Practice · The exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשרה תרגילים על כל הפרק: הגרף של $e^x$ והזזותיו, גזירה, משיקים ונקודות קיצון, משוואות עם $\ln$ , פרמטרים, ואינטגרל ושטח. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercises

סדרה א — קל

Exercise 1

מהי האסימפטוטה האופקית של הגרף $y = 2e^{-x} + 5$ ?

$y=5$ כאשר $x \to +\infty$
$y=2$ כאשר $x \to +\infty$
$y=5$ כאשר $x \to -\infty$
$y=0$ כאשר $x \to +\infty$

Show the answer and the solution

Answer: A $y=5$ כאשר $x \to +\infty$

Worked solution:

x \to +\infty \Rightarrow e^{-x} \to 0

המעריך שלילי — הפונקציה שואפת ל- $0$ כאשר $x \to +\infty$

y \to 2 \cdot 0 + 5 = 5

בצורה $y = ae^{kx} + c$ , רק $c$ מזיז את האסימפטוטה — כאן $c = 5$ . המקדם $2$ מותח את הגרף ואינו מזיז אותה, וכאשר $x \to -\infty$ הגרף עולה בלי גבול.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{4x-2}$ . חשבו את $f'(0.5)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f'(x) = 4e^{4x-2}

כלל השרשרת: כופלים בנגזרת של המעריך

\begin{aligned}f'(0.5) &= 4e^{0} \\ &= 4\end{aligned}

המעריך מתאפס ב- $x = 0.5$ , ולכן נשאר המקדם בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 3

המשיק לגרף של $y = e^x$ בנקודה שבה $x = 0$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה שבה $x = -1$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}f(0) &= e^0 \\ &= 1 \quad \\ \quad f'(0) &= e^0 \\ &= 1\end{aligned}

נקודה ושיפוע

\begin{aligned}y - 1 &= 1 \cdot (x - 0) \Rightarrow y \\ &= x + 1\end{aligned}

\begin{aligned}y &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

הטענה נכונה: המשיק הוא $y = x + 1$ , והוא חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(-1, 0)$ .

Check the answer on elev

סדרה ב — בינוני

Exercise 4

פתרו את המשוואה $e^{3x+1} = 10$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.434

Worked solution:

3x + 1 = \ln 10

מפעילים $\ln$ על שני האגפים

x = \frac{\ln 10 - 1}{3}

x = \frac{\ln 10 - 1}{3} \approx \frac{2.3026 - 1}{3} \approx 0.434

$x = \frac{\ln 10 - 1}{3} \approx 0.434$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

כמות התרופה בדם (במיליגרם) אחרי $t$ שעות היא $M(t) = 50e^{-0.2t}$ . אחרי כמה שעות יישארו בדם 10 מיליגרם? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 8.047

Worked solution:

\begin{aligned}50e^{-0.2t} &= 10 \Rightarrow e^{-0.2t} \\ &= 0.2\end{aligned}

-0.2t = \ln 0.2

t = \frac{\ln 0.2}{-0.2} \approx 8.047

$\ln 0.2 < 0$ , ולכן $t$ חיובי

אחרי כ-8.047 שעות.

Check the answer on elev

Exercise 6

לפונקציה $f(x) = x^2 e^{-x}$ יש נקודת מקסימום אחת. מהו שיעור ה- $y$ שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.541

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} \\ &= e^{-x} x(2 - x)\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \quad \\ \quad x &= 2\end{aligned}

$e^{-x} > 0$ תמיד

f'(1) > 0 \quad , \quad f'(3) < 0

עולה ואז יורדת — מקסימום ב- $x = 2$

f(2) = 4e^{-2} \approx 0.541

ב- $x = 0$ יש מינימום, $f(0) = 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של $y = e^x$ ו- $y = e^{-x}$ , בתחום $0 \le x \le \ln 2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

x > 0 \Rightarrow e^x > 1 > e^{-x}

$e^x$ למעלה

\begin{aligned}S &= \int_0^{\ln 2} \left(e^x - e^{-x}\right)dx \\ &= \left[e^x + e^{-x}\right]_0^{\ln 2}\end{aligned}

פונקציה קדומה של $-e^{-x}$ היא $e^{-x}$

= \left(2 + \frac{1}{2}\right) - (1 + 1) = 0.5

$e^{\ln 2} = 2$ ו- $e^{-\ln 2} = \frac{1}{2}$ .

Check the answer on elev

סדרה ג — מאתגר

Exercise 8

פתרו את המשוואה $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$ , ומצאו את הפתרון הגדול. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.099

Worked solution:

\begin{aligned}t &= e^x \Rightarrow t^2 - 5t + 6 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}(t-2)(t-3) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 2 \quad \\ \quad t &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}e^x &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2 \approx 0.693\end{aligned}

שני השורשים חיוביים, ולכן שניהם נותנים פתרון

\begin{aligned}e^x &= 3 \Rightarrow x \\ &= \ln 3 \approx 1.099 \quad \text{(הגדול)}\end{aligned}

למשוואה יש שני פתרונות, $\ln 2$ ו- $\ln 3$ ; המבוקש הוא הגדול, $\ln 3$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה $f(x) = ae^{2x} - 4x$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = \ln 2$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

f'(x) = 2ae^{2x} - 4

\begin{aligned}f'(\ln 2) &= 2a \cdot e^{2\ln 2} - 4 \\ &= 8a - 4\end{aligned}

$e^{2\ln 2} = 4$

\begin{aligned}8a - 4 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 0.5\end{aligned}

בדיקה, עם $a = 0.5$ : $f'(x) = e^{2x} - 4$ , שלילית משמאל ל- $\ln 2$ וחיובית מימין — נקודת מינימום.

Check the answer on elev

Exercise 10

כוס קפה מתקררת, והטמפרטורה שלה (במעלות) אחרי $t$ דקות היא $T(t) = 20 + 60e^{-0.5t}$ . באיזה רגע $t$ הטמפרטורה יורדת בקצב של 15 מעלות לדקה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.386

Worked solution:

\begin{aligned}T'(t) &= 60 \cdot (-0.5) e^{-0.5t} \\ &= -30e^{-0.5t}\end{aligned}

קצב השינוי

\begin{aligned}-30e^{-0.5t} &= -15 \Rightarrow e^{-0.5t} \\ &= 0.5\end{aligned}

ירידה — הנגזרת שלילית

\begin{aligned}t &= \frac{\ln 0.5}{-0.5} \\ &= 2\ln 2 \approx 1.386\end{aligned}

בהתחלה הקצב הוא 30 מעלות לדקה, והוא הולך וקטן. הטמפרטורה לא יורדת לעולם מתחת ל-20 מעלות — האסימפטוטה.

Check the answer on elev

Exercises

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

Keep practising on elev