Question 7 in exam format

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלה 7 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). א. מהו תחום ההגדרה של gg, ואיזה ביטוי שווה ל-g(x)g(x)?

  1. x>1x > 1 ו-g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}
  2. x≠1x \ne 1 ו-g(x)=e1x−1x−1g(x) = \frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{x-1}
  3. x≠1x \ne 1 ו-g(x)=e1x−1(x−1)2g(x) = \frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}
  4. x≠1x \ne 1 ו-g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}
Show the answer and the solution

Answer: D x≠1x \ne 1 ו-g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}

Worked solution:

x−1≠0⇒x≠1x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1

hh מוגדרת לכל x≠1x \ne 1, וכך גם h′h' ו-ehe^{h}

h(x)=(x−1)−1⇒h′(x)=−(x−1)−2=−1(x−1)2\begin{aligned}h(x) &= (x - 1)^{-1} \Rightarrow h'(x) \\ &= -(x - 1)^{-2} \\ &= -\frac{1}{(x-1)^2}\end{aligned}

גוזרים חזקה

g(x)=e1x−1⋅(−1(x−1)2)=−e1x−1(x−1)2\begin{aligned}g(x) &= e^{\frac{1}{x-1}} \cdot \left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right) \\ &= -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}\end{aligned}

תחום ההגדרה: x≠1x \ne 1. הביטוי עם x−1x - 1 במכנה כופל ב-hh במקום ב-h′h'. ואין סיבה לדרוש x>1x > 1: ee בחזקת מספר שלילי מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 2

−2−1123−3−2−1123xyhy = 0x = 1

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). א. בסרטוט הגרף של הפונקציה hh. לפי הסרטוט, ובלי לגזור, מה אפשר לומר על הסימן של g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x)?

  1. g(x)>0g(x) > 0 כאשר x<1x < 1, ו-g(x)<0g(x) < 0 כאשר x>1x > 1
  2. g(x)>0g(x) > 0 לכל x≠1x \ne 1
  3. g(x)<0g(x) < 0 לכל x≠1x \ne 1
  4. g(x)<0g(x) < 0 כאשר x<1x < 1, ו-g(x)>0g(x) > 0 כאשר x>1x > 1
Show the answer and the solution

Answer: C g(x)<0g(x) < 0 לכל x≠1x \ne 1

Worked solution:

eh(x)>0e^{h(x)} > 0

חזקה של ee חיובית תמיד, ולכן הסימן של gg הוא הסימן של h′h'

h↘⇒h′(x)<0h \searrow \Rightarrow h'(x) < 0

בסרטוט hh יורדת בכל אחד משני הקטעים: משמאל לקיר וגם מימין לו

g(x)=eh(x)⋅h′(x)<0g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x) < 0

חיובי כפול שלילי

לכל x≠1x \ne 1, g(x)<0g(x) < 0. הסימן של gg נקבע לפי העלייה והירידה של hh, ולא לפי הסימן של hh: נכון ש-h<0h < 0 משמאל ו-h>0h > 0 מימין, אבל זה לא משנה כאן.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ב. לפניכם טענה: כאשר x→1−x \to 1^- (משמאל), g(x)→−∞g(x) \to -\infty. האם הטענה נכונה? נמקו.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

h′(x)=−1(x−1)2=−h(x)2⇒g(x)=−h2eh\begin{aligned}h'(x) &= -\frac{1}{(x-1)^2} \\ &= -h(x)^2 \Rightarrow g(x) \\ &= -h^2 e^{h}\end{aligned}

כותבים את gg באמצעות hh בלבד

x→1−: x−1→0−⇒h(x)→−∞x \to 1^- : \ x - 1 \to 0^- \Rightarrow h(x) \to -\infty

משמאל המכנה של hh קטן ושלילי

s→−∞: s2es→0⇒g(x)→0s \to -\infty : \ s^2 e^{s} \to 0 \Rightarrow g(x) \to 0

ese^{s} שואף ל-00 מהר יותר מש-s2s^2 גדל

הטענה לא נכונה: משמאל ל-x=1x = 1 הגרף מתקרב ל-00, ולא ל-−∞-\infty. הטעות היא לראות (x−1)2→0(x - 1)^2 \to 0 במכנה ולעצור שם, בלי לבדוק את המעריך 1x−1\frac{1}{x - 1}, שבצד הזה שואף ל-−∞-\infty.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ב. מהן האסימפטוטות המאונכות לצירים של גרף הפונקציה gg?

  1. x=1x = 1 ו-y=−1y = -1
  2. x=1x = 1 ו-y=0y = 0
  3. x=1x = 1 בלבד
  4. y=0y = 0 בלבד
Show the answer and the solution

Answer: B x=1x = 1 ו-y=0y = 0

Worked solution:

x→1+: h(x)→+∞⇒g(x)=−h2eh→−∞x \to 1^+ : \ h(x) \to +\infty \Rightarrow g(x) = -h^2 e^{h} \to -\infty

מימין המעריך שואף ל-+∞+\infty: יש אסימפטוטה אנכית x=1x = 1

x→1−: g(x)→0x \to 1^- : \ g(x) \to 0

משמאל אין קיר: זה הסעיף הקודם

x→±∞: h(x)→0⇒eh→1 h′→0⇒g(x)→1⋅0=0\begin{aligned}x \to \pm\infty : \ h(x) \to 0 \Rightarrow e^{h} \to 1 \\ \ h' \to 0 \Rightarrow g(x) \to 1 \cdot 0 &= 0\end{aligned}

בשני הצדדים

האסימפטוטות: x=1x = 1 (הגרף מתקרב אליה מימין בלבד) ו-y=0y = 0. התשובה y=−1y = -1 מציבה e0=1e^{0} = 1 ושוכחת שהגורם h′(x)h'(x) שואף ל-00.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ג. לגרף הפונקציה gg יש נקודת קיצון אחת. מהו שיעור ה-xx שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

g′(x)=eh (h′)2+eh h′′=eh((h′)2+h′′)\begin{aligned}g'(x) &= e^{h}\,(h')^2 + e^{h}\,h'' \\ &= e^{h}\left((h')^2 + h''\right)\end{aligned}

כלל המכפלה

(h′)2+h′′=1(x−1)4+2(x−1)3=1+2(x−1)(x−1)4=2x−1(x−1)4\begin{aligned}(h')^2 + h'' &= \frac{1}{(x-1)^4} + \frac{2}{(x-1)^3} \\ &= \frac{1 + 2(x - 1)}{(x-1)^4} \\ &= \frac{2x - 1}{(x-1)^4}\end{aligned}

h′′(x)=2(x−1)3h''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}

g′(x)=e1x−1 (2x−1)(x−1)4=0⇒x=12\begin{aligned}g'(x) &= \frac{e^{\frac{1}{x-1}}\,(2x - 1)}{(x-1)^4} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

eh>0e^{h} > 0 ו-(x−1)4>0(x-1)^4 > 0: רק המונה 2x−12x - 1 קובע

x<12:g′<0,12<x<1:g′>0x < \tfrac{1}{2} : g' < 0 ,\quad \tfrac{1}{2} < x < 1 : g' > 0

ירידה ואחריה עלייה: מינימום

נקודת הקיצון היא ב-x=12x = \frac{1}{2}, והיא מינימום. מימין לקיר 2x−1>02x - 1 > 0, ולכן שם gg עולה כל הזמן ואין קיצון נוסף.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ג. לגרף הפונקציה gg יש נקודת מינימום אחת, והיא נמצאת כאשר x=12x = \frac{1}{2}. מהו שיעור ה-yy שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: -0.541

Worked solution:

h(12)=112−1=−2\begin{aligned}h\left(\tfrac{1}{2}\right) &= \frac{1}{\frac{1}{2} - 1} \\ &= -2\end{aligned}

קודם המעריך

(12−1)2=14\left(\tfrac{1}{2} - 1\right)^2 = \frac{1}{4}

ואחר כך המכנה

g(12)=−e−214=−4e−2≈−0.541\begin{aligned}g\left(\tfrac{1}{2}\right) &= -\frac{e^{-2}}{\frac{1}{4}} \\ &= -4e^{-2} \approx -0.541\end{aligned}

נקודת המינימום היא (12,−4e−2)\left(\frac{1}{2}, -4e^{-2}\right), ו-−4e−2≈−0.541-4e^{-2} \approx -0.541. שימו לב לסימן: gg שלילית בכל התחום, ולכן גם ערך המינימום שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 7

xyy = 0x = 1I
xyy = 0x = 1II
xyy = −1x = 1III
xyy = 0x = 1IV

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ד. איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה gg?

  1. גרף II
  2. גרף I
  3. גרף III
  4. גרף IV
Show the answer and the solution

Answer: D גרף IV

Worked solution:

g(x)<0g(x) < 0

מסעיף א: gg שלילית בכל התחום. בגרף I הגרף נמצא מעל ציר ה-xx: נפסל

x→±∞:g(x)→0x \to \pm\infty : g(x) \to 0

מסעיף ב: האסימפטוטה האופקית היא y=0y = 0. בגרף III היא y=−1y = -1: נפסל

x→1+:g→−∞,x→1−:g→0x \to 1^+ : g \to -\infty ,\quad x \to 1^- : g \to 0

הקיר נמצא מימין ל-x=1x = 1. בגרף II הגרף יורד ל-−∞-\infty משמאל לקיר, ומימין מתקרב ל-00: נפסל

(12,−0.54)\left(\tfrac{1}{2}, -0.54\right)

ובגרף IV יש מינימום משמאל לקיר, כמו שמצאנו בסעיף ג

גרף IV. גרף II הוא השיקוף של הגרף הנכון: לבדוק שיש קיר ב-x=1x = 1 לא מספיק, צריך לבדוק באיזה צד של הקיר הגרף שואף לאינסוף.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ה. איזו מבין הפונקציות היא פונקציה קדומה של gg?

  1. G(x)=e1x−1x−1G(x) = \frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{x-1}
  2. G(x)=2e1x−1(x−1)3G(x) = \frac{2e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^3}
  3. G(x)=e1x−1G(x) = e^{\frac{1}{x-1}}
  4. G(x)=−e1x−1G(x) = -e^{\frac{1}{x-1}}
Show the answer and the solution

Answer: C G(x)=e1x−1G(x) = e^{\frac{1}{x-1}}

Worked solution:

(eh(x))′=eh(x)⋅h′(x)=g(x)\begin{aligned}\left(e^{h(x)}\right)' &= e^{h(x)} \cdot h'(x) \\ &= g(x)\end{aligned}

כלל השרשרת, הפוך

∫eh(x) h′(x) dx=eh(x)+C=e1x−1+C\begin{aligned}\int e^{h(x)}\,h'(x)\,dx &= e^{h(x)} + C \\ &= e^{\frac{1}{x-1}} + C\end{aligned}
(−e1x−1)′=−g(x)≠g(x)\left(-e^{\frac{1}{x-1}}\right)' = -g(x) \ne g(x)

בדיקה של התשובה עם המינוס

הפונקציה הקדומה היא e1x−1e^{\frac{1}{x-1}}. זו הסיבה שהגדירו את gg כך: g=eh⋅h′g = e^{h} \cdot h' היא בדיוק הנגזרת של ehe^{h}. הפונקציה הקדומה חיובית, אף ש-gg שלילית: זה לא סותר, כי gg שלילית אומרת רק שהפונקציה הקדומה יורדת.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה gg, ציר ה-xx והישרים x=2x = 2 ו-x=3x = 3. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.07

Worked solution:

∫23g(x) dx=[e1x−1]23=e12−e1\begin{aligned}\int_2^3 g(x)\,dx &= \left[e^{\frac{1}{x-1}}\right]_2^3 \\ &= e^{\frac{1}{2}} - e^{1}\end{aligned}

הפונקציה הקדומה מהסעיף הקודם

e−e≈−1.070\sqrt{e} - e \approx -1.070

התוצאה שלילית, כי g<0g < 0: הגרף מתחת לציר ה-xx

S=−∫23g(x) dx=e−e≈1.070\begin{aligned}S &= -\int_2^3 g(x)\,dx \\ &= e - \sqrt{e} \approx 1.070\end{aligned}

שטח הוא מספר חיובי

השטח הוא e−e≈1.070e - \sqrt{e} \approx 1.070. האינטגרל עצמו שלילי; מי שעונה −1.070-1.070 שוכח שהשטח הוא מספר חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ו. נתון a>2a > 2. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה gg, ציר ה-xx והישרים x=2x = 2 ו-x=ax = a שווה ל-e−e3e - \sqrt[3]{e}. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

S=−∫2ag(x) dx=−(e1a−1−e1)=e−e1a−1\begin{aligned}S &= -\int_2^a g(x)\,dx \\ &= -\left(e^{\frac{1}{a-1}} - e^{1}\right) \\ &= e - e^{\frac{1}{a-1}}\end{aligned}

g<0g < 0 בקטע, ולכן מחליפים סימן

e−e1a−1=e−e13⇒e1a−1=e13\begin{aligned}e - e^{\frac{1}{a-1}} &= e - e^{\frac{1}{3}} \Rightarrow e^{\frac{1}{a-1}} \\ &= e^{\frac{1}{3}}\end{aligned}

e3=e13\sqrt[3]{e} = e^{\frac{1}{3}}

1a−1=13⇒a−1=3⇒a=4\begin{aligned}\frac{1}{a - 1} &= \frac{1}{3} \Rightarrow a - 1 \\ &= 3 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

שתי חזקות של ee שוות כאשר המעריכים שווים

a=4a = 4. כותבים את e3\sqrt[3]{e} כחזקה e13e^{\frac{1}{3}}, ואז משווים מעריכים. בדיקה: a=4>2a = 4 > 2, כנדרש.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade