Question 6 in exam format

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלה 6 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

  1. x≠ln⁡2x \ne \ln 2 ו-x≠ln⁡6x \ne \ln 6
  2. x>0x > 0 ו-x≠ln⁡2x \ne \ln 2 ו-x≠ln⁡6x \ne \ln 6
  3. x>ln⁡6x > \ln 6
  4. x≠2x \ne 2 ו-x≠6x \ne 6
Show the answer and the solution

Answer: A x≠ln⁡2x \ne \ln 2 ו-x≠ln⁡6x \ne \ln 6

Worked solution:

ex−2=0⇒ex=2⇒x=ln⁡2\begin{aligned}e^x - 2 &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2\end{aligned}

המכנה הראשון מתאפס

ex−6=0⇒ex=6⇒x=ln⁡6\begin{aligned}e^x - 6 &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 6 \Rightarrow x \\ &= \ln 6\end{aligned}

המכנה השני מתאפס

Df:x≠ln⁡2, x≠ln⁡6D_f : x \ne \ln 2 ,\ x \ne \ln 6

בכל נקודה אחרת שני המכנים שונים מ-00

תחום ההגדרה: כל xx פרט ל-ln⁡2\ln 2 ול-ln⁡6\ln 6. התשובה « x≠2x \ne 2 ו-x≠6x \ne 6 » פותרת x−2=0x - 2 = 0 במקום ex−2=0e^x - 2 = 0. ואין צורך ב-x>0x > 0: exe^x מוגדר לכל xx.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. א. לגרף הפונקציה יש שתי אסימפטוטות אנכיות. מהו המרחק בין שתי האסימפטוטות? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.099

Worked solution:

x=ln⁡2x=ln⁡6\begin{aligned}x &= \ln 2 \\ \quad x &= \ln 6\end{aligned}

המכנים מתאפסים, והמונים 11 ו-33 לא מתאפסים: שתי אסימפטוטות אנכיות

ln⁡6−ln⁡2=ln⁡62=ln⁡3\begin{aligned}\ln 6 - \ln 2 &= \ln \frac{6}{2} \\ &= \ln 3\end{aligned}

חוק ההפרש של לוגריתמים

ln⁡3≈1.099\ln 3 \approx 1.099

המרחק הוא ln⁡3≈1.099\ln 3 \approx 1.099. הטעות הנפוצה היא 6−2=46 - 2 = 4: זה המרחק בין הערכים של exe^x, ולא בין הערכים של xx.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. ב. לפניכם טענה: לכל ערך של aa, מתקיים f′(x)<0f'(x) < 0 בכל תחום ההגדרה של ff. האם הטענה נכונה? הוכיחו.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

(1ex−2)′=−ex(ex−2)2\left(\frac{1}{e^x - 2}\right)' = \frac{-e^x}{(e^x - 2)^2}

נגזרת של 1u\frac{1}{u} היא −u′u2-\frac{u'}{u^2}

f′(x)=−ex(ex−2)2−3ex(ex−6)2f'(x) = -\frac{e^x}{(e^x - 2)^2} - \frac{3e^x}{(e^x - 6)^2}

הנגזרת של הקבוע aa היא 00

ex>0, (ex−2)2>0, (ex−6)2>0⇒f′(x)<0e^x > 0 ,\ (e^x - 2)^2 > 0 ,\ (e^x - 6)^2 > 0 \Rightarrow f'(x) < 0

שני שברים חיוביים, ולפני כל אחד מהם סימן מינוס

הטענה נכונה, ו-aa לא משפיע: הוא נעלם בגזירה. שימו לב: מכאן נובע ש-ff יורדת בכל אחד משלושת הקטעים של תחום ההגדרה, ולא « יורדת לכל xx » — בין הקטעים יש אסימפטוטות.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. ג. מהן האסימפטוטות האופקיות של גרף הפונקציה? הביעו באמצעות aa.

  1. y=a−12y = a - \frac{1}{2} כאשר x→−∞x \to -\infty, ו-y=ay = a כאשר x→+∞x \to +\infty
  2. y=ay = a בשני הצדדים
  3. y=a−1y = a - 1 כאשר x→−∞x \to -\infty, ו-y=ay = a כאשר x→+∞x \to +\infty
  4. y=ay = a כאשר x→−∞x \to -\infty, ו-y=a−1y = a - 1 כאשר x→+∞x \to +\infty
Show the answer and the solution

Answer: C y=a−1y = a - 1 כאשר x→−∞x \to -\infty, ו-y=ay = a כאשר x→+∞x \to +\infty

Worked solution:

x→−∞:ex→0⇒f(x)→10−2+30−6+ax \to -\infty : e^x \to 0 \Rightarrow f(x) \to \frac{1}{0 - 2} + \frac{3}{0 - 6} + a

משמאל מציבים 00 במקום exe^x

−12−12+a=a−1-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + a = a - 1
x→+∞:ex→∞⇒1ex−2→0, 3ex−6→0⇒f(x)→ax \to +\infty : e^x \to \infty \Rightarrow \frac{1}{e^x - 2} \to 0 ,\ \frac{3}{e^x - 6} \to 0 \Rightarrow f(x) \to a

מימין שני השברים שואפים ל-00

שתי אסימפטוטות שונות: y=a−1y = a - 1 משמאל, y=ay = a מימין. התשובה עם a−12a - \frac{1}{2} שוכחת את השבר השני, 30−6=−12\frac{3}{0 - 6} = -\frac{1}{2}.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. ג. ידוע שהישר y=1y = 1 הוא אסימפטוטה אופקית של גרף הפונקציה. מהם שני הערכים האפשריים של aa?

  1. a=2a = 2 בלבד
  2. a=1a = 1 בלבד
  3. a=1a = 1 או a=2a = 2
  4. a=0a = 0 או a=1a = 1
Show the answer and the solution

Answer: C a=1a = 1 או a=2a = 2

Worked solution:

y=a−1 (x→−∞)y=a (x→+∞)\begin{aligned}y &= a - 1 \ (x \to -\infty) \\ \quad y &= a \ (x \to +\infty)\end{aligned}

האסימפטוטות מהסעיף הקודם

a−1=1⇒a=2\begin{aligned}a - 1 &= 1 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

אם y=1y = 1 היא האסימפטוטה משמאל

a=1a = 1

אם y=1y = 1 היא האסימפטוטה מימין

שני ערכים: a=2a = 2 או a=1a = 1. מי שבודק רק את הצד הימני מוצא a=1a = 1 בלבד, ומפסיד את הפתרון השני.

Check the answer on elev

Exercise 6

−2−11234−3−2−11234xyy = 1y = 2x = 0.69x = 1.79

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. ג. ידוע שהישר y=1y = 1 הוא אסימפטוטה אופקית של גרף הפונקציה. בסרטוט הגרף של ff עבור אחד משני הערכים האפשריים של aa. לפי הסרטוט, מהו ערך aa?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x→−∞: y→1,x→+∞: y→2x \to -\infty : \ y \to 1 ,\qquad x \to +\infty : \ y \to 2

בסרטוט: משמאל הגרף מתקרב ל-y=1y = 1, מימין ל-y=2y = 2

a−1=1⇒a=2\begin{aligned}a - 1 &= 1 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

האסימפטוטה משמאל היא y=a−1y = a - 1

y=a=2\begin{aligned}y &= a \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה: מימין y=a=2y = a = 2, כמו בסרטוט

a=2a = 2. בסרטוט y=1y = 1 היא האסימפטוטה משמאל. עבור a=1a = 1 היא הייתה מימין, ומשמאל הגרף היה מתקרב ל-y=0y = 0.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. בסעיף זה a=1a = 1, כלומר f(x)=1ex−2+3ex−6+1f(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + 1. ד. הראו כי אפשר לכתוב את ff כשבר אחד. איזה ביטוי שווה ל-f(x)f(x) בכל תחום ההגדרה?

  1. e2x−4ex+1(ex−2)(ex−6)\frac{e^{2x} - 4e^x + 1}{(e^x - 2)(e^x - 6)}
  2. 4ex−12(ex−2)(ex−6)\frac{4e^x - 12}{(e^x - 2)(e^x - 6)}
  3. e2x−4ex(ex−2)(ex−6)\frac{e^{2x} - 4e^x}{(e^x - 2)(e^x - 6)}
  4. ex−4ex−8\frac{e^x - 4}{e^x - 8}
Show the answer and the solution

Answer: C e2x−4ex(ex−2)(ex−6)\frac{e^{2x} - 4e^x}{(e^x - 2)(e^x - 6)}

Worked solution:

f(x)=(ex−6)+3(ex−2)+(ex−2)(ex−6)(ex−2)(ex−6)f(x) = \frac{(e^x - 6) + 3(e^x - 2) + (e^x - 2)(e^x - 6)}{(e^x - 2)(e^x - 6)}

מכנה משותף. גם את 11 כופלים במכנה המשותף

(ex−2)(ex−6)=e2x−8ex+12(e^x - 2)(e^x - 6) = e^{2x} - 8e^x + 12

פותחים סוגריים

ex−6+3ex−6+e2x−8ex+12=e2x−4exe^x - 6 + 3e^x - 6 + e^{2x} - 8e^x + 12 = e^{2x} - 4e^x

מכנסים איברים דומים

f(x)=e2x−4ex(ex−2)(ex−6)=ex(ex−4)(ex−2)(ex−6)\begin{aligned}f(x) &= \frac{e^{2x} - 4e^x}{(e^x - 2)(e^x - 6)} \\ &= \frac{e^x(e^x - 4)}{(e^x - 2)(e^x - 6)}\end{aligned}

השבר הנכון הוא e2x−4ex(ex−2)(ex−6)\frac{e^{2x} - 4e^x}{(e^x - 2)(e^x - 6)}. הביטוי 4ex−12…\frac{4e^x - 12}{\ldots} שוכח את +1+1; הביטוי עם +1+1 במונה מוסיף אותו בלי לכפול במכנה; והביטוי ex−4ex−8\frac{e^x - 4}{e^x - 8} מחבר מכנים, וזה אסור.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. בסעיף זה a=1a = 1, כלומר f(x)=1ex−2+3ex−6+1f(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + 1. ה. ידוע ש-f(x)=e2x−4ex(ex−2)(ex−6)f(x) = \frac{e^{2x} - 4e^x}{(e^x - 2)(e^x - 6)}. גרף הפונקציה חותך את ציר ה-xx בנקודה אחת. מהו שיעור ה-xx שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.386

Worked solution:

e2x−4ex=0e^{2x} - 4e^x = 0

שבר שווה ל-00 כאשר המונה שווה ל-00

t=ex: t2−4t=0⇒t(t−4)=0\begin{aligned}t &= e^x : \ t^2 - 4t \\ &= 0 \Rightarrow t(t - 4) \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית ב-tt

t1=0t2=4\begin{aligned}t_1 &= 0 \\ \quad t_2 &= 4\end{aligned}

t=ex>0t = e^x > 0, ולכן t=0t = 0 נפסל

ex=4⇒x=ln⁡4≈1.386\begin{aligned}e^x &= 4 \Rightarrow x \\ &= \ln 4 \approx 1.386\end{aligned}

ln⁡4\ln 4 שונה מ-ln⁡2\ln 2 ומ-ln⁡6\ln 6, ולכן הוא בתחום

נקודת החיתוך היא (ln⁡4,0)(\ln 4, 0), ו-ln⁡4≈1.386\ln 4 \approx 1.386. הפתרון t=0t = 0 אינו מתאים, כי exe^x חיובי תמיד: לכן יש נקודת חיתוך אחת ולא שתיים.

Check the answer on elev

Exercise 9

xyy = 0y = 1x = 1.39x = 1.79I
xyy = 1y = 0x = 0.69x = 1.79II
xyy = 0y = 1x = 0.69x = 1.79III
xyy = 0y = 1x = 0.69x = 1.79IV

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. בסעיף זה a=1a = 1, כלומר f(x)=1ex−2+3ex−6+1f(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + 1. ו. איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה ff?

  1. גרף I
  2. גרף III
  3. גרף IV
  4. גרף II
Show the answer and the solution

Answer: B גרף III

Worked solution:

x=ln⁡2≈0.69x=ln⁡6≈1.79\begin{aligned}x &= \ln 2 \approx 0.69 \\ \quad x &= \ln 6 \approx 1.79\end{aligned}

שני הקירות. בגרף I הקיר השמאלי נמצא ב-x=ln⁡4≈1.39x = \ln 4 \approx 1.39: נפסל

f′(x)<0f'(x) < 0

בסעיף ב הוכחנו ש-ff יורדת בכל קטע. בגרף IV הגרף עולה בכל קטע: נפסל

x→−∞:f→a−1=0x \to -\infty : f \to a - 1 = 0

משמאל הגרף מתקרב ל-y=0y = 0. בגרף II הוא מתקרב ל-y=1y = 1 משמאל ול-y=0y = 0 מימין: נפסל

f(ln⁡4)=0f(\ln 4) = 0

ובגרף III הגרף חותך את ציר ה-xx בין שני הקירות, כמו שמצאנו בסעיף ה

גרף III. בגרף II שתי האסימפטוטות האופקיות מופיעות, אבל בצדדים הפוכים: לא מספיק לבדוק אילו ישרים מופיעים, צריך לבדוק באיזה צד.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. בסעיף זה a=1a = 1, כלומר f(x)=1ex−2+3ex−6+1f(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + 1. ז. נגדיר g(x)=ex(f(x)−1)g(x) = e^x \left( f(x) - 1 \right), כלומר g(x)=exex−2+3exex−6g(x) = \frac{e^x}{e^x - 2} + \frac{3e^x}{e^x - 6}. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה gg, ציר ה-xx והישרים x=ln⁡8x = \ln 8 ו-x=ln⁡10x = \ln 10. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 2.367

Worked solution:

x>ln⁡6⇒ex−2>0, ex−6>0⇒g(x)>0x > \ln 6 \Rightarrow e^x - 2 > 0 ,\ e^x - 6 > 0 \Rightarrow g(x) > 0

בקטע כולו gg חיובית: השטח שווה לאינטגרל

∫u′u dx=ln⁡∣u∣+C(ex−2)′=ex\begin{aligned}\int \frac{u'}{u}\,dx &= \ln |u| + C \\ \qquad (e^x - 2)' &= e^x\end{aligned}

בכל שבר המונה הוא הנגזרת של המכנה

∫g(x) dx=ln⁡∣ex−2∣+3ln⁡∣ex−6∣+C\int g(x)\,dx = \ln |e^x - 2| + 3\ln |e^x - 6| + C
[ln⁡(ex−2)+3ln⁡(ex−6)]ln⁡8ln⁡10=(ln⁡8+3ln⁡4)−(ln⁡6+3ln⁡2)\left[\ln (e^x - 2) + 3\ln (e^x - 6)\right]_{\ln 8}^{\ln 10} = (\ln 8 + 3\ln 4) - (\ln 6 + 3\ln 2)

eln⁡10=10e^{\ln 10} = 10 ו-eln⁡8=8e^{\ln 8} = 8

ln⁡86+3ln⁡2=ln⁡43+ln⁡8=ln⁡323≈2.367\begin{aligned}\ln \frac{8}{6} + 3\ln 2 &= \ln \frac{4}{3} + \ln 8 \\ &= \ln \frac{32}{3} \approx 2.367\end{aligned}

השטח הוא ln⁡323≈2.367\ln \frac{32}{3} \approx 2.367. הצעד שפותח את השאלה: לזהות שבכל שבר המונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה, ולכן הפונקציה הקדומה היא ln⁡\ln של המכנה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade