

Show the answer and the solution

אין. כאשר $a<0$ , המכנה $a - e^x$ הוא מספר שלילי פחות מספר חיובי, ולכן הוא שלילי תמיד. המכנה לא מתאפס לעולם, והפונקציה מוגדרת לכל $x$ : אין אסימפטוטה אנכית.

Interactive activity

איזה גרף מתאר את $f(x) = \frac{e^x}{a - e^x}$ כאשר $a = 2$ ?

ארבעת הגרפים שייכים לפונקציות דומות מאוד. התחילו מהשאלה שהדוגמה למעלה פתחה: איפה המכנה $2 - e^x$ מתאפס?

Show the answer and the solution

כמעט. הקיר במקום הנכון, אבל בימין: כאשר $x \to +\infty$ מחלקים ב- $e^x$ ומקבלים $\frac{1}{2e^{-x} - 1} \to -1$ , ולא $1$ . גרף I הוא הגרף של $\frac{e^x}{e^x - 2}$ , הפונקציה הנגדית.

נכון. קיר ב- $x = \ln 2$ , בשמאל $y = 0$ , בימין $y = -1$ , והפונקציה עולה בכל אחד משני התחומים, כי $f'(x) = \frac{2e^x}{(2 - e^x)^2} > 0$ .

לא. בגרף III אין קיר. אבל כאשר $a = 2$ המכנה מתאפס ב- $x = \ln 2$ : זה בדיוק המקרה $a > 0$ מהדוגמה.

לא. גרף IV הוא המקרה $a = -2$ : שם המכנה שלילי תמיד ואין קיר. כאשר $a = 2$ יש קיר.

גרף IV מראה מה קורה כש- $a < 0$ : אותה פונקציה בדיוק, בלי קיר. הפרמטר לא רק מזיז את הגרף, הוא משנה את הצורה שלו.

Do the activity on elev

הביעו באמצעות $a$ : התשובה היא ביטוי שבו מופיע $a$ , למשל $x = \ln a$ . משאירים את $a$ עד סוף הפתרון, ומציבים מספר במקומו רק כאשר השאלה נותנת את הערך שלו.

הטעות של ההצבה המוקדמת.

\begin{aligned}a &= 1 \Rightarrow x \\ &= \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}

x = \ln a

כאשר מבקשים תשובה באמצעות $a$ , לא בוחרים ל- $a$ ערך. תשובה עם $a = 1$ נכונה רק לפונקציה אחת, והשאלה שואלת על כל הפונקציות.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{a - e^x}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר. ידוע ש- $f(0) = 1$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}f(0) &= \frac{e^0}{a - e^0} \\ &= \frac{1}{a - 1}\end{aligned}

מציבים $x = 0$

\begin{aligned}\frac{1}{a - 1} &= 1 \Rightarrow a - 1 \\ &= 1 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

$a = 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{a - e^x}$ , כאשר $a = 2$ . לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית $x = c$ . מצאו את $c$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.693

Worked solution:

\begin{aligned}2 - e^x &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 2\end{aligned}

המכנה מתאפס

x = \ln 2 \approx 0.693

מפעילים $\ln$ על שני האגפים

e^{\ln 2} = 2 \ne 0

המונה לא מתאפס שם, ולכן זו באמת אסימפטוטה

האסימפטוטה האנכית היא $x = \ln 2$ , כלומר $c \approx 0.693$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{a - e^x}$ , כאשר $a = -3$ . הפונקציה מוגדרת לכל $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}-3 - e^x &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= -3\end{aligned}

בודקים איפה המכנה מתאפס

e^x > 0 > -3

למשוואה אין פתרון: $e^x$ חיובית תמיד

הטענה נכונה: המכנה $-3 - e^x$ שלילי תמיד ולא מתאפס, ולכן הפונקציה מוגדרת לכל $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{a - e^x}$ , כאשר $a = 4$ . מהי האסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה כאשר $x \to +\infty$ ?

$y=1$
$y=-1$
$y=4$
$y=0$

Show the answer and the solution

Answer: B $y=-1$

Worked solution:

\frac{e^x}{4 - e^x} = \frac{1}{4e^{-x} - 1}

מחלקים את המונה ואת המכנה ב- $e^x$

x \to +\infty : 4e^{-x} \to 0 \Rightarrow f(x) \to \frac{1}{-1} = -1

האסימפטוטה היא $y = -1$ . הישר $y = 0$ הוא האסימפטוטה בצד השני, כאשר $x \to -\infty$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{a - e^x}$ , כאשר $a = 2$ . הפונקציה $g$ מוגדרת כך: $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . איזה ביטוי שווה ל- $g(x)$ ?

$1 - 2e^{-x}$
$2e^{x} - 1$
$2e^{-x} - 1$
$e^{-x} - 2$

Show the answer and the solution

Answer: C $2e^{-x} - 1$

Worked solution:

\begin{aligned}g(x) &= \frac{1}{f(x)} \\ &= \frac{2 - e^x}{e^x}\end{aligned}

הופכים את השבר

\begin{aligned}\frac{2 - e^x}{e^x} &= \frac{2}{e^x} - \frac{e^x}{e^x} \\ &= 2e^{-x} - 1\end{aligned}

מפרקים לשני שברים

$g(x) = 2e^{-x} - 1$ , והשוויון נכון בתחום ההגדרה של $f$ , כלומר כאשר $x \ne \ln 2$ . הביטוי $1 - 2e^{-x}$ הוא הנגדי שלו, והביטוי $2e^{x} - 1$ שוכח ש- $\frac{1}{e^x} = e^{-x}$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x + ax$ , כאשר $a$ הוא פרמטר. לאילו ערכים של $a$ יש לפונקציה נקודת מינימום?

$a>0$
$a<0$
לכל ערך של $a$
$a=0$

Show the answer and the solution

Answer: B $a<0$

Worked solution:

f'(x) = e^x + a

הנגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= -a\end{aligned}

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת

-a = e^x > 0 \Rightarrow a < 0

$e^x$ חיובית תמיד, ולכן למשוואה $e^x = -a$ יש פתרון רק כאשר $-a$ חיובי

x < \ln(-a) : f' < 0 \quad , \quad x > \ln(-a) : f' > 0

כאשר $a<0$ הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: מינימום

a \ge 0 \Rightarrow f'(x) = e^x + a > 0

כאשר $a \ge 0$ הפונקציה עולה תמיד, ואין לה קיצון

יש מינימום רק כאשר $a<0$ , בנקודה שבה $x = \ln(-a)$ . כאשר $a = 0$ הפונקציה היא $e^x$ , והיא עולה תמיד.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה $f(x) = ae^x - x$ , כאשר $a > 0$ . לפונקציה יש נקודת מינימום בנקודה שבה $x = \ln 3$ . מצאו את $a$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.333

Worked solution:

f'(x) = ae^x - 1

הנגזרת

\begin{aligned}f'(\ln 3) &= ae^{\ln 3} - 1 \\ &= 3a - 1 \\ &= 0\end{aligned}

בנקודת הקיצון הנגזרת מתאפסת, ו- $e^{\ln 3} = 3$

a = \frac{1}{3} \approx 0.333

x < \ln 3 : f' < 0 \quad , \quad x > \ln 3 : f' > 0

בדיקה: הנגזרת עוברת משלילית לחיובית, ולכן זו באמת נקודת מינימום

$a = \frac{1}{3}$ , כלומר בערך $0.333$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{kx}$ , כאשר $k$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x = 0$ הוא $4$ . מצאו את $k$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f'(x) = ke^{kx}

כלל השרשרת

\begin{aligned}f'(0) &= ke^0 \\ &= k\end{aligned}

השיפוע בנקודה שבה $x = 0$

k = 4

השיפוע נתון

$k = 4$ : שיפוע המשיק בנקודה שבה $x = 0$ שווה ל- $k$ עצמו.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{a - e^x}$ , כאשר $a \ne 0$ פרמטר. בעבור אילו ערכים של $a$ הפונקציה מוגדרת לכל $x$ ?

$a > 0$
$a > 1$
$a < 0$
לכל $a \ne 0$

Show the answer and the solution

Answer: C $a < 0$

Worked solution:

\begin{aligned}a - e^x &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= a\end{aligned}

המכנה מתאפס רק אם יש $x$ כזה

e^x > 0

אם $a < 0$ למשוואה אין פתרון, והמכנה לא מתאפס לעולם

a > 0 \Rightarrow x = \ln a

אם $a > 0$ יש פתרון, ושם יש קיר

$a < 0$ . גם $0 < a < 1$ נותן קיר, ב- $x = \ln a < 0$ : $\ln a$ שלילי לא מבטל את הקיר.

Check the answer on elev

Exercise 10

הגרף של הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{a - e^x}$ עובר בנקודה $(\ln 2, 2)$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}f(\ln 2) &= \frac{e^{\ln 2}}{a - e^{\ln 2}} \\ &= \frac{2}{a - 2}\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{2}{a - 2} &= 2 \Rightarrow a - 2 \\ &= 1 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

$a = 3$ . מציבים את שיעור ה- $x$ של הנקודה, ומשווים לשיעור ה- $y$ שלה.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev